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随机事件的概率


随机事件的概率
适用学科 适用区域 知识点
数学 通用 随机事件和确定事件 频率与概率 互斥事件与对立事件

适用年级 课时时长(分钟)

高一 60

教学目标

1.理解频率与概率的含义 2.会区分互斥事件和对立事件,并且求解其概率

教学重点 教学难点

求解随机事件概率 会区分互斥事件和对立事件,并且求解其概率

1

教学过程
一、课堂导入

问题:什么是事件?事件与概率有哪些关系?

2

二、复习预习
1. 正确认识互斥事件与对立事件的关系: 对立事件是互斥事件, 是互斥中的特殊情况, 但互斥事件不一定是对立事件, “互斥”是“对立”的必要不充分条件. 2. 需准确理解题意,特别留心“至多……”,“至少……”,“不少于……”等语句的含义.

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三、知识讲解
考点 1 事件

(1)不可能事件、必然事件、随机事件: 在同样的条件下重复进行试验时, 有的结果始终不会发生, 它称为不可能事件; 有的结果在每次试验中一定会发生, 它称为必然事件;有的结果可能发生,也可能不发生,它称为随机事件. (2)基本事件、基本事件空间: 试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件,它是试验中不能再分的最简单的随机事件;所有基本事件构成的 集合称为基本事件空间,基本事件空间常用大写希腊字母 Ω 表示.

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考点 2

概率与频率

m (1)概率定义:在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率 n ,当 n 很大时,总是在某个常数附近摆动,随着 n 的 增加,摆动幅度越来越小,这时就把这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A). (2)概率与频率的关系:概率可以通过频率来“测量”,频率是概率的一个近似.

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考点 3

事件的关系与运算
名称 并事件(和事件) 互斥事件 互为对立事件 定义 由事件 A 和 B 至少有一个发生所构成的事件 C 不可能同时发生的两个事件 A、B 不能同时发生且必有一个发生的两个事件 A、B

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考点 4

概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率:P(E)=1. (3)不可能事件的概率:P(F)=0. (4)互斥事件的概率加法公式: ①P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B 互斥). ②P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)(A1,A2,…,An 彼此互斥). (5)对立事件的概率:P( A )=1-P(A).

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四、例题精析
考点一 例1 随机事件的关系 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅,记事件 A 为“只订甲报纸”,事件 B 为“至少订一种报纸”,事件 C 为“至 多订一种报纸”,事件 D 为“不订甲报纸”,事件 E 为“一种报纸也不订”.判断下列每对事件是不是互斥事件;如果 是,再判断它们是不是对立事件. (1)A 与 C;(2)B 与 E;(3)B 与 C;(4)C 与 E.

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【规范解答】解

(1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”,即事件 A 与事件 C 有可能同时发生,故

A 与 C 不是互斥事件. (2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故 B 与 E 是互斥事件.由于事件 B 不 发生可导致事件 E 一定发生,且事件 E 不发生会导致事件 B 一定发生,故 B 与 E 还是对立事件. (3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能:“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”,事件 C“至多订一 种报纸”中有这些可能:“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故 B 与 C 不是互斥事件. (4)由(3)的分析,事件 E“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能,即事件 C 与事件 E 有可能同时发生,故 C 与 E 不 是互斥事件. 【总结与反思】对互斥事件要把握住不能同时发生,而对于对立事件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件, 这些也可类比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定 所给事件的关系.

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考点二 例2

随机事件的频率与概率 某企业生产的乒乓球被 2012 年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球, 目前有关部门对某批产品进行了抽样检测,

检查结果如下表所示: 抽取球数 n 优等品数 m m 优等品频率 n (1)计算表中乒乓球优等品的频率; (2)从这批乒乓球产品中任取一个,质量检查为优等品的概率是多少?(结果保留到小数点后三位) 50 45 100 92 200 194 500 470 1 000 954 2 000 1 902

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【规范解答】解

m (1)依据公式 f= n ,计算出表中乒乓球优等品的频率依次是 0.900,0.920,0.970,

0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知,抽取的球数 n 不同,计算得到的频率值不同,但随着抽取球数的增多,频率在常数 0.950 的附近摆动, 所以质量检查为优等品的概率约为 0.950. 【总结与反思】频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小,但无法从根本上刻画事件发 生的可能性大小.但从大量重复试验中发现,随着试验次数的增多,事件发生的频率就会稳定于某一固定的值,该值就 是概率.

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考点三 例3

互斥事件、对立事件的概率 某商场有奖销售中,购满 100 元商品得 1 张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位,设特等奖 1 个,一

等奖 10 个,二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A、B、C,求: (1)P(A),P(B),P(C); (2)1 张奖券的中奖概率; (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

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【规范解答】解

1 10 1 50 1 (1)P(A)=1 000,P(B)=1 000=100, P(C)=1 000=20.

1 1 1 故事件 A,B,C 的概率分别为1 000,100,20. (2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1 张奖券中奖”这个事件为 M,则 M=A∪B∪C. ∵A、B、C 两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= 1+10+50 61 61 1 000 =1 000. 故 1 张奖券的中奖概率为1 000.

(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 1 ? 989 ? 1 ∴P(N)=1-P(A∪B)=1-?1 000+100?=1 000. ? ? 989 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为1 000.

【总结与反思】(1)解决此类问题,首先应结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选 择概率公式进行计算. (2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概 率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式 P(A)=1-P( A ) 计算.
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五、课堂运用
【基础】 1、从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品},事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 )

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【规范解答】答案 解析

C

事件“抽到的不是一等品”与事件 A 是对立事件,由于 P(A)=0.65,

所以由对立事件的概率公式得“抽到的不是一等品”的概率为 P=1-P(A)=1-0.65=0.35.

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3 7 2、在 5 张电话卡中,有 3 张移动卡和 2 张联通卡,从中任取 2 张,若事件“2 张全是移动卡”的概率是10,那么概率是10 的事件是 ( ) B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

A.至多有一张移动卡 C.都不是移动卡

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【规范解答】答案 解析

A

至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件,它是“2 张全是移动卡”的对立

事件,故选 A.

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【巩固】 1、在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A、B、C、D 的概率分别是 0.2、0.2、0.3、0.3,则下列说法正确的是 ( A.A+B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B+C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A+C 与 B+D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B+C+D 是互斥事件,也是对立事件 )

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【规范解答】答案 解析

D

由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A+B+C+D 是一个必然事件,故其事件的关系可由如图所示的 Venn 图表

示,由图可知,任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的 和事件也是对立事件.故选 D.

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2、一只袋子中装有 7 个红玻璃球,3 个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红球的概率为 7 1 ,取得两个绿球的概率为 15 15,则取得两个同颜色的球的概率为________;至少取得一个红球的概率为________.

20

【规范解答】答案 解析

8 15

14 15

(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件,取得两个同色球,只需两互斥事件有一个发生即可,

7 1 8 因而取得两个同色球的概率为 P=15+15=15. (2)由于事件 A“至少取得一个红球”与事件 B“取得两个绿球”是对立事件, 则至少取得一个红球的概率为 P(A)=1-P(B) 1 14 =1-15=15.

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【拔高】 1、对一批衬衣进行抽样检查,结果如表: 抽取件数 n 次品件数 m m 次品率 n (1)求次品出现的频率(次品率); (2)记“任取一件衬衣是次品”为事件 A,求 P(A); (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换,销售 1 000 件衬衣,至少需进货多少件? 50 0 100 2 200 12 500 27 600 27 700 35 800 40

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【规范解答】解

(1)次品率依次为 0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.

m (2)由(1)知,出现次品的频率 n 在 0.05 附近摆动, 故 P(A)=0.05. (3)设进衬衣 x 件, 则 x(1-0.05)≥1 000, 解得 x≥1 053, 故至少需进货 1 053 件.

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2、如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能 赶到火车站的概率; .. (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计 算说明,他们应如何选择各自的路径.

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【规范解答】 解 (1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44(人),

∴用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(3)设 A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站;B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟 内赶到火车站.由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5, ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择 L1. P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9, ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择 L2.
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同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,

课程小结
1. 对于给定的随机事件 A,由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A),因此可以用频率 fn(A) 来估计概率 P(A). 2. 从集合角度理解互斥和对立事件 从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,事件 A 的对立事 件 A 所含的结果组成的集合,是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集.

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