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2016-2017学年贵州省凯里市第一中学高二上学期入学考试数学试题


2016-2017 学年贵州省凯里市第一中学高二上学期入学考试数学试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.设集合 M ? {0,1, 2} ,则( A. 1 ? M 2.函数 y ? A. [0, ??) )

B. 2 ? M C. 3 ? M D. {0} ? M

x ? 1 的定义域是(

) D. (??,1] )

B. [1, ??) C. (??, 0]

3.若关于 x 的不等式 mx ? 2 ? 0 的解集是 {x | x ? 2} ,则实数 m 等于( A.-1 B.-2 C.1 D.2

4.若对任意的实数 k ,直线 y ? 2 ? k ( x ? 1) 恒经过定点 M ,则 M 的坐标是( A.(1,2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(-1,-2)



5.若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示,则该几何体的正视图是(



6.以点(0,1)为圆心,2 为半径的圆的方程是( A. x ? ( y ? 1) ? 2
2 2



B. ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

C. x ? ( y ? 1) ? 4
2 2

D. ( x ? 1) ? y ? 4
2 2

7.在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 3an (n ? N * ) ,则 a4 等于( A.9 B.10 C.27 D.81



8.若函数 f ( x) ? sin x cos x , x ? R ,则函数 f ( x) 的最小值为(
页 1第



A. ?

1 4

B. ?

1 2

C. ?

3 2

D.-1

9.在空间中,设 ? , ? 表示平面, m, n 表示直线,则下列命题正确的是( A.若 m / / n , n ? ? ,则 m ? ? B.若 ? ? ? , m ? ? ,则 m ? ? C.若 m 上有无数个点不在 ? 内,则 m / /? D.若 m / /? ,那么 m 与 ? 内的任何直线平行 10.在 ?ABC 中,若 AB ? 2 , AC ? 3 , ?A ? 60° ,则 BC 的长为( A. 19 B. 13 C.3 D. 7 )



11.若实数 x, y 满足不等式组 ? A.-2 B.-1 C.1

? x ? y ? 0, ,则 2 y ? x 的最大值是( ? x ? y ? 2 ? 0,
D.2



12.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, F 为线段 A1C1 的中点,则异面直线 DF 与 B1C 所成角的大小 为( ) B.30° C.45° D.60°

A.15°

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设圆 C : x ? y ? 1 ,直线 l : x ? y ? 2 ,则圆心 C 到直线 l 的距离等于__________.
2 2

14.已知 x ? 0 , y ? 0 ,且

2 1 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为______________. x y

15.四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 4 2 的正方形,且 SA ? SB ? SC ? SD ? 4 5 ,则过点

A, B, C , D, S 的球的体积为_____________.
16.给出以下结论:
页 2第

①直线 l1 , l2 的倾斜角分别为 ?1 , ? 2 ,若 l1 ? l2 ,则 | ?1 ? ? 2 |? 90? ; ②对任意角 ? ,向量 e1 ? (cos ? ,sin ? ) 与 e2 ? (cos ? ? 3 sin ? , 3 cos ? ? sin ? ) 的夹角为 ③若 ?ABC 满足

??

?? ?

?
3



a b ,则 ?ABC 一定是等腰三角形; ? cos B cos A

④对任意的正数 a, b ,都有 1 ?

a? b ? 2. a?b

其中错误结论的编号是_____________.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ? ? 17.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?3, 4) .
(Ⅰ)求 a ? b 与 a ? b 的夹角; (Ⅱ)若 a ? (a ? ? b) ,求实数 ? 的值. 18.设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m, cos 2 x) ,b ? (1 ? sin 2 x,1) , x ? R ,且 y ? f ( x) 的图像经过点

? ?
?

? ?

?

?

? ?

?

?

( , 2) . 4
(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合. 19.如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知 ?A ? 45° , ?C ? 90? , ?ADC ? 105° , AB ? BD ,现将四 边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC (如图乙),设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (Ⅰ)求证: DC ? 平面 ABC ; (Ⅱ)设 CD ? a ,求三棱锥 A ? BFE 的体积.

?

20.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 它们的对边分别为 a, b, c , 且满足 a : b ? (Ⅰ)求 A, B, C ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积 S .
页 3第

2 : 3 ,c ? 2 .

21.等差数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 n ? 2an ? 1(n ? N * ) , S n 是数列 {an } 的前 n 项和. (Ⅰ)求 an , S n ; (Ⅱ)设数列 {bn } 满足

b b1 b2 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

22.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 21 ? 0 ,直线 l 过定点 A(1, 0) . (Ⅰ)若 l 与圆 C 相切,求 l 的方程; (Ⅱ)若 l 与圆 C 交于 P, Q 两点,求三角形 CPQ 面积的最大值,并求此时 l 的直线方程.

凯里一中 2015—2016 学年度质量检测 高一数学答案 一.选择题 1. A 2. B 3. C 4. C 5. A 6. C 7. C 8. B 9. A 二.填空题
页 4第

10. D 11. C 12. B

13.

2

14. 8

15.

500? 3

16. ③

三.解答题 17.(Ⅰ)∵ a ? (1 , 2) , b ? (?3 , 4) , ∴ a ? b ? (?2 , 6) , a ? b ? (4 , ?2) , ····················2 分 ∴ cos ? a ? b,a ? b ?? ∴ ? a ? b,a ? b ??

(?2, 6) ? (4, ? 2) 40 ? 20

?

?20 40 ? 20

??

2 . ············4 分 2

3? . ··························5 分 4

【另】 cos ? a ? b,a ? b ?? ∴ ? a ? b,a ? b ??

(a ? b ) ? (a ? b ) a 2 ? b2 5 ? 25 2 ? ? ?? , ···4 分 | a ? b || a ? b | | a ? b || a ? b | 2 40 ? 20

3? . ··························5 分 4

(Ⅱ)当 a ? (a ? ? b) 时, a ? (a ? ? b) ? 0 , ···················7 分 ∴ (1, 2) ? (1 ? 3?, 2 ? 4? ) ? 0 ,则 1 ? 3? ? 4 ? 8? ? 0 ,∴ ? ? ?1 . ·········· 10 分 【另】当 a ? (a ? ? b) 时, a ? (a ? ? b) ? 0 , ···················7 分 ∴ a 2 ? ? a ? b ? 0 ,则 5 ? ?[1 ? (?3) ? 2 ? 4] ? 0 ,∴ ? ? ?1 . ··········· 10 分

b ? m(1 ? sin 2 x) ? cos 2 x , 18.解:解:(Ⅰ) f ( x) ? a ?
由已知 f ( ) ? m(1 ? sin ) ? cos

? ?

………………………2 分 ………………………5 分

π 4

π 2

π ? 2 ,得 m ? 1 . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ,……………………8 分

π 4

π ? 当 sin(2 x ? ) ? ?1 时, f ( x) 的最小值为 1 ? 2 ,……………………10 分 4
由 sin(2 x ?

π ? ? 3 ) ? ?1 ,得 2 x ? ? ? ? 2k? (k ? Z ) , x ? k? ? ? , 4 4 2 8 3π , k ? Z } …………………………………………12 分 8

∴ x 值的集合为 {x | x ? kπ ?

19. 解:(Ⅰ)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45? ∴ ?ADB ? 45? , ?ABC ? 90? 即 AB ? BD -------------------------------------------------------------2 分 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD



5第

∴DC ? 平面 ABC. -----------------------------------------------------6 分 (Ⅱ)解法:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ? 平面 ABC, ∴EF⊥平面 ABC,--------------------------------------------------------7 分 ∴ VA? BFE ? VF ? AEB ?

1 S ?AEB ? FE -------------------------8 分 3
∴ ?BDC ? 60? , ?DBC ? 30?

在图甲中,∵ ?ADC ? 105? ,

由 CD ? a 得 BD ? 2a, BC ? 3a , EF ? ∴ S ?ABC ?

1 1 CD ? a --------------------------10 分 2 2
∴ S ?AEB ?

1 1 AB ? BC ? ? 2a ? 3a ? 3a 2 2 2

3 2 a 2

∴ VA? BFE ?

1 3 2 1 3 3 ? a ? a? a -----------------------------------------12 分 3 2 2 12

20.(Ⅰ)∵ A,B,C 成等差数列,∴ A ? C ? 2 B , 又 A ? B ? C ? 180? ,∴ B ? 60?,A ? C ? 120? , ·················2 分 由正弦定理 ∴
2 3 ?
a b c a sin A 可知, ? , ? ? sin A sin B sin C b sin B

sin A sin A 2 . ·····················4 分 ? ? sin A ? ? sin 60 2 3 2

∵ 0? ? A ? 120? ,∴ A ? 45? , C ? 120? ? A ? 75? . 综上, A ? 45?,B ? 60?,C ? 75? . ······················6 分 【另】∵ A,B,C 成等差数列,∴ A ? C ? 2 B , 又 A ? B ? C ? 180? ,∴ B ? 60?,A ? C ? 120? , ·················2 分 设 a ? 2k,b ? 3k ,其中 k ? 0 .由余弦定理可知,
cos B ? 2k 2 ? 4 ? 3k 2 2 ? 2k ? 2 ? 1 ? k 2 ? 2 2k ? 4 ? 0 ? k ? 6 ? 2 , 2

∴ a ? 2( 3 ? 1),b ? 6( 3 ? 1) , ∴
2( 3 ? 1) 6( 3 ? 1) 2 , ····················4 分 ? ? sin A ? sin A 2 3 2

∵ 0? ? A ? 120? ,∴ A ? 45? , C ? 120? ? A ? 75? , 综上, A ? 45?,B ? 60?,C ? 75? . ····················· 6 分 (Ⅱ) sinC ? sin 75? ? sin(30? ? 45? ) ?
6? 2 , ··············· 8 分 4
6第





a b 2 a b ? ? ? ? ? ? ? ? sin 45 sin 60 sin 75 2 3 2 2

2 6? 2 4



得 a ? 2( 3 ? 1),b ? 6( 3 ? 1) , ······················ 10 分

1 1 3 S ? ac sin B ? ? 2( 3 ? 1) ? 2 ? ? 3 ? 3 ………………………………12 分 ? ABC ∴ 2 2 2
21.解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d .由 a2 n ? 2an ? 1 知,
a1 ? (2n ? 1)d ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ? d ? a1 ? 1 ? 2 . ················2 分

∴ an ? 2n ? 1 ; S n (Ⅱ)由

? n2 .

·························4 分

b b 1 b1 b2 1 1 ? ? ? ? n ? 1 ? n 可知, 1 ? 1 ? ,∴ b1 ? ; ··········5 分 a1 2 2 a1 a2 an 2

b 1 ? b1 b2 ? ?? ? n ?1? n , ? b 1 1 1 ?1 3 2n ? 1 2 ? n ? n ?1 ? n ? n . 当 n ? 2 时, ? 2n ? 1 2 2 2 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?1 ? 1 ? 1 ?1 3 2n ? 3 2n ?1 ?

综上, bn

?

2n ? 1 ( n ? N* ). 2n

······················8 分

1 3 2n ? 3 2n ? 1 ? ?Tn ? 21 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? 2n , 1 1 2 2 2 2n ? 1 ? ∴? ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ···· 10 分 2 2 2 2 2 2 ? 1 T ? 1 ? 3 ? ? ? 2n ? 3 ? 2n ? 1 n 2 3 n n ?1 ? ?2 2 2 2 2

1 1 ? n ?1 1 1 2n ? 1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ? 1 ? , 1 2 2 2 2n 2n ? 2 2n 1? 2
? 3? 2n ? 3 ,即 Tn 2n

? 3?

2n ? 3 . 2n

···················· 12 分
2 2

22.解:(Ⅰ)将圆的一般方程化为标准方程,得 ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 4 ∴圆心 C ? 3, 4 ? ,半径 r ? 2 …………………………………… 2 分 ①若直线 l 的斜率不存在,则直线 x ? 1 ,符合题意………………3 分 ②若直线 l 斜率存在,设直线 l : y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . ∵ l 与圆 C 相切. ∴圆心 C ? 3, 4 ? 到已知直线 l 的距离等于半径 2,即
3k ? 4 ? k k2 ?1 ? 2 …………4 分



7第

解得 k ?

3 . ………………………………………………… 5 分 4

∴综上,所求直线方程为 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 ………………………… 6 分 (Ⅱ)直线与圆相交,斜率必定存在,设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 . 则圆心到直线 l 的距离 d ? 又∵ ?CPQ 面积 S ? ∴当 d ? 由d ?
| 2k ? 4 | 1? k2

………………………………………7 分

2 1 ? d ? 2 4 ? d 2 ? 4d 2 ? d 4 ? ? ? d 2 ? 2 ? ? 4 ………9 分 2

2 时, S max ? 2 …………………………………………………10 分
? 2 ,解得 k ? 1或k ? 7 ……………………………………11 分

| 2k ? 4 | 1? k2

∴直线方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 7 x ? y ? 7 ? 0 …………………………………12 分



8第


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