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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修1【配套备课资源】第2章 函数2.2.1(二)doc


2.2.1
一、基础过关

函数的单调性(二)

1 ? 1.函数 y=-x+1 在区间? ?2,2?上的最大值是________. 2.函数 y=x+ 2x-1的最小值为________. 2 3.函数 y= 的值域是________. |x|+1
?2x+6, x∈[1,2] ? 4.函数 f(x)=? ,则 f(x)的最大值、最小值分别为________. ?x+7, x∈[-1,1] ?

5.函数 y=|x-3|-|x+1|的最大值、最小值分别为______. 1 6.函数 f(x)= 的最大值是________. 1-x?1-x? 7.已知函数 f(x)=x2-2x+2. 1 (1)求 f(x)在区间[ ,3]上的最大值和最小值; 2 (2)若 g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上是单调函数,求 m 的取值范围.

8.已知二次函数 f(x)满足条件 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x. (1)求 f(x); (2)求 f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值.

二、能力提升 9.函数 f(x)=x2-4x+5 在区间[0,m]上的最大值为 5,最小值为 1,则 m 的取值范围是 ________. 10.函数 y=-x2+6x+9 在区间[a,b](a<b<3)有最大值 9,最小值-7,则 a=__________, b=__________. 11.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 1 1 12.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数; 1 1 (2)若 f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2],求 a 的值. 2 2

三、探究与拓展 x? 13.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f? ?y?=f(x)-f(y),当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明; (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

答案
1. 2. 1 2 1 2

3.(0,2] 4.10、6 5.4、-4 6. 4 3

1 7.解 (1)∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[ ,3], 2 ∴f(x)的最小值是 f(1)=1, 1 5 又 f( )= ,f(3)=5, 2 4 1 所以 f(x)在区间[ ,3]上的最大值是 5,最小值是 1. 2 (2)∵g(x)=f(x)-mx=x2-(m+2)x+2, m+2 m+2 ∴ ≤2 或 ≥4,即 m≤2 或 m≥6. 2 2 故 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 8.解 (1)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ∵f(0)=1, ∴c=1; ∵f(x+1)-f(x)=2x, ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
? ?2a=2 即:2ax+a+b=2x,∴? , ?a+b=0 ? ?a=1 ? ∴? , ? ?b=-1

∴f(x)=x2-x+1. 1 3 (2)∵f(x)=x2-x+1=(x- )2+ , 2 4 1 又∵ ∈[-1,1], 2 1 ∴当 x= 时,函数 f(x)有最小值, 2 当 x=-1 时,f(x)有最大值,

1 3 即 f(x)min=f( )= , 2 4 f(x)max=f(-1)=3. 9.[2,4] 10.-2 0

11.(-∞,-5] 12.(1)证明 设 x2>x1>0, 则 x2-x1>0,x1x2>0, 1 1 ? ?1 1 ? ∵f(x2)-f(x1)=? ?a-x ?-?a-x ?
2 1

1 1 x2-x1 = - = >0, x1 x2 x1x2 ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增的. (2)解 1 1 ∵f(x)在[ ,2]上的值域是[ ,2], 2 2

1 又 f(x)在[ ,2]上单调递增, 2 1? 1 ∴f? ?2?=2,f(2)=2. 2 ∴易得 a= . 5 13.解 (1)∵当 x>0,y>0 时, x? f? ?y?=f(x)-f(y), ∴令 x=y>0, 则 f(1)=f(x)-f(x)=0. (2)设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, x2? 则 f(x2)-f(x1)=f? ?x ?,
1

x2? x2 ∵x2>x1>0.∴ >1,∴f? ?x1?>0. x1 ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知 f(x)在[1,16]上是增函数. ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), x? ∵f(4)=2,由 f? ?y?=f(x)-f(y), 16? 知 f? ? 4 ?=f(16)-f(4),

∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4].


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