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一元二次不等式及其解法 (参赛作品)


§3.2 一元二次不等式及其解法
合江中学 【教学目标】 知识与技能 研究一元二次不等式的解与二次函数、 一元二次方程的密切关联, 掌握用图像法求解一 元二次不等式的方法,培养学生数形结合的能力。 过程与方法 通过学生感兴趣的上网问题及计时收费问题引入的不同的收费方式,抽象出不等关系, 再通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、 方程的联系, 获得一元二次不等式的简单 解法。 情感态度与价值观 激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联 系的辩证思想。 【教学重点】 运用数形结合的思想求解一元二次不等式 【教学难点】 一元二次不等式的解与二次函数、一元二次方程之间的密切关联 【教学方式】 启发式教学、探究型教学 【教学过程】 (一)课题导入 同学们,你们喜欢上网吗?你们喜欢用电信的网络,还是移动联通的网络呢? 现在,某同学需要上网查找学习资料,而计算机的上网接口有两个,分别是电信的和网 通的,它们的收费标准不同。假如电信公司每小时收费 1.5 元(不足 1 小时按 1 小时计算) ; 网通公司在第 1 小时内(含恰好 1 小时,下同)收费 1.7 元,第 2 小时内收费 1.6 元,以后 每小时减少 0.1 元(若用户一次上网时间超过 17 小时,按 17 小时计算) 。 一般来说, 一次上网时间不会超过 17 小时, 所以, 不妨设一次上网时间总小于 17 小时。 那么, 一次上网在多长时间以内能够保证选择电信公司的上网费用小于或等于选择网通公司 的上网费用呢? 王芳

分析问题:假设一次上网 x 小时,则电信公司收取的费用为 1.5x(元) ,网通公司收取的费 用为

x(35 ? x) ( 元) , 如果 能 够 保证 选 择 电 信 公司 比 选 择网 通 公 司 所 需费 用 少 ,则 20 x(35 ? x) ? 1.5 x ,整理得:一元二次不等式模型: x 2 ? 5x ? 0 ???? ① 20
设计意图:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型(互联网的收费问题) ,引入新课。 (二)讲授新课 1、一元二次不等式的定义 我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是 2 的不等式, 称为一元二次不等式。 2、探究一元二次不等式 x ? 5 x ? 0 的解集
2

怎样求不等式 x ? 5x ? 0 的解集呢?
2

(1)探究问题,寻找方法 一元二次不等式不是我们熟悉的东西,但是在我们已学的知识中,有没有和它一样,都 是只有一个未知数,且最高次方是 2 次的呢?
2 回忆: x ? 5 x ? 0 和 f ( x) ? x ? 5x
2

这是我们十分熟悉的一元二次方程和二次函数, 那么这三者之间又有着怎样的关联呢? 寻找答案: 一般地,方程研究的是实根问题,而函数研究的是零点问题。 观 察 发 现 , 一 元 二 次 方 程 x ? 5 x ? 0 有 两 个 实 数 根 : x1 ? 0, x2 ? 5 ; 二 次 函 数
2

f ( x) ? x 2 ? 5x 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 。
(2)观察图象,获得解集 画出二次函数 y ? x ? 5 x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x < 0,或 x > 5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y > 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

当 x ? 0 ,或 x ? 5 时,函数图像与 x 轴相交,此时, y ? 0 ,即 x ? 5 x ? 0
2

当 0 < x < 5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y < 0,即 x ? 5 x ? 0 ;
2

通过上述分析,我们可知,不等式 x ? 5x ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 5} ,从而解决了开
2

始时提出的问题,所以我们可知:当一次上网在 5 个小时之内(含恰好 5 个小时)的时候, 选择电信比选择网通费用要少;当超过 5 个小时的时候,选择网通费用较少。因此,我们可

以结合平时的上网时间合理的来进行选择。 设计意图:从一个特殊的不等式出发,通过图像分析给出,一元二次不等式可以通过结 合其所对的二次函数图像来进行求解。 (3)探究三个“二次”之间的关联 通过共同的探讨,我们发现“一元二次方程的两个实根是对应的二次函 数的零点”, “一元二次不等式的解与方程的两实根有关” 当二次函数的开口方向向上时,对应不等式的解满足“大于取两边,小 于取中间”的特征。 (4)探究一般的一元二次不等式的解法 我们可以由函数的零点与相应一元二次方程根的关系, 先求出一元二次 方程的根,再根据函数图象与 x 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。 3.例题讲解: 例 1、解下列关于 x 的不等式 (1) x ? x ? 6 ? 0 ; (2) x ? x ? 2 ? 0 (3) x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2 2

解: ( 1 ) 因 为 ? ? (?1)2 ? 4 ?1? (?6) ? 25 ? 0 , 方 程 x 2 ? x ? 6 ? 0 的 两 根 是

x1 ? 3, x2 ? ?2 ,
所以,原不等式的解集是 x x ? ?2或x ? 3 。 (2)因 为 ? ? 1 ? 4 ? 1? (?2) ? 9 ? 0 , 方 程 x ? x ? 2 ? 0
2 2

?

?

的 两 根 是

x1 ? 1, x2 ? ?2 ,
所以,原不等式的解集是 x - 2 ? x ? 1 。 (3)因 为 ? ? (?1) ? 4 ?1? (?1) ? 5 ? 0 , 方 程 x ? x ? 1 ? 0
2 2

?

?

的 两 根 是

x1 ?

1? 5 1? 5 , x2 ? 2 2 ,

? 1? 5 1? 5 ? ?x? ?x ? 2 2 ?。 所以,原不等式的解集是 ?
(引出深入的思考:如果二次项的系数为负值时,我们又该如何处理呢?) 例 2:解不等式: ? x ? x ? 6 ? 0
2

(提出疑问: 有些什么方法可以求解这个不等式呢?如果保留二次项系数为负, 还能不 能求解这个一元二次不等式呢?) 设计意图: 通过四种不同形式的题目, 让学生从各个面对一元二次不等式进行进一步了 解,强调二次函数的图像,让学生规范操作。 (在第四个不等式上可以进行讨论) 。 (三)随堂练习: 1、解下列关于 x 的不等式 (1) x ? x ? 1 ? 0
2

(2) x ? 4 x ? 14 ? 10
2

(3) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

设计意图:检验教学效果,学生黑板演练。 备选题 2(根据学生程度和课堂时间情况进行调整) 2、求函数 f ( x) ?

x ? 2 ? 3 ? 2 x ? x 2 的定义域
? x?2?0 , 2 ?3 ? 2 x ? x ? 0

解:要使得函数有意义,则 ?

所以 ?

? x?2 , ?? 1 ? x ? 3

即 2 ? x ? 3,

故函数 f ( x) 的定义域是 ?2,3? 。 设计意图:结合函数定义域,拓宽学生知识面,列出式子让学生黑板练习,检验教学效 果。 (四)课时小结 今天我们通过具体的例子, 学习了一元二次不等式及其解法, 知道了一元二次不等式与 二次函数,一元二次方程之间的关联,掌握了求解一元二次不等式的关键:数形结合的基本 思想;总结出求解一元二次不等式的步骤:先求出Δ 和相应方程的解,再画出函数图象,根 据图象写出不等式的解集。 同学们能否结合今天所学知识, 对一元二次不等式的解集情况进得归纳总结呢?请同学 们下来后将课本上第 77 页的图表填充完整。 (五)作业: 课本 80 页习题 3.2 A 组第 1、2 题。


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