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专题一 集合与简易逻辑

专题一 方法技巧

集合与简易逻辑 集合与简易逻辑

一.数形结合思想 对于某些问题,文字描述较为抽象,可借助韦恩图及坐标轴,利用几何的直观性以“形”助“数” ,形 象、直观、方便快捷. 【例 1】 (2009 安徽)若集合 A = x 2 x ? 1 < 3 , B = ? x

{

}

? 2x +1 ? < 0 ? ,则 A ∩ B 是( ? ? 3? x



A. ? x ?1 < x < ?

? ?

1 或2 < x < 3 2

}

B. x 2 < x < 3

{

}

C. ? x ?

?

?

1 ? ? 1? < x < 2 ? D. ? x ?1 < x < ? 2 2? ? ?

【例 2】 (2010 天津) A = x x ? a < 1, x ∈ R , B = x 1 < x < 5, x ∈ R ,若 A ∩ B = ? ,则实数 a 的取 值范围是( ) B. {a | a ≤ 2, 或a ≥ 4} C. {a | a ≤ 0, 或a ≥ 6} D. {a | 2 ≤ a ≤ 4}

{

}

{

}

A. {a | 0 ≤ a ≤ 6}

二.分类讨论思想 分类讨论思想 分类讨论要注意“标准”的寻求和“层次”的划分,做到分类“标准”合理、自然, “层次”划分明确、 清晰.对讨论的问题做到不重不漏. 【例 3】集合 A = x x 2 ? 3 x + 2 = 0 ,集合 B = x ax ? 2 = 0 ,若 A ∪ B = A ,则 a 的取值集合为____. 【例 4】已知全集 A = x x ? 3 x ? 10 ≤ 0 , B = x m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1 ,若 A ∪ B = A ,求实数 m 的取值
2

{

}

{

}

{

}

{

}

范围. 三.补集思想 【例 5】 (2009 江西,3)已知全集 U = A ∪ B 中有 m 个元素, (CU A) ∪ (CU B ) 中有 n 个元素.若 A ∩ B 非 空,则 A ∩ B 的元素个数为( A. mn B. m + n 【例 6】 已知 A = x x + x + a ≤ 0 ) C. n ? m D. m ? n

{

2

C 且 } ,B = { x x 2 ? x + 2a ? 1 < 0 } , = { x a ≤ x ≤ 4a ? 9 } , A, B, C

中至少有一个不是空集,求 a 的取值范围. 四.判断充要条件的方法 1.定义法 2.逆否法 3.集合法 【例 7】 (1)若 p :两条直线的斜率互为负倒数, q :两条直线互相垂直,则 p 是 q 的什么条件? (2)若 p : 3 x ? 4 > 2 , q :

1 > 0 ,则 ?p 是 ?q 的什么条件? x ?x?2
2

五。以集合为载体,与函数、不等式、方程相联系 以集合为载体,与函数、不等式、 【例 8】已知集合 A = 取值范围是( A. [ 2, +∞ ) ) B. ( ?∞, ?2 ] C. [ ?2, 2]

{( x, y ) y ?

3 x ≤ 0 ,集合 B =

}

{( x, y ) x + ( y ? a ) ≤ 1}
2 2

,若 A ∩ B = B ,则 a 的

D. ( ?∞, ?2] ∪ [ 2, +∞ )

易错知识总结 一.概念理解错误 【易错题 1】已知集合 M = y y = x + 1, x ∈ R , N = y y = x + 1, x ∈ R ,则 M ∩ N 等于( 】
2

{

}

{

}



A.(0,1),(1,2)

B.

{(0,1), (1, 2)}

C. y y = 1 或 y = 2

{

}

D. { y y ≥ 1

}


【易错题 2】已知全集 U = R, A ? U , B ? U ,如果命题 p : 3 ∈ A ∪ B ,则命题“非 p ”是( A. 3 ? A B. 3 ∈ CU B C. 3 ? A ∩ B D. 3 ∈ (CU A) ∩ (CU B )

二.忽视题目中的隐含条件或已知条件 忽视题目中的隐含条件或已知条件 【易错题 3】若 A = 1,3, x} , B = x ,1 , 且 A ∪ B = 1,3, x} ,则这样的 x 的不同取值有(
2

{

{ }

{



A.2 个 B.3 个 三.分类讨论思想应用错误 分类讨论思想应用错误

C.4 个

D.5 个

【易错题 4】设 A = x 2 ≤ x ≤ 6 , B = x 2a ≤ x ≤ a + 3 ,若 B ? A ,则实数 a 的取值范围是( A. [1,3] B. ( 3, +∞ ) C. [1, +∞ ) D. (1,3)

{

}

{

}



四、条件不能等价转换 条件不能等价转换 【易错题 5】已知方程 x 2 + (2k ? 1) x + k 2 = 0 ,求使方程有两个大于 1 的根的充要条件. 专题训练一 集合的概念和运算 1.(10 北京文) 集合 P = {x ∈ Z 0 ≤ x < 3}, M = {x ∈ Z x 2 ≤ 9} ,则 P I M =( ) (A) {1, 2} (B)

{0,1, 2}

(C) {1, 2,3}

(D)

{0,1, 2,3}

2.(10 天津)设集合 A = { x || x ? a |< 1, x ∈ R} , B = { x || x ? b |> 2, x ∈ R} . 若 A ? B ,则实数 a , b 必满足 ( ) (A) | a + b |≤ 3 (B) | a + b |≥ 3 (C) | a ? b |≤ 3 (D) | a ? b |≥ 3

3.(10 安徽)若集合 A = ? x log 1 x ≥

? ? ? ?

2

1? ? ? ,则 CR A = ( 2? ?
C



A

? 2 ? (?∞, 0] ∪ ? ? 2 , +∞ ? ? ? ?

B

? 2 ? ? ? 2 , +∞ ? ? ? ?

(?∞, 0] ∪ [

2 , +∞) 2

D

[

2 , +∞) 2

4.(10 湖北)设集合 A = {( x, y ) | A 4 B 3 C 2

x2 y2 + = 1} , B = {( x, y ) | y = 3x } ,则 A ∩ B 的子集的个数是( ) 4 16
D 1 )

5.(09 浙江文)设 U = R , A = {x | x > 0} , B = {x | x > 1} ,则 A ∩ ? B = ( U A. {x | 0 ≤ x < 1} B. {x | 0 < x ≤ 1} C. {x | x < 0}

D. {x | x > 1}

若 则 6. 09 江西) ( 已知全集 U = A ∪ B 中有 m 个元素,(Cu A) ∪ (Cu B ) 中有 n 个元素. A ∩ B 非空, A ∩ B

的元素个数为( A. mn

) B. m + n C. n ? m D. m ? n

7.(09 湖南文)某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项 运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________. 8.(09 上海)已知集合 A = { x | x ≤ 1} , B = { x | x ≥ a} ,且 A ∪ B = R ,则实数 a 的取值范围是______. 9.(08 江西)定义集合运算: A ? B = z z = xy , x ∈ A, y ∈ B . 设 A = {1, 2} , B = {0, 2} ,则集合 A ? B 的所 有元素之和为( )A.0 B.2 C.3 D.6

{

}

10.(07 湖北)设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q = { x | x ∈ P,且x ? Q} ,如果 P = { x | log 2 x < 1} ,
Q = { x | x ? 2 < 1} ,那么 P ? Q 等于(

) C. { x |1≤ x < 2} D. { x | 2 ≤ x < 3}

A. { x | 0 < x < 1}

B. { x | 0 < x ≤1}

11.(07 北京)已知集合 A = x x ? a ≤ 1 , B = x x ? 5 x + 4 ≥ 0 ,若 A ∩ B = ? ,则实数 a 的取值范
2

{

}

{

}

围是

.

12.(07 湖南)设集合 A = {( x,y ) | y ≥

1 | x ? 2 |}, B = {( x,y ) | y ≤ ? | x | +b} , A ∩ B ≠ ? . 2


(1) b 的取值范围是



(2)若 ( x,y ) ∈ A ∩ B ,且 x + 2 y 的最大值为 9,则 b 的值是 专题训练二 命题正误判断与充要条件
1.(10 湖南文)下列命题中的假命题是( ... A. ?x ∈ R, lg x = 0


C.

B. ?x ∈ R, tan x = 1

?x ∈ R, x 3 > 0


D. ?x ∈ R, 2 x > 0

2.(10 上海文) x = 2kπ + “ A.充分非必要条件

π
4

( k ∈ Z ) ”是“ tan x = 1 ”成立的(
C.必要非充分条件

B.充分必要条件

D.非充分必要条件

3.(10 山东文)设 {an } 是首项大于零的等比数列,则“ a1 < a2 ”是“数列 {an } 是递增数列”的( A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件



4.(10 北京) a 、 b 为非零向量.“ a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) = ( xa + b) ? ( xb ? a ) 为一次函数”的( A.充分非必要条件 5.(10 广东) m < “ B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件



1 2 ”是“一元二次方程 x + x + m = 0 ”有实数解的( 4
B.充分必要条件
3


D.非充分必要条件

A.充分非必要条件

C.必要非充分条件

6.(10 广东文) x > 0 ”是“ “

x 2 > 0 ”成立的(



A.充分非必要条件

B.充分必要条件 )

C.必要非充分条件

D.非充分必要条件

7.(10 湖南)下列命题中的假命题是( A. ? x ∈ R , 2
x?1

> 0 2x-1>0

B. ? x ∈ N * , ( x ? 1)2 > 0
D. ? x ∈ R , tan x = 2 )

C. ? x ∈ R , lg x < 1

8.(09 浙江)已知 a, b 是实数,则“ a > 0 且 b > 0 ”是“ a + b > 0 且 ab > 0 ”的 ( A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件

D.非充分必要条件

9.(09 四川文)已知 a , b , c , d 为实数,且 c > d .则“ a > b ”是“ a - c > b - d ”的( ) A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件

10.(09 辽宁)下列 4 个命题: p1 : ?x ∈ (0, +∞ ), ( ) < ( ) ; p2 : ?x ∈ (0,1), log 1 x > log 1 x ;
x x 2 3

1 2

1 3

1 1 1 p3 : ?x ∈ (0, +∞), ( ) x > log 1 x ; p4 : ?x ∈ (0, ), ( ) x < log 1 x ,其中的真命题是( 2 3 2 2 2
(A) p1 , p3 ( B) p1 , p4 (C) p2 , p3
x0



(D) p2 , p4 )

11.(09 天津)命题“存在 x0 ∈ R, 2 (A)不存在 x0 ∈ R, 2 0 >0
x

≤ 0”的否定是(
x0

w.w.w. k.s. 5.u .c.o.m

(B)存在 x0 ∈ R, 2

≥0

(C)对任意的 x ∈ R, 2 x ≤ 0

(D)对任意的 x ∈ R, 2 x >0 )

12.(09 重庆文)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A. “若一个数是负数,则它的平方不是正数” C. “若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

B. “若一个数的平方是正数,则它是负数” D. “若一个数的平方不是正数,则它不是负数”


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