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2[1].6 极限存在准则 两个重要极限


2.6 极限存在准则 两个重要极限
? 重点: 重点: ? 1、两个重要极限的原理; 、两个重要极限的原理; ? 2、利用两个重要极限求函数的极限。 、利用两个重要极限求函数的极限。

一、极限存在准则
1.两边夹准则 两边夹准则
则 件: 准 Ⅰ 如 数 xn , yn 及zn 满 下 条 : 果 列 足 列 件

(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞

(n = 1,2,3L )

(2) lim yn = a, limzn = a,
末 列 那 数 xn 的 限 在 且lim xn = a. 极 存 ,
n→∞

n→∞

则 ′ 果 准 Ⅰ 如 当x ∈Uδ ( x0 )(或x > M )时 有 ,
0

(1) g( x) ≤ f ( x) ≤ h( x), (2) x→x g( x) = A, x→x h( x) = A, lim lim
( x→∞)
0

( x→∞)

0

末 那 lim f ( x)存 , 且 于A. 在 等
x→ x→x0 ( x→∞)

准则

和准则

‘称为;两边夹准则. 称为;两边夹准则

注意: 利用夹逼准则求极限关 注意: 键是构造出yn与zn ,

并且 yn与zn的极限是容易求的.

例1 求 lim (
n→ ∞

1 n +1
2

+

1 n +2
2

+L+

1 n +n
2

).

n 1 1 n , < +L+ < 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1

n 1 又 lim 2 = lim = 1, n→ ∞ n + n n→ ∞ 1 1+ n n 1 lim 2 = lim = 1, 由夹逼定理得 n→ ∞ n + 1 n→ ∞ 1 1+ 2 n 1 1 1 lim ( 2 ) = 1. + +L+ 2 2 n→ ∞ n +1 n +2 n +n

2.单调有界准则 单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 ≤ x 2 L ≤ x n ≤ x n + 1 ≤ L , 单调增加 x1 ≥ x 2 L ≥ x n ≥ x n + 1 ≥ L , 单调减少
. 则Ⅱ 准 Ⅱ 单调 界数列 则 有 必有 极限

单调数列

几何解释: 几何解释

x1 x 2 x 3x n x n + 1

A

M

x

例2

证明数列 xn = 3 + 3 + L + 3 ( n重根
∴ {xn } 是单调递增的 ;

式)的极限存在 . 证 显然 x n + 1 > x n ,
∴ {xn } 是有界的 ;

又 Q x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k< 3 + 3 < 3,

∴ lim x n 存在.
n→∞
2 lim x n + 1 = lim ( 3 + x n ), n→ ∞ n→∞

2 Q x n+1 = 3 + x n , x n+1 = 3 + x n ,

1 + 13 1 ? 13 (舍去 舍去) , A= 舍去 解得 A = 2 2 1 + 13 . ∴ lim x n = n→∞ 2
A 2 = 3 + A,

C

二、两个重要极限
(1)

B
o
π
x

sin x lim =1 x→0 x

D

A

设单位圆 O , 圆心角 ∠AOB = x , (0 < x < ) 2

作单位圆的切线 ,得?ACO .

的高为 扇形 OAB的圆心角为 x , ?OAB的高为 BD , 的圆心角为
于是有 sin x = BD , x = 弧 AB , tan x = AC ,

∴ sin x < x < tan x ,

sin x 即 cos x < < 1, x

π 上式对于 ? < x < 0也成立 . 2

当 0 < x < 时, 2

π

x x 2 x2 0 < cos x ? 1 = 1 ? cos x = 2 sin 2 < 2( ) = , 2 2 2

x2 Q lim = 0, x→0 2
∴ lim cos x = 1,
x→0

∴ lim(1 ? cos x ) = 0,
x→0

又 Q lim 1 = 1,
x→0

sin x ∴lim = 1. x→0 x

1 ? cos x 例3 求 lim . 2 x→0 x
x 2 x 2 sin sin 1 2 = lim 2 解 原式 = lim x→0 x2 2 x →0 x 2 ( ) 2 x sin 1 2 )2 1 2 = lim( = ?1 x→0 x 2 2 2 1 = . 2
2

(2)

1 x lim(1 + ) = e x→∞ x

证明: 证明:略(不要求) 不要求)

1 x ∴ lim(1 + ) = e x→∞ x
1 令t= , x
x→0

1t lim(1 + x) = lim(1 + ) x→0 t →∞ t
1 x

1 x

lim(1 + x) = e

1 x 例4 求 lim (1 ? ) . x→∞ x

1 1 ? x ?1 ) ] = lim 原式 = lim[(1 + x→∞ x →∞ 1 ?x ?x (1 + ) ?x 1 = . e

3 + x 2x 例5 求 lim ( ) . x→∞ 2 + x

1 x+2 2 1 ?4 ) ] (1 + ) = e2 . 原式 = lim[(1 + x→∞ x+2 x+2

三、小结
1.两个准则 夹逼准则; 夹逼准则 单调有界准则 . 2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,

sinα 0 1 lim = 1; 某过程 α

20 lim (1 + α) = e.
某过程

1 α

练 习 题
一、填空题: 填空题 sin ωx 1、 lim = _________ . x→0 x sin 2 x 2、 lim = __________ . x → 0 sin 3 x

arccot x 3、 lim = __________ . x →0 x
4、 lim x ? cot 3 x = __________ .
x →0

sin x 5、 lim = __________ . x →∞ 2 x

6、 lim(1 + x ) = _________ .
x→0

1 x

1 + x 2x 7、 lim ( ) = _________ . x→∞ x 1 x 8、 lim (1 ? ) = _________ . x →∞ x 求下列各极限: 二、求下列各极限 1 ? cos 2 x 1、 lim x→0 x sin x 1 2、 lim (tan x ) tan 2 x 5、 lim ( 1 + 2 n + 3 n ) n π
x→

n→ ∞

x+a x 3、 lim ( ) x→∞ x ? a
n2 + 1 n 4、 lim( ) n→ ∞ n+1

4

练习题答案
一、1、ω ; 5、 5、0; 二、1、2; 5、 5、3. 三、 lim x n = 2 .
x→∞

2 2、 ; 2、 3

3、1; 3、 7、 7、e 2 ; 3、e 2 a ; 3、

6、 6、e ;
1 2、 ; 2、 e

1 ; 3 1 8、 8、 ; e

4、 4、

4、e ?1 ; 4、

作业
? 课本 ? 83页 页 ? 10. 偶数题目


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