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安徽省“江南十校”2015届高三联考数学(文)试题


2015 年安徽省“江南十校”高三联考 数 学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. ) 2?i 1、复数 ( i 为虚数单位)的虚部为( 2?i A.
3 5


3 C. i 5 4 D. i 5

B.

4 5

2、设集合 ? ? ? y y ? ln x, x ? 1? ,集合 ? ? x y ? 4 ? x 2 ,则 ? A. ? B. ? 0, 2? C. ? 2, ???

?

?

? ? ?? ? (
R



D. ? ??, ?2?

? 2, ???

3、 设命题 p : a ? ? 3,1? ,b ? ? m, 2 ? , 且 a //b ; 命题 q : 关于 x 的函数 y ? ? m 2 ? 5m ? 5 ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )是指数函数,则命题 p 是命题 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4、运行如图所示的程序框图后,输出的结果是( A. 0 C. 1 ?
2 2

B. 1 D. 1 ? 2

5、设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 2 ,S6 ? 6 , 则 a13 ? a14 ? a15 的值是( A. 18 C. 32 ) B. 28 D. 144

6、 若函数 y ? a x?2 ? 1( a ? 0 且 a ? 1 ) 的图象经过定点 ? ? m, n? , 且过点 Q ? m ?1, n? 的 直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 7 ? 0 截得的弦长为 3 2 ,则直线 l 的斜率为( A.?1 或 ?7 B.?7 或
4 3



C.0 或

4 3

D.0 或 ?1

7、已知点 ? ? 0,1? 、 ? ? ?2,3? 、 C ? ?1, 2? 、 D ?1,5? ,则向量 ?C 在 ?D 方向上的投影
第 1 页 共 12 页

为(

) B. ?
2 13 13

2 13 A. 13

C.

13 13

D. ?

13 13

? 3 ? ? ?1 ? a ? 1 cos x ,将 f ? x ? 图象向右平移 个单 8、已知函数 f ? x ? ? ? a ? 3 ? sin x ? ? ? ? ? 3 ?2 ? ? 2 ?

?? ? 位长度得到函数 g ? x ? 的图象,若对任意 x ? R ,都有 g ? x ? ? g ? ? 成立,则 a 的值 ?4?
为( A. ?1 ) B.1 C. ? 2 D. 2

? 1 ? 2 9、已知函数 f ? x ? ? ? x ? x ? 0 ? 若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? a 在 R 上恰有两个相异 ? ? f ? x ? 1?? x ? 0 ?

零点,则实数 a 的取值范围为( A.? ?1, ???

) C. ? ??,0? D. ? ??,1?

B. ? ?1, ?? ?

10、在正方体 ??CD ? ?1?1C1D1 中, ①经过点 ? 垂直于平面 ?1?D 的直线也垂直于平面 ?1D1C ; ②设 ? 为 ? C 和 ?D 的交点,则异面直线 ??1 与 ?C1 所成的角是

? ; 6

③若正方体的棱长为 2 ,则经过棱 D1C1 、 ?1C1 、 ??1 中点的正方体的截面面积为

3 3;
④若点 ? 是正方形 ?? CD 内(包括边界)的动点,点 Q 在对角线 ?1C 上,且满足

?Q ? ?1C , ?? ? ?Q ,则点 ? 的轨迹是线段.
以上命题正确的个数为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11、命题:“存在 x ? R ,使得 x2 ?1 ? 1 ? x2 ? 0 ”的否定是 12、 sin 330 ? .

?

2 ? 1 ? 3log3 2 ?

?

0


第 2 页 共 12 页

?x ? 4 2y ? 13、若实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 的取值范围为 x ?1 ?2 x ? y ? 6 ? 0 ?



14、在坐标平面内横纵坐标均为整数的点称为格点.现有一只蚂蚁从坐标平面的原 点出发,按如下线路沿顺时针方向爬过格点:
? ? ?1 ?1,0? ? ?2 ?1, ?1? ? ?3 ? 0, ?1? ? ?4 ? ?1, ?1? ?

?5 ? ?1,0? ? ?6 ? ?1,1? ? ?7 ? 0,1? ? ?8 ?1,1? ? ?9 ? 2,1? ?

??? ? ?12 ? 2, ?2? ? ??? ? ?16 ? ?2, ?2? ? ??? ? ?20 ? ?2, 2? ?
则蚂蚁在爬行过程中经过的第 350 个 ??? ? ?25 ? 3, 2? ? ??? , 格点 ?350 坐标为 .

15、若曲线 C 上任意一点与直线 l 上任意一点的距离都大于 1 ,则称曲线 C “远离” 直线 l .在下列曲线中, “远离”直线 l : y ? 2 x 的曲线有 有符合条件的曲线 C 的编号)
9 ①曲线 C : 2x ? y ? 5 ? 0 ;②曲线 C : y ? ? x 2 ? 2 x ? ; 4

. (写出所

③曲线 C : x 2 ? ? y ? 5 ? ? 1 ;④曲线 C : y ? ex ? 1 ;
2

⑤曲线 C : y ? ln x ? 2 . 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. ) ?? ? 16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 4sin x cos ? x ? ? ? 1 . 6? ? ? ? ? 求函数 f ? x ? 的最小正周期;
C 的对边分别为 a , a ? 3, b, 角? , 若 f ? ?? ? 2 , c, S???C ? ?, ? ?? ? 在 ???C 中,

3

求 b 2 ? c 2 的值.

第 3 页 共 12 页

17、 (本小题满分 12 分)某校高三文科(1)班学生参加“江南十校”联考,其数 学成绩(已折合成百分制)的频率分布直方图如图所示,其中成绩分布区间为 ?40,50? ,?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,?90,100? ,现已知成绩落在 ?90,100? 的有 5 人.

? ? ? 求该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数; ? ?? ? 根据频率分布直方图,估计该班此次数学成绩的平均分(可用中值代替各组数
据的平均值) ; ? ??? ? 现要从成绩在 ?40,50? 和 ?90,100? 的学生中共选 2 人参加某项座谈会,求 2 人来 自于同一分数段的概率.

18 、( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ?an ? 满 足

? ? ? 证明:数列 ? ? ?? ? 设 bn ?

n ? ?? ) ,且 a1 ? 1 , a2 ? 4 . an?2 ? 2 an an? 2? 4an? ? 1 an (

an 是等差数列;

?

2n ? 1 , ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1 . an an?1

19、 (本小题满分 13 分)如图,圆柱 ??1 的底面圆半径为 2 , ?? CD 为经过圆柱轴 1 ??1 的截面,点 ? 在 ?? 上且 ?? ? ??? , Q 为 ? D 上任意一点. 3 ? ? ? 求证: ?Q ? ?? ; 求圆柱 ??1 的体 ? ?? ? 若直线 ? D 与面 ??CD 所成的角为 30 , 积.

第 4 页 共 12 页

20、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ? a ln x ?

x ?1 ? ? ? 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ? x? 在 ?1, f ?1?? 处的切线方程;

? a ? 1? x ,其中 a ? 0 .

? ?? ? 讨论 f ? x ? 在其定义域上的单调性.

x2 y 2 ? 3? 21、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过点 ?1, ? ,它的 a b ? 2? 左焦点为 F ? ?c,0? ,直线 l1 : y ? x ? c 与椭圆 C 交于 ? , ? 两点, ??? F 的周长为 a3 .

? ? ? 求椭圆 C 的方程; ?? , 过点 ? 作椭圆 C 的两条切线 ?? 、 ? ?? ? 若点 ? 是直线 l2 : y ? x ? 3c 上的一个动点,
(注:经过椭圆 ? 、 ? 分别为切点,求证:直线 ?? 过定点,并求出此定点坐标. 2 2 xx y y x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )上一点 ? x0 , y0 ? 的椭圆的切线方程为 02 ? 02 ? 1 ) 2 a b a b

第 5 页 共 12 页

参考答案
2?i (2 ? i)2 3 4 1. B . ? ? ? i ,故选 B 2 ? i (2 ? i)(2 ? i) 5 5
2. C .A ? x x ? 0 , B ? x ?2 ? x ? 2 ,CR B = x x ? 2或x ? ?2 , ? A ? CR B = x x ? 2 , 故选 C 3. A .命题 p : 3 ? 2 ? m ? 0, m ? 6 ;命题 q :由m2 ? 5m ? 5 ? 1得m ? ?1或 6 ,故选 A 4. A .由程序框图可知,最后输出的 p ? sin

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2 ? sin ? ? 4 4

? sin

15 ? ? 0 ,故选 A 4

5. C . 由 等 比 数 列 性 质 可 知 S3,S6 ? S3,S9 ? S6,S12 ? S9 , S15 ? S12 也 成 等 比 , 易 求 出

a13 ? a14 ? a15 ? S15 ? S12 ? 32 , 故选 C
2), Q(1, 2) ,设 l:y ? 2 ? k ( x ?1), 即kx ? y ? 2 ? k ? 0 , 6. A .P(2, 圆 C:( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 9 , ( -1,1) 圆心 C 到 l 的距离 d ?
故选 A 7.

?k ? 1 ? 2 ? k k 2 ?1

? 32 ? (

3 k ? ?1或? 7, 2)2 ? k 2 ? 8k ? 7 ? 0 , 2

D



AC ? (?11), , BD ? (3, 2), ?
?1? 3 ? 1? 2 3 ?2
2 2

AC



BD

方 向 上 的 投 影 为

AC BD BD

?

?

?1 13

??

13 ,故选 D 13

8. D .

? ? 1 3 f ( x) ? a sin x ? a cos x ? 3 sin x ? cos x = a sin( x ? ) ? 2 cos( x ? ) 3 3 2 2

? g ( x) ? f ( x? ) ? a s i nx? 2 c,由题意得 oxs g ( x) 图象关于直线 x ? 对称, 3 4 ? g(

?

?

?

2

D ) ? g ( 0 )? , a ? ,故选 2

9 B .g ( x) ? 0 ? f ( x) ? ? x ? a , 当 x ?? ?1 , 0 故把 y ?

? 时,x ?1??0,1? ,f ( x) ? f ( x ?1) ?

x ?1 ,

再把 f ( x ) x 图象在 ?0,1? 上的部分向左平移 1 个单位得到 f ( x) 在 ? ?1,0? 上的图象,
第 6 页 共 12 页

在 ? ?1,0? 上的图象每次向左平移 1 个单位连续平移就得到 f ( x ) 在 R 上的图象,再作出

y ? ? x ? a 的图象,由图象可得 ? a ? 1 , a ? ?1 ,故选 B

10. D . 易证 A1BD / / 面 B1D1C 选, ? ①正确;A1B / / D1C ,?OC1D 就是异面直线 AB1 与 OC1 所 成 的 角 .

B D ?

BD ? 面 OCC1 , ? BD ? OC1 , 又 O , C ? B D1 ,C? C

OD ?

1 1 ? BD ? C1 D ,??OC1 D ? ,? ②正确;设棱 B1D1, B1C1, BB1, AB, AD, DD 1 的中 2 2 6

点 分 别 为 E, F , G, H , M , N , 则 过 点 E, F , G 的 正 方 形 截 面 就 是 正 六 边 形 EFGHMN ,

S ? 6?

3 ? 4

? 2?

2

, 又 P Q? A , ? 3 3 , ? ③ 正 确 ; 连 结 A1P , 易 证 A A 1 ? AP 1 C

又 PA ? PQ , PA ? PQ, PA1 ? PA1 , ? Rt?A1PA ? Rt ?A1PQ, A1 A ? AQ ? Q 为 AC 1 , 1 上定点, 点 P 在线段 AQ 的中垂面上,? 点 P 在 AQ 的中垂面与正方形 ABCD 的交线上,? ④正确; 故选 D 11.对任意 x ? R ,都有 x2 ?1 ? 1 ? x2 ? 0 . 12.

5 2

原式 ? sin(?30 ) ? 1 ? 2 ? ?

1 5 ?3? . 2 2

13. ? ? , 4 ? 5

? 4 ?

? ?

2y 可 看 作 点 P ? ?1, 0 ? 与 点 ? x, y ? 连 线 斜 率 的 2 倍 , 画 出 可 行 域 , 由 x ?1

?x ? 4 ? ?2 x ? y ? 6 ? 0
得 A ? 4, ?2? , 由 ?

?x ? y ? 3 ? 0 得 B ?1,4 ? , ?2 x ? y ? 6 ? 0

2 2y k PA ? ? , k PB ? 2, ? 的取值范围为 5 x ?1

? 4 ? ? ,4 . ? ? 5 ? ?
14. ? ?1,9?

第 7 页 共 12 页

以 O 为中心,边长为 2 的正方形上共有格点 a1 ? 8 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为

?1,1?
以 O 为中心,边长为 4 的正方形上共有格点 a2 ? 16 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为

? 2, 2?
以 O 为中心,边长为 6 的正方形上共有格点 a3 ? 24 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为

? 3,3?
??? 以 O 为中心,边长为 2 n 的正方形上共有格点 an ? 8n 个,且蚂蚁在其上爬过的最后一个格点为

? n, n?
?8n ?

, 由 前 n 个 正 方 形 上 格 点 的 总 数 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ?an ? 8 ? 16 ? 24 ? ?

n(8 ? 8n) ? 350 得 n ? 9 . 当 n ? 9 时 , 前 9 个 正 方 形 上 格 点 的 总 数 2 9(8 ? 72) S9 ? ? 360 ,且蚂蚁在第 9 个正方形(边长为 18 )上爬过的最后一个格点为 2

A360 ?9,9? ,故蚂蚁在爬行过程中经过的第 350 个格点 A350 坐标为 ? ?1,9? .
15. ②③⑤
对①:

d?

5 22 ? 1

? 1 , ? 不合题意;对②:设直线 l1 : y ? 2x ? b 与曲线

C : y ? ? x2 ? 2x ?

9 9 9 2 2 x ? 得 x2 ? ? b ? 0 , 由 相 切 , 把 y ? 2 x? b代 入 y ? ? x ? 4 4 4

9 81 9 ?9 ? ? 1 ,符合题意; ,得 b ? ? ,此时直线 l1 与 l 的距离 d ? 4 ? ? ? 0 ? 4? ? b ? ? 0 80 4 5 ?4 ?
对③: 圆心 C ? 0, 5? 到直线 l 的距离 d ?

0?5 5

? 5 , ? 圆 C 上的点到 l 距离的最小值为

5 ?1 ? 1 ,符合题意;对④:设曲线 C 上斜率为 2 的切线的切点为 P ? x0 , y0 ? ,
? k ? y'
x ? x0

y' ? ex ,

? e x0 ? 2, ? x0 ? ln 2 , ? P ? ln 2,3? , 切 线 : y ? 3 ? 2 ? x ? ln 2? , 即 :

第 8 页 共 12 页

2 x ? y ? 3 ? 2ln 2 ? 0 , ? 切 线 与 C 的 距 离 d ?

3 ? 2ln 2 5

?

3 ? ln 4 5



ln 4 ? ?1,2? ,
y' ? 1 , x

?3 ? ln 4 ??1,2? ,而 5 ? 2,?d ? 1 ,不合题意;对⑤:设切点为 P ? x0 , y0 ? ,
? k ? y'
题意。 16.解: (I) f ? x ? ? 4sin x ? cos x cos
x ? x0

?

1 ? ln 2 ? 2 3 ? ln 2 1 1 ?1 ? ? 2, ? x0 ? , ? P ? , ?2 ? ln 2 ?, ?d ? ? ? 1, 符合 2 x0 5 5 ?2 ?

? ?

?
6

? sin x sin

??

2 ? ? 1 = 2 3sin x cos x ? 2sin x ?1 6?

?? ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
?T ?
(II)

????3 分

2? ?? 2

????5 分

?? ?? ? ? f ? A? ? 2sin ? 2 A ? ? ? 2,? sin ? 2 A ? ? ? 1 , 6? 6? ? ?
?
6 ? 2A ?

又 0 ? A ? ? ,?

?
6

?

13? ? ? ? ,? 2 A ? ? , A ? 6 6 2 6

????7 分

1 S?ABC ? bc sin A ? 3,? bc ? 4 3 ????9 分 2


a2 ? 32 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? 12 ,?b2 ? c 2 ? 21

????12

分 17.解: (I)该校高三文科(1)班参加“江南十校”联考的总人数为

5 ? 50 (人) 0.010 ? 10

????????3 分

(II)平均分 x ? 45 ? 0.06 ? 55 ? 0.16 ? 65 ? 0.20 ? 75 ? 0.28 ? 85 ? 0.20 ? 95 ? 0.10

? 2.7 ? 8.8 ? 30 ? 21 ? 9.5 ? 72 (分)
(Ⅲ) 成绩在 ?40,50? 中共有 0.006 ? 10 ? 50 ? 3 (人) ,记为 a, b, c 成绩在 ?90,100? 中共有 0.010 ? 10 ? 50 ? 5 (人) ,记为 1,2,3,4,5

????7 分 ????8 分

总的基本事件有 ? a, b? , ? a, c ? , ? a,1? , ???, ? 4,5? 共 28 个, 其中 2 人来自同一分数段的基本事

第 9 页 共 12 页

件有 ? a, b? , ? a, c ? , ?b, c ? , ?1,2? , ?1,3? , ???, ? 4,5? 共 13 个 故概率 P ? 18.(Ⅰ)

????11 分 ????12 分

13 28

an?2 ? 2 anan?2 ? an ? 4an?1 且 an ? 0 ? an?2 ? an ? 2 an?1
????3 分 ???? 5 分 ????7 分 ????????9 分

? ( an?2 ? an )2 ? (2 an?1 )2
?

? a ? 是首项为
n

a1 =1 ,公差为 a2 ? a1 ? 1的等差数列

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n, an ? n2

?bn ?

2n ? 1 n ? n ? 1?
2 2

?

1 1 ? 2 n ? n ? 1?2

? Sn ? 1 ?

1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 2 2 3 n ? n ? 1?2

? 1?

1

? n ? 1?

2

?1
AB 为 O 的直径,? PA ? PB ?1 分
??2 分

O ???????? 12 分 D

C

19.证明: (I)连接 PA , 又

AD ? 面PAB , PB ? 面PAB,? PB ? AD

Q

又 PA ? AB ? A,? PB ? 面PAD 又 AQ ? 面PAD ,? AQ ? PB (II)过点 P 作 PE ? AB , E 为垂足,连结 DE ,

????4 分 A ????5 分 P ????6 分 O1 第 19 题 图图 E B

OO1 ? 面PAB,?面ABCD ? 面PAB,? PE ? 面ABCD

? ? PDE 就是直线 PD 与 面ABCD 所成的角,? ?PDE ? 30


????8 分

1 ? AP ? ? APB ,?O1E ? 1, PE ? 3 , 3
2



tan ?PDE ?

PE DE

? DE ? 3, AD ? DE 2 ? AE 2 ? 32 ? ? 2 ? 1? ? 2 2
?V ? Sh ? ? ? 22 ? 2 2 ? 8 2?

??11 分 ????13 分

第 10 页 共 12 页

20.(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ln x ?

2x 1 2( x ? 1) ? 2 x 1 2 / , f ( x) ? ? ?? 2分 ? ? 2 x ?1 x ( x ? 1) x ( x ? 1) 2

? f / (1) ? 1 ?

1 1 ? , ( ) ?1? 又 f1 2 2

1 1 3 ? 切线方程为 y ? (?1) ? ( x ? 1) 即 y ? x ? ?? 5分 2 2 2

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

f / ( x) ?
6分

a (a ? 1)( x ? 1) ? (a ? 1) x ax 2 ? (a ? 1) x ? a ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

??

/ ①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?

x 1 ?? ?0 2 x( x ? 1) ( x ? 1)2

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减 ??

7分
②当 a ? 0 时,设 g ( x) ? ax2 ? (a ?1) x ? a( x ? (0, ??))
2 2 2 ( a )当 ? ? (a ?1) ? 4a ? ?3a ? 2a ? 1 ? 0 即 a ?

1 / 时, f ( x) ? 0, 3
???? 9分

? f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增
( b )当 ? ? ?3a ? 2a ? 1 ? 0 即 0 ? a ?
2

1 1 ? a ? ?3a 2 ? 2a ? 1 时, 由 g ( x) ? 0 得 x ? 3 2a

(1 ? a)2 ? (?3a2 ? 2a ? 1) ? 4a2 ? 0
? 0 ? x1 ? 1 ? a ? ?3a 2 ? 2a ? 1 1 ? a ? ?3a 2 ? 2a ? 1 ? x2 ? 2a 2a

? 当 x ? (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) 时, f / ( x) ? 0 , 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f / ( x) ? 0 , ? f ( x) 单调递增区间为 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) , f ( x) 单调递减区间为 ( x1 , x2 ) ???? 12分
综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 单调递减区间为 (0, ??) ; 当0 ? a ? 当a ?

1 时, f ( x ) 单调递增区间为 (0, x1 ) 和 ( x2 , ??) ,单调递减区间为 ( x1 , x2 ) ; 3
????13 分 ???? 2分

1 时, f ( x ) 单调递增区间为 (0, ??) 3
3 2

21. (Ⅰ)由题意得: 4a ? a , a ? 4, a ? 2
第 11 页 共 12 页

3 2 ( ) 3 1 2 又 椭圆 C 过 (1, ) 点,? + 2 ? 1 2 4 b
? b2 ? 3

???? 3分 ???? 5分 ???? 6分

x2 y 2 ?1 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3
(Ⅱ) c ? 1, l2 : y ? x ? 3 则直线 lMP : 直线 lPN 设M (x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), P(t , t ? 3)

x1 x ? 4 xx : 2 ? 4

y1 y ?1 3 y2 y ?1 3

???? 7分 ???? 8分

(t , t ? 3) 在上述两切线上, 又P
? x1t y1 (t ? 3) x t y (t ? 3) ? ? 1, 2 ? 2 ?1 4 3 4 3 tx (t ? 3) y ?1 ? 直线 lMN : ? 4 3
即: (3x ? 4 y)t ? 12 y ? 12 ? 0

???? 10分

由?

4 ? ?3x ? 4 y ? 0 4 ?x ? 得? 3 ? 直线 MN 过定点,且定点坐标为 ( , ?1) 3 ??12 y ? 12 ? 0 ? y ? ?1 ?

? 13分

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