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2.1直线与圆的位置关系(3)

[2.1 第 3 课时 切线的性质] 一、选择题 1.如图 K-48-1 所示,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,若 OC=AB,则∠C 的 度数为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 图 K-48-1 2.如图 K-48-2 所示,PA 是⊙O 的切线,A 为切点,PO 交⊙O 于点 B,PA=4,OB =3,则 cos∠APO 的值为( ) 图 K-48-2 3 3 4 4 A. B. C. D. 4 5 5 3 3.2016· 湖州如图 K-48-3,⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°, 过点 C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 D,则∠D 的度数是( A.25° B.40° C.50° D.65° ) 图 K-48-3 4.如图 K-48-4 所示,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB,CD 与小圆 分别相切于点 E,F,则弦 AB 与 CD 的大小关系是( ) 图 K-48-4 A.AB>CD B.AB=CD C.AB<CD D.无法确定 5.[2015· 湖州] 如图 K-48-5,以点 O 为圆心的两个圆中,大圆的弦 AB 切小圆于点 1 C,OA 交小圆于点 D.若 OD=2,tan∠OAB= ,则 AB 的长是( 2 ) 图 K-48-5 A.4 B.2 C.8 D.4 3 3 二、填空题 6.2017· 杭州如图 K-48-6,AT 切⊙O 于点 A,AB 是⊙O 的直径,若∠ABT=40°, 则∠ATB=________°. 图 K-48-6 7.2017· 连云港如图 K-48-7,线段 AB 与⊙O 相切于点 B,线段 AO 与⊙O 相交于点 C,AB=12,AC=8,则⊙O 的半径为________. 图 K-48-7 8.如图 K-48-8 所示,点 A,B,C 均在⊙O 上,切线 CD 与 OB 的延长线交于点 D, 连结 OC.若∠A=30°,CD=2 3,则⊙O 的半径为________. 图 K-48-8 9.如图 K-48-9,AB 是⊙O 的直径,P 为 AB 延长线上的一个动点,过点 P 作⊙O 的切线,切点为 C.连结 AC,BC,作∠APC 的平分线交 AC 于点 D.下列结论正确的是 ________.(写出所有正确结论的序号) 图 K-48-9 ①△CPD∽△DPA; ②若∠A=30°,则 PC= 3BC; ③若∠CPA=30°,则 PB=OB; ④无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化,∠CDP 的度数为定值. 10.2017· 德州某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图 K-48-10 所示.⊙O 的圆 心与矩形 ABCD 对角线的交点重合,且⊙O 与矩形上下两边相切(E 为上切点),与左右两边 相交(F,G 为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆 的半径为 1 m,根据设计要求,若∠EOF=45°,则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的 面积的比值)为________. 图 K-48-10 三、解答题 11.如图 K-48-11 所示,已知 AB 是⊙O 的切线,A 为切点,OB 交⊙O 于点 C,AB =3 cm,BC=1 cm,求⊙O 的半径. 图 K-48-11 12.2017· 衢州如图 K-48-12,AB 为半圆 O 的直径,C 为 BA 延长线上一点,CD 切 半圆 O 于点 D,连结 OD.作 BE⊥CD 于点 E,交半圆 O 于点 F.已知 CE=12,BE=9. (1)求证:△COD∽△CBE; (2)求半圆 O 的半径 r. 图 K-48-12 13.如图 K-48-13,已知 AB 为⊙O 的直径,AC 为⊙O 的切线,OC 交⊙O 于点 D, BD 的延长线交 AC 于点 E. (1)求证:∠1=∠CAD; (2)若 AE=EC=2,求⊙O 的半径. 图 K-48-13 14. 2016· 丽水如图 K-48-14, AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线, D 为半圆上一点, AD=AB,AD,BC 的延长线相交于点 E. (1)求证:AD 是半圆 O 的切线; (2)连结 CD,求证:∠A=2∠CDE; ︵ (3)若∠CDE=27°,OB=2,求BD的长. 图 K-48-14 15 综合探究如图 K-48-15,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠BAD=90°,AC 为直径, 过点 A 作⊙O 的切线交 CB 的延长线于点 E, 过 AC 的三等分点 F(靠近点 C)作 CE 的平行线 交 AB 于点 G,连结 CG. (1)求证:AB=CD; (2)求证:CD2=BE· BC; 9 (3)当 CG= 3,BE= 时,求 CD 的长. 2 图 K-48-15 1.[解析]B ∵BC 是⊙O 的切线,OB 是⊙O 的半径,∴BC⊥OB. 又∵OC=AB=2OB, OB OB 1 ∴sinC= = = , OC 2OB 2 ∴∠C=30°. [点评] 涉及切线,可联想到切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 2.[解析]C 连结 OA,在 Rt△OPA 中,OP= OA2+PA2=5, PA 4 ∴cos∠APO= = . OP 5 3.[解析]B 连结 OC. ∵⊙O 是 Rt△ABC 的外接圆,∠ACB=90°, ∴AB 是直径. ∵∠A=25°, ∴∠BOC=2∠A=50°. ∵CD 是⊙O 的切线, ∴OC⊥CD, ∴∠D=90°-∠BOC=40°. 故选 B. 4.[解析]B 连结 OE,OF,OD,OB. ∵AB 切小圆 O 于点 E, ∴AB⊥OE.同理 OF⊥CD. ∵OE=OF,OB=OD,∴BE=DF, ∴AB=CD. [点评] 有切线,可连结切点和圆心,创造条件使用切线的性质,得到垂直. 5.[全品导学号:63422363

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