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高考新题型巧解点悟 专题二 函数与最值(含导数)


专题二

函数与最值(含导数)
一、新题型内核表解

二、新题型巧解点悟
1.图像法 【 例 1 】 已 知 函 数 f(x)=2-x2,g(x)=x . 若 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么 f(x)*g(x)的最大值是 . 【分析】将表达式 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}进行展开,得到分 段函数后,画出图像,根据图像得出所求的最大值. 【解】y=f(x)*g(x) ? ?

主干知识点 (1)基本初等函数的图像及其性 质(指、对数函数的定义域、 单调性、奇偶性及反函数等) (2)指、对数的运算及性质 (3)函数与其它数学单元的综合 问题及其应用 (4)两个函数的和、差、积、商 及其复合函数的导数;基本导 数公式;几种常见函数的导数 (5)可导函数在某点取得极值的 必要与充分条件 解题关键点 (1)正确理解对数式与指数式的 关系,掌握它们的运算 (2)牢记基本初等函数的图像与 性质,用定义法解题 (3) 画个图像,以形佐数;改 个视角,以数辅形;换个说 法,使问题变得直观易理解 (4)熟记基本导数公式;掌握两 个函数四则运算求导法则和复 合函数的求导法则 (5)运用函数思想解决问题

知能转化点 (1)能由几何图形性质或物理等 学科知识建立函数关系(即建 模);能利用指数函数、对数 函数的性质解决简单的实际问 题 (2)掌握极限思想,会求某些简 单函数的导数 (3)利用导数研究函数的单调性 和极值、函数的最大值和最小 值、图像上某点处的切线等 (4)文字语言、符号语言及图形 语言的相互转化 常见障碍点 (1)容易忽视“定义域优先”的原 则,包括判断函数奇偶性、求 复合函数的单调区间、实际问 题中变量的范围、对数函数底 及对数的限制条件等 (2)易混淆图形变换大小与方向 (3)误认函数的极大值不小于极 小值;误认导数为 0 的点一定 是极值点 (4)容 易 混淆 可导 与连 续的 关 系,误为它们等价

? f ( x), ? g ( x),

f ( x) ? g ( x) . f ( x ) ? g ( x)
y A o x

画出上述函数的图像,如图 1, 由图易知,图中的最高点 A 的纵坐标 即为所求.

?y ? 2 ? x2 解方程组 ? ,得 ?y ? x

(x,y) = (1,1)或(-2,-2). B 于是所求的最大值为 1. 图1 【点悟】①解题关键点是准确 理解 f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)}的含义, 在此基础上运用所学的知识和已掌握 的方法或解题经验灵活解题. ②解题规律是分段函数的最值一般均用图像法画出各分段函 数的图像,然后观察出它们在各段图像上的最值点,并比较它们最 值的大小. ③解题易错点:容易误认为所求的最大值是函数 f(x)的最大 值或 g(x)的最大值. 【例 2】求函数 y ? x ? 1 ? x 的值域. 【分析】将无理函数转化为有理函数(整式函数)来处理.
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【解】令 t= 1 ? x ,得 x=1-t2,于是 y=1-t2-t,这是一个关 于 t 的二次函数,配方得 y= - (t+

1 2 5 ) + ,注意到 t= 1 ? x ≥ 2 4

f(-x)= -f(x),进而 f(x)= - (x2+2x+2)= - x2-2x-2. 又当 x=0 时,f(0)= f(-0)= -f(0),从而 f(0)=0. 因此 f(x)在(-∞,+∞)上的解析式是

1 5 0,故二次函数 y= - (t+ )2+ 的定义域是 [0,??) ,结合二次函 2 4 数的图像(如图 2)可得 y≤1,即所求函数的值域是 (??,1] .
【点悟】①解题关键点巧妙换 元,准确作出示意图. ②解题规律是对于带有根式的 无理函数,我们常将其转化为整式 函数来加以求解. ③解题易错点:容易忽视换元 的等价性,从而扩大或缩小未知数 的取值范围.事实上,所作换元 t= 1 ? x ,隐含着 t 的范围为非负实 数,从而所得二次函数的定义域 y= - (t+

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? . f ( x) ? ? 0, x ? 0 2 ?? x ? 2 x ? 2, x ? 0 ?
作出 f(x)的图像(如图 3),由图即得:增区间 是 (??,?1] , [1,??) , 减 区 间 是 [?1,0) ,

(0,1] .
【点悟】①解题关键点:准确理解奇函数的性质,利用分类的办 法表示出所求函数的解析式(即分段函数). ②解题技巧:利用奇偶函数的对称性可简化作图,利用函数 图像的直观性可求单调区间. ③解题规律:(ⅰ)由奇偶函数在原点一侧的解析式,必能 求得它在原点另一侧的解析式,其基本思想是通过“-x”实现转 化;(ⅱ)若 x=0 在奇函数的定义域内,则必有 f(0)=0,即其图 像必过原点. ④解题易错点:(ⅰ)容易漏求当 x=0 时的解析式;(ⅱ) 两个单调区间之间用符号“∪”连接. 【例 4】F(x)= (1 ?

1 2 5 5 ) + 为 [0,??) ,故不能认为函数的值域为 (?? , ] .这时 2 4 4

可结合图像观察得正确结论. 2.定义法 【例 3】已知定义在(-∞,+∞)上的函数 f(x)的图像关于原 点对称,且当 x>0 时,f(x)= x2-2x+2,求函数 f(x)的解析式,并指 出它的单调区间. 【分析】由图像的对称性可知,f(x)是奇函数,因而可根据奇函数 的定义求解.但这里不能忘了求 f (0) 【解】当 x<0 时,-x>0,故 f(-x)=(-x)2-2(-x)+2=x2+2x+2. 因函数 f(x)的图像关于原点对称,故函数 f(x)为奇函数.于是

2 ) f ( x)( x ? 0) 是偶函数,且 f(x) 2 ?1
x

不恒等于零,则 f(x) ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数 【分析】本题主要检测对函数的奇偶性的理解以及灵活的变形能 力,可利用函数奇偶性定义直接进行判断.

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【解】解法一 因 F(x)= (1 ? =

2 ) f ( x) 2 ?1
x

地选择 D. 【例 5】已知函数 f(x)=

2x ?1 f ( x)(x ? 0) , 2x ?1

1 +a 是奇函数. 2 ?1
x

又 F(x)是偶函数,即 F(-x)=F(x),于是

因 解
x

2?x 2?x

2?x ? 1 2x ?1 f (? x) = x f ( x) . 2?x ? 1 2 ?1 ?1 1? 2x = ,故 f(-x)= -f(x) ( x ? 0) . ?1 1 ? 2x
二 由 题 设 得 F(-x)=F(x) , 且

(1)求常数 a 的值; (2)判断 f(x)的单调性并证明; (3)求函数 f(x)的值域. 【分析】(1)利用奇函数的定义,将函数值的关系变形为 f(x)+f(x)=0,进而求出 a 的值.(2)用定义法证明函数的单调 性.(3)利用反函数法求函数的值域. 【解】(1)因 f(x)是奇函数,故

又 f(x)不恒为零,故 f(x)是奇函数.所以答案选 A. 法

f(x)=

2 ?1 F ( x) ( x ? 0) . 2x ?1 2?x ? 1 1? 2x F (? x) = 于是 f(-x)= ? x F(x)= -f(x) ( x ? 0) . 2 ?1 1? 2x

1 1 +a)+( ? x +a) = 2a-1 = 0, 2 ?1 2 ?1 1 于是,2a -1=0,即 a = . 2 1 1 2 x2 ? 2 x1 (2) f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x . ? x2 ? x1 2 1 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x2 ? 1)
f(x)+f(-x)=(
x

又 f(x)不恒为零,故 f(x)是奇函数,答案选 A. 【点悟】①解题关键点:紧扣函数奇偶性的定义,对表达式 灵活变形. ②解题规律:(ⅰ)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的必要条件,当定义域不关于原点对称时,函数是非奇非偶函 数;(ⅱ)定义域关于原点对称且函数值为零的常数函数一定既 是奇函数又是偶函数,因此既是奇函数又是偶函数的函数有无数 多个;(ⅲ)判断 f(-x)与 f(x)或 –f(x)的关系时,可变形研究关系 f(-x)+f(x)=0,或 f(-x)- f(x)=0,能否成立. ③解题易错点:容易忽视对

①若 0<x1<x2,则 1 ? 2

? 2 x2 , x x x x 于是 2 2 ? 2 1 >0, 2 1 ? 1 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 0 , 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
x1

? 2 x2 ? 1 , x x x x 于是 2 2 ? 2 1 >0, 2 1 ? 1 ? 0 , 2 2 ? 1 ? 0 , 仍有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
②若 x1<x2<0,则 2
x1

综上,f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上都是减函数. (3)由 y=

2 ?1 作进一步变形,从而错误 2?x ? 1

?x

1 1 1 2y ?1 x ? 0 ,解得 y ? + 得 :2 ? 2 2 ?1 2 2y ?1
x

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或y??

1 1 1 ,即函数值域是 ( ?? ,? ) ? ( ,?? ) . 2 2 2

【点悟】①解题关键点:准确理解函数奇偶性及单调性的定 义,灵活的数式变形能力,以及良好的自信心. ②解题规律:定义法是一种重要的解题方法,应注意应用. ③解题技巧:求复合函数 y=f(ax)的值域时,如果能从 y=f(ax) 中反解出 ax=f 1(y),问题即转化为解关于 y 的不等式 f 1(y)>0. ④解题易错点:误认为函数在整个定义域上是减函数. 3.单调性法 【例 6】甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙 地,速度不得超过 c 千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元 为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(千米/ 时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全部运输成本 y(元)表示成 v(千米/时)的函数, 并指出它的定义域; (2)为使 y 最小,汽车应以多大速度行驶? 【分析】首先读懂题目,弄清题意,明确题中所给各量的含义及 它们之间的关系,并由此得出所求函数 y=f(v),再根据 y=f(v)的解 析式去解第(2)问. 【解】(1)依题意 y=(bv2+A) y=S (bv+

a a ≤c,则当 v ? (千米/时)时,y= 2S ab 最小. b b a 若 >c,设 0<v1<v2≤c,考虑函数 y=f(v)的单调性. b a a f(v2)- f(v1)= S (bv2 ? bv1 ? ? ) v2 v1 a(v1 ? v2 ) S (v2 ? v1 ) = S[b(v2 ? v1 ) ? ]= (bv1v2 ? a) v1v2 v1v2 S (v2 ? v1 ) S (v2 ? v1 ) a < (bc2 ? a) < (b ? ? a) =0 v1v2 v1v2 b
若 因此,y=f(v)是减函数.于是,当 v = c(千米/时),y 最小. 综上可知,当

a a a ≤c 时,取 v ? (千米/时);当 >c b b b

S ,v ? (0, c] .化简,得 v

a ),v ? (0, c] . v a a 2 (2)因 bv+ = ( bv ? ) ? 2 ab ,当且仅当 bv ? v v
即v ?

(千米/时)时,取 v = c,这样可使 y 最小. 【点悟】①解题关键点:对于应用问题,首先读懂题目,理解题 意,其次正确看待常数参数 a,b,c 在解题中的作用,注意比较 它们的大小,分情况进行讨论. ②解题技巧:运用函数的单调性求函数的最值,是函数中常 用的技巧之一. ③ 解题易错 点:容易 忽略 第(2 )小问中 ,分

a , v

a ≤c 与 b

a a 时,bv+ 有最小值 2 ab . v b

a >c 两种情况的讨论. b
④注:本题中的 S 纯属多余,这完全是为了解题的统一而引 进的一个参数.
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【例 7】已知函数 f(x)=

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) . x

(1)当 a=0.5 时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x ? [1,??) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范 围. 【分析】(1)这是一个带有定义域的分式函数求最值问题,能否 使用算术几何平均值不等式求最值,要视 a 的取值而定.因为用 算术几何平均值求最值的条件是“一正二定三相等”,这里的相 等条件能否满足是一个关键.(2)对于带有定义域的函数,经变 形化为整式函数后,它恒满足某个条件,能否使用判别式法求参 数的取值范围,亦要视具体情况而定. 【解】(1)当 a =0.5 时,f(x)=x+ 任设 1≤x1<x2,则 f(x1) - f(x2) =( x1+

要方法之一.当诸多方法失效时,单调性法往往奏效;另外,函 数思想在不等式问题中有着重要应用.若函数 f(x)的最大值为 M,最小值为 m,则 (ⅰ)f(x)<a 恒成立 ? a∈(M,+∞); (ⅱ)f(x)>a 恒成立 ? a∈(-∞,m); (ⅲ)f(x)<a 有解 ? a∈(m,+∞); (ⅳ)f(x)>a 有解 ? a∈(-∞,M). ③解题易错点:(ⅰ)第(1)小问中,不能用判别式法求最

1 +2, x ? [1,??) . 2x

( x ? x2 )(2 x1 x2 ? 1) 1 1 +2)-( x2+ +2)= 1 2 x1 2 x2 2 x1 x2

1 +2 得 2x2-2(y-2)x +1=0,由⊿=4(y2x 2)2-8 ≥ 0 得 y ≥ 2+ 2 ( 因 y>0 , 故 y ≤ 2- 2 , 不 合 , 舍 去.).这时若认为 ymin=2+ 2 那就错了.因为当 y=2+ 2 时, 2 2x2-2 2 x+1=0,解得 x= ? [1,??) ;(ⅱ)同样也不能也算 2
小值.事实上,由 y=x+ 术 几 何 平 均 值 不 等 式 求 最 值 . 事 实 上 , y=x+ x=

因 1≤x1<x2,故 x1- x2<0,且 x1x2>1,于是 x1x2>0,2x1x21>0,从而 f(x1) - f(x2)<0,即 f(x1) < f(x2),故 f(x)在 [1,??) 上是增

1 1 1 +2 ? 2 x ? ,即 ? 2 =2+ 2 ,取等号的条件是 x= 2x 2x 2x

7 函数,所以 f(x)在 [1,??) 上的最小值是 f(1)= . 2 (2)因 x ? [1,??) ,于是 f(x)>0 恒成立 ? x2+2x+a>0 恒成立. 又函数 y=g(x)= x2+2x+a=(x+1)2+(a-1)在 [1,??) 上是增函数,
于是,当 x=1 时,ymin=3+a.令 3+a>0 得 a>-3. 因此,当 a∈(-3,+∞)时,f(x)>0 恒成立. 【点悟】①解题关键点:将不等式恒成立问题转化为函数的 最小值恒为正实数. ②解题技巧:求函数值域(最值)方法很多,单调性法是重

2 2 ,但 ? [1,??) ,故该法也是失效的;(ⅲ)第(2)小 2 2

问中,在将问题转化为 y= x2+2x+a>0 恒成立后,也不能由⊿<0 求 a 的范围.“⊿<0”只是“y= x2+2x+a>0 在 [1,??) 上恒成立”的 充分条件,而不是必要条件. 4.建模法 【例 8】在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差, 使得 n 次测量分别得到 a1,a2,?,an,共 n 个数据.我们规定 所测量物理量的“最佳近似值 a”是这样一个量:与其它近似值 比 较 , a 与 各 数 据 的 差 的 平 方 和 最 小 . 依 此 规 定 , 从 a1 ,
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a2,?,an 推出的 a = . 【分析】这是一道 1994 年全国高考题,其实际背景是物理学科的 统计问题,跨学科应用是一种大势所趋,形势必然.要很好地完 成这类题型,须做到:①读题划出关键词:“n 次测量”、“n 个 数据”、“最佳近似值 a”;②对新定义概念“最佳近似值 a”的 准确理解;③抓住“a 与各数据的差的平方和最小”的条件建立 关于 a 的目标函数 f(a);④求出 f(a)的最小值. 【解】f(a)=(a-a1)2+(a-a2)2+?+(a-an)2
2 2 2 =na2-2(a1+a2+?+an)a+ (a1 ? a2 ? ? ? an ) .

【解】利用常用的导数公式及函数的求导的运算法则,不难 得到答案选 B. 【点悟】①解题关键点是熟练掌握常用导数公式及函数(含复合 函数)的求导的运算法则. ②解题技巧是:公式法是指利用常用的导数公式、函数的求 导的运算法则、复合函数的求导法则等解题的方法.用公式法解 题,往往显得有规(律)可循,有法(则)可依,有章(法)可 守. 请熟记下列常用的导数公式:

显 然 , f(a) 是 关 于 a 的 二 次 函 数 , 且 二 次 项 系 数 n>0 , 故 当 a=

1 (a1+a2+?+an)时,f(a)最小. n 1 故结果应填写“ (a1+a2+?+an)”. n

【点悟】①解题关键点:正确审题(包括读题、翻译、挖掘、领 悟等)、理解题意.而善于将 f(a)的表达式展开后化为以 a 为主 元的二次函数的形式,则是解本题的重要环节. ②解题规律:解实际应用问题可以分为审题、建模、解模三 个方面.本题中的审题包括读出关键词,领悟新的定义,文字语 言“a 与各数据的差的平方和最小”向数学语言或符号语言的准 确转换等. ③解题易错点:对“最佳近似值”的含义不理解. 5.公式法(求导法) 【例 9】下列求导运算正确的是( )

C ? ? 0 ( C 为 常 数 ) ; ( x n )? ? nxn?1 (n ? Q) ; x x (sin x)? ? cos x ; (cosx)? ? ? sin x ; (e )? ? e ; 1 (ln x ) ? ? ; x 1 (log a x)? ? log a e . x
请熟练掌握下列两个函数四则运算的导数及复合函数求导的 运算法则:

u u ?v ? uv ? (u ? v)? ? u ? ? v? ; (uv)? ? u ?v ? uv? ; ( ) ? ? ; v v2 ? ? x f x [?( x)] ? f ?(?) ? ??( x) ( 即 : y? ? yu ? u? , 其 中 x u ? ?(x) )
③解题易错点是容易混淆正、余弦函数求导公式的区别. 【例 10】函数 y ? x ? 3x ? 9 x(?2 ? x ? 2) 的 A.极大值为 5,极小值为-27 B.极大值为 5,极小值为-11 C.极大值为 5,无极小值 D.极小值为-27,无极大值
3 2

1 1 A. ( x ? )? ? 1 ? 2 x x x x C. (3 )? ? 3 ? log3 e

1 B. (log 2 x)? ? x ln 2 2 D. ( x cos x)? ? ?2 sin x

( )

【分析】可根据求导公式直接进行验算选择正确答案.

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【解】 y? ? 3x 2 ? 6 x ? 9 .令 y ? ? 0 得 x=3 或 x= -1.因 x=3 ? (?2,2) ,故舍去.



x2+ax+1= ( x ?

a 2 a2 a2 ) ?1? ,其最小值为 1 ? 必须恒正,于是 2 4 4

y?
y

x

(-2,-1) +

-1 0

(-1,2) -

a2 1? >0,解得-2<a<2. 4
③解题易错点:本问题与“函数 y=lg(x2+ax+1)的值域为 R, 求 a 的取值范围”,有本质区别.因为后者为⊿≥0(请独立思考 一下为什么?),a≥2 或 a≤-2. 7.分类讨论法 【例 12】已知函数 y=f(x)= loga (1 ? a x ) (a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域、值域; (2)证明 f(x)在定义域上是减函数; (3)求证函数 f(x)的图像关于直线 y=x 对称. 【分析】(1)函数 f(x)的定义域即不等式 1-ax>0 的解集,利用指 数函数的单调性不难得到.而其值域必须由中间变量 u=1-ax 的取 值范围来确定.(2)分 a>1 和 0<a<1 两种情况讨论指数函数与 对数函数的单调性可以证得.(3)即证明 f(x)与自身互为反函 数. 【解】(1)由 1-ax>0 得 ax<1.当 a>1 时,得 x<0;当 0<a<1 时,得 x>0. 又 0<ax<1,故 0<1-ax<1,于是当 a>1 时,y<0;当 0<a<1 时, y>0. 综合得,当 a>1 时,函数 f(x)的定义域、值域都是(-∞,0); 当 0<a<1 时 , 函 数 f(x) 的 定 义 域 、 值 域 都 是 ( 0 , +∞). (2)当 a>1 时,任设 x1<x2<0,则 a 1 < a 2 <1,于是 1- a 1 >1x x x

极大值 ? ? 于是 f 极大 ( x) ? f (?1) ? 5 ,而极小值不存在,从而答案选 C. 【点悟】①解题关键点:掌握常用导数的公式,利用导数求最 值. ②解题规律:利用导数求可微函数极值的一般步骤是: (ⅰ)求导数 f ?(x) ;(ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,并求其根 x0;(ⅲ) 在 x0 附近左、右侧判断 f ?(x) 值的符号;(ⅳ)根据左正右负判 断为极大值,左负右正判断为极小值. ③解题技巧:对于高次函数(次数不小于 3)的函数,常常 采用导数法求函数的最值. 6.判别式法 【例 11】若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为 R,求实数 a 的取 值范围. 【分析】由函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为 R 知:x2+ax+1>0 对 x∈R 恒成立,而 f(x)= x2+ax+1 为二次函数,二次函数值恒 正,故可利用“⊿”法求解. 【解】因函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为 R,故 x2+ax+1>0 对 x∈R 恒成立,而 f(x)= x2+ax+1 是开口向上的抛物线,从而⊿<0, 即 a2-4<0,解得 -2<a<2,它便是所求的 a 的取值范围. 【点悟】①解题关键点:将对数函数定义域为 R 转化二次函 数值恒正的问题加以解决. ②解题技巧:“⊿”法可判断一元二次函数值恒正或恒 负 . 另 外 , 本 题 亦 可 用 配 方 法 妙 解 如 下 :

a x2 >0,从而 loga(1- a x1 )> loga(1- a x2 ),即 f(x1)>f(x2); x x x 当 0<a<1 时,任设 0<x1<x2,则 1> a 1 > a 2 ,于是 0<1- a 1 <1a x2 ,从而 loga(1- a x1 )> loga(1- a x2 ),即 f(x1)>f(x2).
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所以,无论 a>1 还是 0<a<1,f(x)在其定义域内都是减函数. ( 3 ) 由 y= loga (1 ? a ) 得 1-ax = ay , 即 ax =1- ay , 故
x

x= loga (1 ? a y ) ,于是 f

?1

( x) = loga (1 ? a x ) .
-1

A.m+n B.3m+2n C.2m+3n D.m3+n2 4.已知 f(x)=∣2x-1∣,当 a<b<c 时,有 f(a)>f(c)>f(b),则下列各 式中正确的是( ) A. 2 ? 2
a c

又由(1)知,f(x)的定义域与值域相同,从而 f(x) 与 f (x)的 定义域相同,因此 f(x)= f ( x) ,即函数的反函数即为它本身. 因互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称,故函数 f(x)的图像关于直线 y=x 对称. 【点悟】①解题关键点:掌握指数函数、对数函数的图像与性 质,理解函数单调性的定义;掌握互为反函数的图像的对称性. ②解题规律:与指、对数函数有关的问题,当底数不定时, 一般都要分两种情况讨论;另外,与自身互为反函数的函数的定 义域、值域必定相同. ③解题易错点:容易错误地将定义域表示为(-∞,0)∪ (0,+∞);证明两个函数图像关于直线 y=x 对称,易忽视函数 的定义域.
?1

B.0<2b<1

C. 2

?a

? 2c

D. 2 ? 2 ? 2
a c

5.曲线 f ( x) ? x 3 ? x ? 2 在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 P0 点的坐标为 ( ) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4) 6.已知函数 y ? x 3 ? 3x ,则它的单调递增区间是 ( ) A. (??,0) B. (0,??) C.(-1,1) D. (??,?1) 及

(1,??)
7. 设有三个函数的图像分别是 C1、C2、C3,其中函数 y=f(x)的 图像是 C1,C2 与 C1 关于原点对称,C3 与 C2 关于直线 y=x 对 称. (1)与图像 C3 对应的函数是 ; (2)图像 C3 与图像 C1 关于直线( )对称. A.x 轴 B.y 轴 C.直线 y=x D.直线 y= -x 8.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x+2)= -f(x),当 x∈ [0,1]时,f(x)=x,则 f(7.5)= . 9.设函数 f(x)的反函数是 f 1 (x),给出下列四个命题: ①若 f(x)为奇函数,则 f 1 (x)的图像必关于原点对称; ②若 f(x)在区间[a,b]上是增函数,则 f 1 (x)在区间[a,b]上也 是增函数; ③若 f(x)的图像与 y 轴有公共点,则方程 f 1 (x)=0 必有解; -1 ④f(x)的图像与 f (x)的图像不可能相交. 其中所有真命题的序号是 . 10.已知 f(x)= a ? a
x ?x

三、新题型变式训练
. 函 数

1

f ( x) ?

1? x2 x?2 ?2







( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 2.若函数 y=f(x)的值域是[-2,3],则函数 y=∣f(x)∣的值域是 ( ) A.[-2,3] B.[2,3] C.[0,2] D.[0,3] 3 .若函 数 f(x)满 足 f(xy)= f(x)+ f(y), 且 f(2)= m, f(3)=n, 则 f(72)=( )

,g(x)= a ? a
x

?x

(a>0 且 a≠1).

(1)求 f ( x) ? g ( x) 的值;
2 2

?专题二?第 17 页?

g ( x ? y) 的值. g ( x ? y) 11.设函数 y ? f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图像与 y 轴的交点 为 P,且曲线在 P 点处的切线方程为 24x ? y ? 12 ? 0 ,若函数
(2)设 f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求 在 x=2 处取得极值-16,试求函数解析式,并确定函数的单调递 减区间. 12.已知 f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且 f(x)在[0,3]上是一 次 函 数 , 在 [3 , 6] 上 是 二 次 函 数 . 又 当 x ∈ [3,6] 时 , f(x) ≤ f(5)=3,f(6)=2,求 f(x)的表达式. 13.试问:是否存在这样的函数,它在(-∞,+∞)上是增函 数,又与自身互为反函数?若存在,求出所有这样的函数;若 不存在,说明理由. 14.已知:函数 f ( x ) ?

16.已知:平面向量 a = ( 3,?1) ,b = ( ,

1 3 ). 2 2

1 3 x ? 4 x ? m ,在 (??,??) 内有极大值 3

28 , 试 确 定 常 数 m 的 取 值 , 并 求 出 这 个 函 数 f (x) 在 3 (??,??) 上的极小值.
15.设某物体一天的温度 T 是时间 t 的函数,T (t) = at +bt +ct+d (A≠0),其中温度的单位是 C ,时间的单位是小时,t=0 表示 12∶00,t 取正值表示 12∶00 以后.若测得该物体在 8∶00 的 温 度 为 8 C , 12∶00 的 温 度 为 60 C , 13∶00 的 温 度 为 58 C ,且已知该物体的温度在 8∶00 和 16∶00 有相同的变化 率. (1)写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在 10∶00 到 14∶00 这段时间中(包括 10∶00 和 14∶00),何时温度最高?并求出最高温度;
? ?

(Ⅰ)证明:a⊥b; (Ⅱ)若存在不同时为零的实数 k 和 t ,使 x = a+(t2-3)b,y = -ka+tb,且 x⊥y,试求函数关系式 k = f(t); (Ⅲ)据(Ⅱ)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情 况; (Ⅳ)据(Ⅱ)的结论,确定函数 k=f(t)的单调区间. 17.某工厂质检车间有同一型号,同一效率的质检机 5 台.因特 殊原因质检车间积压着若干件产品待检,与此同时,流水线传 送带按一定速度送来检验的产品.如果打开一台质检机,需半 小时方可使所有的待检产品和送来检验的产品全部通过质量检 验;若同时打开两台质检机则只需 10 分钟.现由于生产原 因,一定要在 5 分钟内将所有的待检产品和送来检验的产品全 部通过质量检验,试问最少同时要打开几台质检机才能在 5 分 钟内完成?

四、参考答案点拨
1.A(“定义域优先”原则.函数的定义域为 [?1,0) ? (0,1] ,它 关于原点对称,且此时 f ( x) ?

3

2

?

?

1? x2 ) x

2.D(函数 y=∣f(x)∣的图像是将 y=f(x)的 x 轴上方的图像不变 (相应地在该段上函数值的取值范围不变,即仍为[0,3]),而 将在 x 轴下方的图像翻折到 x 轴的上方(此时函数值由[-2,0] 变为了[0,2]),于是函数 y=∣f(x)∣的值域为[0,3]∪[0,2], 即[0,3].) 3.B(f(72)=f(8)+f(9)=f(4)+f(2)+f(3)+f(3)=3f(2)+2f(3))
?专题二?第 18 页?

4.D(画出函数 f(x)的图像可知:a<0,c>0,b 的符号不定,于 是 f(A)=∣2a -1∣= 1-2a,f(c)=∣2c-1∣=2c-1,由 f(a)>f(c)得答 案) 5.C( f ?( x) ? 3x 2 ? 1 ? 4 ,x= ± 1) 6.D( y ? ? 3x 2 ? 3 ? 0 ,x>1 或 x<-1) 7.(1)y= - f 1 (-x)(与 C2 对应的函数是 y= -f(-x).与 C3 对应 的函数是 y= -f(-x)的反函数.) (2)D(与函数 y=f(x)图像关 于 x 轴、y 轴、直线 y=x 对称的图像的函数式依次是 y= -f(x) , y= f(-x), y= f 1 (-x).) 8.-0.5 (先变形得 f(x+4)= f(x) ,于是 f(7.5)= f(-0.5)=- f(0.5)) 9.①③(对于命题②,可修正为:f 1 (x)在区间[f 1 (a),f 1 (b)]上为增函数) 10.(1)-4 (2)3(f(x)f(y)= a x? y ? a ?( x? y ) ? (a x? y ? a y ? x ) =g(x+y) - g(x-y)= 4, g(x)g(y) = a x? y ? a ?( x? y ) ? (a x? y ? a y ? x ) =g(x+y)+g(x-y)=8 , 于 是 g(x+y)=6,g(x-y)=2) 11 . 解 析 式 为 f ( x) ? x ? 3x ? 24x ? 12 , 递 减 区 间 为 [-4 , 2].
3 2

14 . m=4 , 极 小 值 为 f (2) ? ?

4 ( 因 为 f ?( x) ? x 2 ? 4 , 令 3 f ?( x) ? 0 ,解得 x= -2 或 x=2. 当 x= -2 时, f (x) 取极大值 28 28 8 为 f (?2) = ,即 - +8+m= ,m = 4.) 3 3 3

15.(1)T(t)= t3-3t+60(由 T(0)=60,T(-4)=8,T(1) =58, T ?(?4) ? T ?(4) ,得 d=60,b=0,a=1,c= -3) (2)该物体在 11∶00 和 14∶00 的温度最高,最高温度为 62 C ( T ?(t ) ? 3t 2 ? 3 ? 3(t ? 1)(t ? 1) ,当 t ? (?2,?1) ? (1,2) 时, T ?(t ) ? 0 ;当 t ? (?1,1) 时, T ?(t ) ? 0 .因此,函数 T(t)在 (-2,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,在(1,2) 上递增,即 t= -1 是极大值点.T(-1)=T(2)=62) 1 3 16.(Ⅰ)因 a?b = 3? + (-1)? =0,故 a⊥b; 2 2 t2-3 1 2 3 2 (Ⅱ) k ? t (t ? 3) (x ? y = ( 3+ ,-1+ (t -3)) 2 2 4
?

? (-

t 3 3k + ,k + t) = 0); 2 2

? ( x ? 5) 2 ? 3 , x ? [?6,?3] ? 1 ? ? x , x ? (?3,3) (由 x∈[3,6]时, 12. f ( x ) ? ? 3 ? x ? [3,6] ?? ( x ? 5) 2 ? 3 , ?
f(x)≤f(5)=3,可设 f(x)= a(x-5)2+3(a<0,3≤x≤6。因 f(6)=2,可 得 a = -1.又 f(x)为奇函数,故当-6≤x≤-3 时,f(x)= - f(-x) = -[-(-x-5)2+3] = (x+5)2-3.而 f(-0)= - f(0) = f(0),故 f(0) = 0.) 13.存在 f(x)=x(用反证法证明)

(Ⅲ)方程

1 2 t (t ? 3) ? k ? 0 的 解 的 个 数 , 相 当 于 曲 线 4

1 2 t (t ? 3) 与直线 y ? k 的交点个数. 4 3 2 因 f ?(t ) ? (t ? 1) . 4 令 f ?(t ) ? 0 ,解得 t1 ? ?1, t 2 ? 1 . 当 t 变化时, f ?(t ), f (t ) 的变化情况如下表: f (t ) ?
?专题二?第 19 页?

t

(??,?1)

-1

(-1,1)

1

(1,+ ? )

f ?(t ) 0 0 + + f (t ) 极大值 极小值 ? ? ? 当 t ? ?1 时 , f (t ) 有 极 大 y 1 值, f (t ) 极大值 ? f (?1) ? ; · 2 -2 1 · ·O · · t 2 当 t ? 1 时, f (t ) 有极小值, -1 · 1 f (t ) 极小值 ? f (1) ? ? . 2 1 2 而 f (t ) ? t (t ? 3) =0 时,有 t ? ? 3,0, 3 . 4 画出 y ? f (t ) 的图像大致如右.于是 1 1 当 k ? 或 k ? ? 时,直线 y ? k 与曲线 y ? f (t ) 仅有一 2 2
个交点,则方程有一解; 当k ?

检开始时,积压的待检产品为 x 件,每台质检机每分钟检验 y 件产品,传送带每分钟送来 z 件产品,则由题意得

? x ? 30z ? 30 y ? x ? 30z ,解得 ? .设打开 n 台质检机可在 ? ? x ? 10z ? 2 y ? 10 ? y ? 2z
5 分钟内完成质检任务,则 x+5z≤5ny.将 x=30z,y=2z 代入得 n≥3.5.)

1 1 或 k ? ? 时,直线 y ? k 与曲线 y ? f (t ) 有两个 2 2

交点,则方程有两解; 当 k ? 0 时,直线 y ? k 与曲线 y ? f (t ) 有三个交点,但 k、 t 不同时为零,故此时方程也有两解; 当?

1 1 ? k ? 0 或 0 ? k ? 时,直线与曲线有三个交点,则 2 2

方程有三个解. (Ⅳ)由(Ⅲ)知,单调增区间为 (??,?1] ,[1,+ ? );单调 减区间为[-1,1]. 17。最少要打开 4 台质检机才能在 5 分钟内完成质检任务(设质
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