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【课堂新坐标】2013-2014学年高中数学 3.2 第2课时 均值不等式的应用课后知能检测 新人教B版必修5

【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.2 第 2 课时 均值不等式的应用课后知能检测 新人教 B 版必修 5

一、选择题 1.下列函数中,最小值为 4 的函数是( 4 A.y=x+ ) 4 B.y=sin x+ sin x
-x

x

C.y=e +4e

x

D.y=log3x+logx81

【解析】 A 中,x 符号不定,排除 A;B 中,当 sin x=2 时取“=”,不可能,∴排 除 B;C 中,e =2 时取“=”,故选 C;D 中,log3x 符号不定,∴排除 D. 【答案】 C 1 4 2.(2013·济南高二检测)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是(
x

a b

)

A. C.

7 2 9 2

B.4 D.5

1 4 a+b 2a+2b 1 b 2a 5 【解析】 ∵a+b=2,∴y= + = + = + + +2≥ +2 a b 2a b 2 2a b 2 9 b 2a ,当且仅当 = 且 a+b=2,取“=”. 2 2a b 【答案】 C

b 2a · = 2a b

3.(2013·德州高二检测)某工厂第一年产量为 A,第二年的增长率为 a,第三年的增长 率为 b,这两年的平均增长率为 x,则( A.x= C.x> ) B.x≤ D.x≥
2

a+b
2 2

a+b
2 2

a+b

a+b

【解析】 由条件知 A(1+a)(1+b)=A(1+x) , ∴(1+x) =(1+a)(1+b)≤[ ∴1+x≤1+
2

+a + 2 .

+b

],

2

a+b
2

,故 x≤

a+b
2

1

【答案】 B 4. (2013·重庆高二检测)若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 【解析】 f(x)=x+ ∵x>2,∴x-2>0. ∴f(x)=x-2+ 1 1 1 1 (x>2)在 x=a 处取最小值, 则 a=( x-2 )

B.1+ 3 D.4

x-2

=x-2+

1

x-2

+2.

x-2

+2≥2 ,

x-

1

x-2

+2=4,

当且仅当 x-2=

x-2

即 x=3 时“=”成立. 又 f(x)在 x=a 处取最小值.∴a=3. 【答案】 C 5.若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是( A.[6,+∞) C.(0,9] B.[9,+∞) D.(0,6] )

【解析】 ∵a,b 是正数,∴ab=a+b+3≥2 ab+3(当 a=b 时取“=”),即 ab- 2 ab-3≥0,∴ ab≥3 或 ab≤-1(舍去),∴ab≥9. 【答案】 B 二、填空题 5 6.已知 0<x<1,则 f(x)=2+log2x+ 的最大值是________. log2x 5 【解析】 当 0<x<1 时,log2x<0,所以 f(x)=2+log2x+ log2x 5 =2-[(-log2x)+ ]≤2-2 5. -log2x 5 当且仅当-log2x= , -log2x 即(log2x) =5,亦即 x=2 【答案】 2-2 5 7.(2013·苏州高二检测)函数 y=a 1 1
1-x 2 - 5

时,等号成立.

(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线

mx+ny-1=0(mn>0)上,则 + 的最小值为________. m n
【解析】 由题意知 A(1,1),∴m+n=1,
2

1 1 1 1 n m ∴ + =( + )(m+n)=2+ + ≥4,

m n

m n

m n

当且仅当 m=n 时“=”成立. 【答案】 4 8.某校要建造一个容积为 8 m ,深为 2 m 的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平 方米分别为 240 元和 160 元,那么水池的最低总造价为________元. 【解析】 设底面的长为 x m,宽为 y m,水池总造价为 z 元,根据题意,有 2xy=8, ∴xy=4,且
3

z=240× +160·(2×2x+2×2y)
=120×8+640(x+y) ≥120×8+1 280 xy =120×8+1 280×2 =3 520. 【答案】 3 520 三、解答题 9.(2013·锦州高二检测)设 x>-1,求 y=

8 2

x+ x+1

x+

的最小值.

【解】 ∵x>-1,∴x+1>0,设 x+1=t>0,则 x=t-1,于是有

y=

t+ t t

t+

t2+5t+4 4 = =t+ +5≥2 t t

t· +5=9. t

4

4 当且仅当 t= ,即 t=2 时取等号,此时 x=1. ∴当 x=1 时,函数取得最小值是 9. 10.已知正常数 a,b 和正变数 x,y,满足 a+b=10, + =1,x+y 的最小值是 18, 求 a,b 的值. 【解】 x+y=(x+y)( + )=a+b+ + ≥a+b+2 ab=( a+ b) , ∴( a+ b) =18. 又∵a+b=10, ∴a=2,b=8 或 a=8,b=2. 11.(2013·临沂高二检测)某开发商用 9 000 万元在市区购买一块土地建一幢写字楼, 规划要求写字楼每层建筑面积为 2 000 平方米. 已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米 4 000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加 100 元. (1)若该写字楼共 x 层,总开发费用为 y 万元,求函数 y=f(x)的表达式(总开发费用=
3
2

a b x y

a b x y

bx ay y x

2

总建筑费用+购地费用); (2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建多少层? 【解】 (1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为: 4 000×2 000=8 000 000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多: 100×2 000=200 000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项,20 为公差的等差数列,所以函 数表达式为:

x x- y=f(x)=800x+
2
2

×20+9 000
*

=10x +790x+9 000(x∈N ). (2)由(1)知写字楼每平方米平均开发费用为:

f x g(x)= ×10 000= 2 000x x

x2+790x+ x

900 =50(x+ +79)≥50×(2 900+79)=6 950(元). 900 当且仅当 x= ,即 x=30 时等号成立.

x

∴该写字楼应建 30 层.

4