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10.2 空间直线与直线的位置关系(教案)


10.2 空间中直线与直线之间的位置关系
设计思想:
空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础 上进行学习的。在立体几何初步的内容中,位置关系主要包括直线与直线的位置关 系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置 关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种,是我们研究的重点。其中,等 角定理解决了角在空间中的平移问题,在平移变换下角的大小不变,它是两条异面 直线所成角的依据,也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据,它提供了 一个研究角之间关系的重要方法。 教材在编写时注意从平面到空间的变化,通过观察实物,直观感知,抽象概括 出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力,通过联系和比较,理解定义、 定理,以利于正确的进行运用。

教材分析:
直线与直线问题是高考考查的重点之一,求解的关键是根据线与面之间的互化 关系,借助创设辅助线与面,找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通 过对有关概念和定理的概括、证明和应用,使学生体会“转化”的观点,提高学生 的空间想象力和逻辑推理能力。

教学目标:
1、知识与技能 (1).掌握异面直线的定义,会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。 (2).会用平面衬托来画异面直线。 (3).掌握并会应用平行公理和等角定理。 (4).会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角,会在直角 三角形中求简单异面直线所成的角。 2、过程与方法 (1)自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合;

1

(2)让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。 3、情感态度与价值观 (1).让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 (2).增强动态意识,培养学生观察、对比、分析的思维,通过平移转化渗透数 学中的化归及辩证唯物主义思想。 (3).通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。 教学重点:异面直线的定义;异面直线所成的角的定义。 教学难点:异面直线所成角的推证与求解。 教具准备:学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型(正方体) 教学模式 问题——自主、合作——探究

教学过程:
一、复习引入 1.师:平面内两条直线的位置关系有? 生:相交直线、平行直线 相交直线(有一个公共点);平行直线(无公共点) 2.师:平面内不平行的两直线必相交,问:空间内还成立否? 通过实例展示。十字路口----立交桥 立交桥中, 两条路线 AB, CD 既不平行,又不相交(非平面问题) 六角螺母
D

C

A

B

二、新课讲解 1.异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 练习:在教室里找出几对异面直线的例子

2

(学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线) 2.异面直线的画法 说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬 托.
b

b

b

a

a
a

合作探究:分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 答:不一定:它们可能异面,可能相交,也可能平行。 (学生自告奋勇的在黑板上画出上述三种情况,即巩固异面直线的定义,又训练了 异面直线的画法) 3.空间两直线的位置关系 按平面基本性质分 (1)同在一个平面内:相交直线、平行直线 (2)不同在任何一个平面内:异面直线 按公共点个数分 (1)有一个公共点: 相交直线 (2)无公共点:平行直线、异面直线 注1:两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内. 合作探究:如图是一个正方体的展开图,如果将它 还原为正方体, 那么 AB , CD , EF , GH 这四条线段 所在直线是异面直线的有 对?
C G D H E B A

(学生以小组为单位,对照课前准备好的正方体模型,进行合作讨论,找出异面直 线。 老师通过几何画板展示此图还原的过程,与学生一起订正他们的答案) 答:共有三对 3.异面直线所成的角 (1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四个角, 其中不大于 90 度的角称为它们的夹角, 用以刻 H 画两直线的错开程度, 如图. G
E O D A 3 B C F

(2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD-EFGH 中, 异面直线 AB 与 HF 的错开程度可以怎样 来刻画 (3)问题猜想 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 思考 : 这个角的大小与 O 点的位置有关吗 ? 即 O 点位置不同时, 这一角的大小 是否改变? 答 : 这个角的大小与 O 点的位置无关. (4)理论支持 ㈠:我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, ? 之间有何关系?

a

b

c

d

e

a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ ?
公理4:在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.——平行线的传递性 推广:在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行. ㈡:在平面内, 我们可以证明 “ 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢? 观察:如图所示,底面为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, ∠1 =100o,∠1 与∠2 , ∠1 与∠3 两边分别对应平行, D1 ∠2 C1 ∠3 这两组角的大小关系如何? A1
∠1

B1

答:从图中可看出, ∠2=∠1, ∠3+∠1=180
A

D

∠1
B

C

定理(等角定理) :空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或 互补. 证: 这个角的大小与 O 点的位置无关. (5)解决问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作 直 线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的 角(或夹角).
b

b′ a′
O

a

异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]

4

注 2:如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角,我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a ⊥ b 注 3:在求作异面直线所成的角时,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线 段的中点等) 4.例题选讲 1.下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系? ①EC 和 BH 是 相交 直线 ②BD 和 FH 是 平行 直线 ③BH 和 DC 是 异面 直线 (2)与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条? 课后思考:长方体的棱中共有多少对异面直线?

H E F D A B

G

C

H

G

例 2.如图,正方体 ABCD-EFGH 中如图,正方体 E F ABCD-EFGH 中 O 为侧面 ADHE 的中心,求 (1)BE 与 CG 所成的角? D (2)FO 与 BD 所成的角? 解:(1)如图:∵CG∥BF, A B ∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE 与 CG 所成的角, 又 ? BEF 中∠EBF =450 ,所以 BE 与 CG 所成的角为 450 (2)连接 FH, ∵HD∥EA∥FB ∴HD∥FB ∴四边形 HFBD 为平行四边形, ∴HF∥BD,∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO 与 BD 所成的角。 连接 HA、AF,易得 FH=HA=AF,∴△AFH 为等边△, 又依题意知 O 为 AH 中点, ∴∠HFO=300 即 FO 与 BD 所成的夹角是 300 注 4:求异面直线的步骤是:“一作(找)二证三求”

C

5.课堂练习 (1).已知 a,b,c 是三条直线,且 a//b,a 与 c 的夹角为θ , 那么 b 与 c 夹角为 ___________ (答案:θ ) (2)判断: ①两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行. ②两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行. ③两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行. (答案: × × √) (3). 如图,已知空间四边形 ABCD 中,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点,试判断四边形 EFGH 是什么四边形,并证明你的结论。 (用课件给出 例 2) 证明:连结 BD ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点
H E D B F A

5

G C

∴EH 是△ABD 的中位线 1 ∴EH∥BD,且 EH= BD 2 1 同理,FG∥BD,且 FG= BD 2 ∴EH∥FG,且 EH=FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形 小组合作探究:在例 2 中,若加上条件 AC=BD,那么这 个四边形是什么四边形?(菱形) (4)如图,已知长方体 ABCD-EFGH 中, AB = 2 3 , AD = 2 3 , AE = 2 ①求 BC 和 EG 所成的角是多少度? ②求 AE 和 BG 所成的角是多少度?
H E D F C B G

(答案:

450 ;

600 )

A

6.课堂小结 异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 空间两直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线 异面直线的画法:用平面来衬托 异面直线所成的角:平移,转化为相交直线所成的角 公理4(平行公理) :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 异面直线所成角的求法: 一作(找)二证三求 7、课后作业: (1) (必做) :复查并修改《课前预习》 ,补充完善听课案 (2) (分层达标) :ⅰ:双基自诊 ⅱ:巩固提高 思考:“ 若直线 a 与直线 b 异面,直线 b 与直线 c 异面。 则 a 与 c 也异面”。 这一命题对吗?为什么? ( 即:异面直线是否具有传递性) 答:不一定。 注:异面直线不具有传递性 如图,正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、 BC 的中点,求异面直线 EF 与 AC 所成的角?
D F C A E B

6

思考:在此题中,连接 AC ,若有 AC=BD,则四边形 EFGH 是什么图形?

板书设计: 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1.异面直线的定义: 2.异面直线的画法
b

b

b

a

a
a

合作探究: (学生通过画图说明)

3、空间两直线的位置关系: 4、异面直线所成角的定义 公理4(平行公理) 等角定理

7


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