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高中数学选修2-3全套测试题组含答案

(数学选修 2--3)
[基础训练 A 组] 一、选择题

第一章

计数原理

1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( ) A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机 各 1 台,则不同的取法共有( ) A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种 3. 5 个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有( )
3 A. A3 3 B. 4 A3 5 2 3 C. A5 ? A3 A3 2 3 1 1 3 D. A2 A3 ? A2 A3 A3

4. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长, 不同的选法总数是( ) A. 20 B. 16 C. 10 D. 6 5.现有男、女学生共 8 人,从男生中选 2 人,从女生中选 1 人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛,共有 90 种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A.男生 2 人,女生 6 人 B.男生 3 人,女生 5 人 C.男生 5 人,女生 3 人 D.男生 6 人,女生 2 人.

?x 1 ? 6.在 ? ? 3 ? 的展开式中的常数项是( x? ?2
A. 7 B. ?7
5

8



C. 28

D. ?28
3

7. (1 ? 2 x) (2 ? x) 的展开式中 x 的项的系数是( A. 120 B. ?120
n



C. 100

D. ?100 )

2? ? 8. ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是( x ? ?
A. 180 B. 90 C. 45 D. 360

二、填空题
1.从甲、乙,……,等 6 人中选出 4 名代表,那么(1)甲一定当选,共有 种 选法. ( 2)甲一定不入选,共有 种选法 .(3)甲、乙二人至少有一人当选,共有 种选法. 2. 4 名男生, 4 名女生排成一排,女生不排两端,则有 种不同排法. 3.由 0,1,3,5,7,9 这六个数字组成_____个没有重复数字的六位奇数. 4.在 ( x ? 3)10 的展开式中, x 的系数是
6

.

1

5.在 (1 ? x 2 )20 展开式中,如果第 4 r 项和第 r ? 2 项的二项式系数相等, 则r ? , T4 r ? .

6.在 1, 2,3,...,9 的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数,这 样的四位数有_________________个? 7. 用 1, 4,5, x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则 x .

8.从 1,3,5,7,9 中任取三个数字,从 0, 2, 4,6,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位 数,共有________________个? 三、解答题 1.判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果. (1)高三年级学生会有 11 人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一 次手,共握了多少次手?

(2)高二年级数学课外小组 10 人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的 选法?②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?

(3)有 2,3,5,7,11,13,17,19 八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的 商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?

2. 7 个排成一排,在下列情况下,各有多少种不同排法? (1)甲排头,

(2)甲不排头,也不排尾,

(3)甲、乙、丙三人必须在一起,
2

(4)甲、乙之间有且只有两人,

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻,

(6)甲在乙的左边(不一定相邻) ,

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序,

(8)甲不排头,乙不排当中。

4 3 3.解方程 (1) A2 x ? 140 Ax ;

n?1 n?1 n n ?2 (2)Cn ?3 ? Cn?1 ? Cn?1 ? Cn

4. 已知 ? x 2 ?
n

? ?

1? 7 ? 展开式中的二项式系数的和比 (3a ? 2b) 展开式的二项式系数的和大 128 , x?

n

1? ? 求 ? x 2 ? ? 展开式中的系数最大的项和系数量小的项. x? ?

3

(1+x)的展开式中,若第 3 项与第 6 项系数相等,且 n 等于多少? 5. (1)在

n

1 ? ? (2) ? x x ? 3 ? 的展开式奇数项的二项式系数之和为 128 , x? ?
则求展开式中二项式系数最大项。

n

6 . 已 知 (2 ? 3x)50 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? a50 x50 , 其 中 a0 , a1, a2
? a49 )2

, a50 是 常 数 , 计 算

(a0 ? a2 ? a4 ?

? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ?

(数学选修 2--3)
[综合训练 B 组]
一、选择题

第一章

计数原理

1.由数字 1 、 2 、 3 、 4 、 5 组成没有重复数字的五位数, 其中小于 50000 的偶数共有( ) A. 60 个 B. 48 个 C. 36 个 D. 24 个
4

2. 3 张不同的电影票全部分给 10 个人,每人至多一张,则有 不同分法的种数是( ) A. 1260 B. 120 C. 240 D. 720 3. n ? N 且 n ? 55 ,则乘积 (55 ? n)(56 ? n)
55? n A. A69 ?n 15 C. A55 ?n 15 B. A69 ?n 14 D. A69 ?n

(69 ? n) 等于

4.从字母 a, b, c, d , e, f 中选出 4 个数字排成一列,其中一定要选出 a 和 b , 并且必须相邻( a 在 b 的前面) ,共有排列方法( )种. A. 36 B. 72 C. 90 D. 144 5.从不同号码的 5 双鞋中任取 4 只,其中恰好有 1 双的取法种数为( A. 120 B. 240 C. 280 D. 60 6.把 ( 3i ? x)10 把二项式定理展开,展开式的第 8 项的系数是( A. 135 C. ?360 3i 7. ? 2 x ? 则 B. ?135 D. 360 3i
2n





? ?

1 ? 2 ? 的展开式中, x 的系数是 224 , 2x ?


1 的系数是( x2 A. 14 B. 28 56 C. D. 112
3 10

8.在 (1 ? x )(1 ? x) 的展开中, x 的系数是(
5



A. ?297 C. 297

B. ?252 D. 207

二、填空题
1. n 个人参加某项资格考试,能否通过,有 种可能的结果? , 2, 3 , 9 这几个数中任取 4 个数,使它们的和为奇数,则共有 2.以 1 种不同取法.

3. 已知集合 S ? ??1,0,1? , P ? ?1, 2,3, 4? ,从集合 S , P 中各取一个元素作为点的坐标,可作 出不同的点共有_____个.
n n n n ? k ? ______. 4. n, k ? N 且 n ? k , 若 Ck ?1 : Ck : Ck ?1 ? 1: 2:3, 则

5

5. ? x ?

? ?

1 ? ? 1? 展开式中的常数项有 x ?

5

6 .在 50 件产品 n 中有 4 件是次品,从中任意抽了 5 件,至少有 3 件是次品的抽法共有 ______________种(用数字作答). 7. ( x ?1) ? ( x ?1)2 ? ( x ?1)3 ? ( x ?1)4 ? ( x ?1)5 的展开式中的 x 的系数是___________
3

8.A ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9? , 则含有五个元素, 且其中至少有两个偶数的子集个数为_____. 三、解答题 1.集合 A 中有 7 个元素,集合 B 中有 10 个元素,集合 A (1) C 有 3 个元素; (3) C (2) C

B 中有 4 个元素,集合 C 满足

A

B

B ? ?, C

A ? ? 求这样的集合 C 的集合个数.

2 97 3 2.计算: (1) C100 ? C100 ? A101 ;

?

?

3 3 (2) C3 ? C4 ?

3 . ? C10

m n ? m ?1 Cn Cn ?1 (3) m ? n ? m Cn Cn

m?1 m 3.证明: A m ? An n ?mA n ?1 .

6

4.求 ( x ?

1 ? 2)3 展开式中的常数项。 x

5.从 ??3, ?2, ?1,0,1,2,3,4? 中任选三个不同元素作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数,问 能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

6. 8 张椅子排成,有 4 个人就座,每人 1 个座位,恰有 3 个连续空位的坐法共有多少种?

(数学选修 2--3)
[提高训练 C 组]
一、选择题
3 4 1.若 An ,则 n 的值为( ? 6Cn

第一章

计数原理



A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2.某班有 30 名男生, 30 名女生,现要从中选出 5 人组成一个宣传小组, 其中男、女学生均不少于 2 人的选法为( )
7

2 2 1 A. C30 C20 C46 5 1 4 4 1 C. C50 ? C30 C20 ? C30 C20

5 5 5 B. C50 ? C30 ? C20 3 2 2 3 D. C30 C20 ? C30 C20

3. 6 本不同的书分给甲、乙、丙三人,每人两本,不同的分法种数是( A. C C
2 6 2 4
2 2 C62C4 C2 B. 3 A3



C. 6 A 3 3

3 D. C 6

4.设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ,其中由 3 个元素 组成的子集数为 T ,则

T 的值为( S



20 128 16 C. 128
A.

15 128 21 D. 128
B.

5.若 (2x ? 3)4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 , 则 (a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 的值为( A. 1 C. 0 B. ?1 D. 2 ) )

6.在 ( x ? y)n 的展开式中,若第七项系数最大,则 n 的值可能等于( A. 13,14 C. 12,13 B. 14,15 D. 11,12,13

7.不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有( A. 3 个 B. 4 个 6 C. 个 D. 7 个 8.由 0,1, 2,3,...,9 十个数码和一个虚数单位 i 可以组成虚数的个数为( A. 100 C. 9 二、填空题 B. 10 D. 90





1.将数字 1, 2,3, 4 填入标号为 1, 2,3, 4 的四个方格里,每格填一个数字,则每个方格的标号 与所填的数字均不同的填法有 种? 2.在△ AOB 的边 OA 上有 5 个点,边 OB 上有 6 个点,加上 O 点共个点,以这 12 个点为 顶点的三角形有 个. 3.从 0 , 1, 2,3, 4,5,6 这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数 y ? ax ? bx ? c 的系数
2

a, b, c 则可组成不同的函数 _______ 个 , 其中以 y 轴作为该函数的图像的对称轴的函数有

8

______个.

?a 9 x? 3 4.若 ? ? 的展开式中 x 的系数为 ,则常数 a 的值为 ? ?x 4 2? ? ?
2 2 2 5.若 C3 ? C4 ? C5 ? 2 ? Cn ? 363, 则自然数 n ? _____.

9

.

6.若

1 1 7 m ,则 C8 ? m ? ? __________ . m m C5 C6 10C7
5

7. 0.991 的近似值(精确到 0.001 )是多少? 8.已知 (1 ? 2x)7 ? ao ? a1 ? a2 x2 ?

? a7 x 7 ,那么 a1 ? a2 ?

? a7 等于多少?

三、解答题 1. 6 个人坐在一排 10 个座位上,问(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2) 4 个空位只有 3 个相 邻的坐法有多少种?(3) 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?

2.有 6 个球,其中 3 个黑球,红、白、蓝球各 1 个,现从中取出 4 个球排成一列,共有多少种 不同的排法?

3.求 (1 ? 2 x) (1 ? 3x) 展开式中按 x 的降幂排列的前两项.
5 4

4.用二次项定理证明 C

2n?2

? 8n ? 9 能被 64 整除 ? n ? N ? .

0 2 5.求证: Cn ? 2Cn ?

n ? (n ?1)Cn ? 2n ? n ? 2n?1 .

9

6.(1)若 (1 ? x) n 的展开式中, x 的系数是 x 的系数的 7 倍,求 n ;
3

(2)已知 (ax ? 1)7 (a ? 0) 的展开式中, x 的系数是 x 的系数与 x 的系数的等差中项,求 a ;
3 2 4

(3)已知 (2x ? xlg x )8 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,求 x .

离散型随机变量解答题精选(选修 2--3)
1. 人忘记了电话号码的最后一个数字,因而他随意地拨号,假设拨过了的号码不再重复, 试求下列事件的概率: (1)第 3 次拨号才接通电话; (2)拨号不超过 3 次而接通电话. 解:设 Ai ? {第 i 次拨号接通电话}, i ? 1, 2,3

10

(1)第 3 次才接通电话可表示为 A1 A2 A3 于是所求概率为 P ( A1 A2 A3 ) ? 9 ? 8 ? 1 ? 1 ; 10 9 8 10 (2)拨号不超过 3 次而接通电话可表示为: A 于是所求概率为 1?A 1A 2 ?A 1A 2A 3

P( A ? P( A1 ? A1A 2? A A 1 )? P( A 1 A 2 ) 1 A 2) ? 3

P ( 1A 2A 3A ? )1

10

?

9 1 9 8 1 3 ? ? ? ? ?. 10 9 10 9 8 10

2. 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗, 假设他在各交通岗到红灯这一事件是相 互独立的,并且概率都是 . (1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2)求这位司机在途中遇到红灯数ξ 的期望和方差。 解: (1)因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯, 所以
1 1 1 4 P ? (1 ? )(1 ? ) ? ? . 3 3 3 27

1 3

(2)易知 ? ~ B (6, ).

1 3

∴ E? ? 6 ? 1 ? 2. 3

1 1 4 D? ? 6 ? ? (1 ? ) ? . 3 3 3

3. 奖器有 10 个小球,其中 8 个小球上标有数字 2 , 2 个小球上标有数字 5 ,现摇出 3 个小 球,规定所得奖金(元)为这 3 个小球上记号之和,求此次摇奖获得奖金数额的数学期 望 解:设此次摇奖的奖金数额为 ? 元, 当摇出的 3 个小球均标有数字 2 时, ? ? 6 ; 当摇出的 3 个小球中有 2 个标有数字 2 ,1 个标有数字 5 时, ? ? 9 ; 当摇出的 3 个小球有 1 个标有数字 2 , 2 个标有数字 5 时, ? ? 12 。
3 所以, P(? ? 6) ? C8 ? 7 3 15 C10

C 2C1 7 P(? ? 9) ? 8 3 2 ? 15 C10

P(? ? 12) ?

1 2 C8 C2 1 ? 3 15 C10

7 7 1 39 E? ? 6 ? ( ? 9 ? ?1 2 ? ? ) 15 15 15 5

答:此次摇奖获得奖金数额的数字期望是

39 元 5

4.某学生语、数、英三科考试成绩,在一次考试中排名全班第一的概率:语文为 0.9 , 数学为 0.8 ,英语为 0.85 ,问一次考试中 (Ⅰ)三科成绩均未获得第一名的概率是多少? (Ⅱ)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解:分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为 A, B, C , 则 P( A) ? 0.9, P( B) ? 0.8, P(C ) ? 0.85

11

(Ⅰ) P( A ? B ? C) ? P( A) ? P( B) ? P(C)

? [1 ? P( A)][1 ? P( B)][1 ? P(C )] ? (1 ? 0.9)(1 ? 0.8)(1 ? 0.85) ? 0.003
答:三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003 (Ⅱ) ( P( A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? C) )

? P( A ? B ? C ) ?P ( A? B? ) C ? (P A ? B ?) C ? P( A) ? P( B)? P( C) ? P( A ?) P( B ? ) P( C ?) P( ?A) P(? B) P( C)

? [ 1 ?P (A ) P ] B ( P ) C (? ) P ( A ?) [ 1P B( P ) ]? C ( )P A( P )?B ( ) [P 1 C ( )] ? ( 1 ? 0 . 9? ) 0? . 8 0 .?8 5 ?0 . 9 ? ( 1 ? 0 . 8 )? 0 . ? 85 ? 0 . 9? 0 . 8 ( 1 0 . 8 5 ) ?0.329
答:恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329 5.如图, A, B 两点之间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1, 2, 2,3, 4 .现 从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. (I) 设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x , 当 x ? 6 时, 则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率; (II)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.

1 1 1 ? C2 ? C2 1 解: (I)?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,? P( x ? 6) ? ? 3 4 C6

12

5 1 ? 20 4 3 ?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,? P( x ? 8) ? 20 2 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 9,? P( x ? 9) ? ? 20 10 1 1 3 1 3 ? P( x ? 6) ? ? ? ? ? 4 4 20 10 4 ?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,? P( x ? 7) ?
(II)?1 ? 1 ? 2 ? 4, P( x ? 4) ?

1 3 ,?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5, P( x ? 5) ? 10 20

∴线路通过信息量的数学期望

1 3 1 1 3 1 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9 ? ? 6.5 10 20 4 4 20 10 3 答: (I)线路信息畅通的概率是 . (II)线路通过信息量的数学期望是 6.5 4 1 3 3 6.三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作的概率分别为 , , , 将它们中某两个元件并联后再和第三 2 4 4 ? 4?
元件串联接入电路. (Ⅰ)在如图的电路中,电路不发生故障的概率是多少? (Ⅱ)三个元件连成怎样的电路,才能使电路中不发生故障的概率最大?请画出此时 电路图,并说明理由.

解:记“三个元件 T1 , T2 , T3 正常工作”分别为事件 A1 , A2 , A3 ,则

P( A1 ) ?

1 3 3 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 2 4 4

(Ⅰ)不发生故障的事件为 ( A2 ? A3 ) A 1. ∴不发生故障的概率为

P1 ? P[( A2 ? A3 ) A1 ] ? P( A1 ? A3 ) ? P( A1 ) ? [1 ? P( A2 ) ? P( A3 )] ? P( A1 ) 1 1 1 15 ? [1 ? ? ] ? ? 4 4 2 32

(Ⅱ)如图,此时不发生故障的概率最大.证明如下:

13

图 1 中发生故障事件为 ( A 1?A 2)A 3 ∴不发生故障概率为

P2 ? P[( A1 ? A2 ) A3 ] ? P( A1 ? A2 ) ? P( A3 ) ? [1 ? P( A1 ) ? P( A2 )] P( A3 ) ?

21 32

? P2 ? P 1
图 2 不发生故障事件为 ( A 1?A 3)A 2 ,同理不发生故障概率为 P 3 ?P 2 ?P 1 7.要制造一种机器零件,甲机床废品率为 0.05 ,而乙机床废品率为 0.1 ,而它们 的生产是独立的,从它们制造的产品中,分别任意抽取一件,求: (1)其中至少有一件废品的概率; (2)其中至多有一件废品的概率. 解:设事件 A ? “从甲机床抽得的一件是废品” ; B ? “从乙机床抽得的一件是废品”. 则 P( A) ? 0.05, P( B) ? 0.1 (1)至少有一件废品的概率

P( A ? B) ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? P( A) ? P( B) ? 1 ? 0.95? 0.90 ? 0.145
(2)至多有一件废品的概率

P ? P( A ? B ? A ? B ? A ? B) ? 0.05? 0.9 ? 0.95? 0.1 ? 0.95? 0.9 ? 0.995
8.甲乙两人独立解某一道数学题,已知该题被甲独立解出的概率为 0.6 ,被甲或乙解出的 概率为 0.92 , (1)求该题被乙独立解出的概率; (2)求解出该题的人数 ? 的数学期望和方 差 解: (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A, B . 设甲独立解出此题的概率为 P1 ,乙为 P 2. 则 P( A) ? P 1 ? 0.6, P( B) ? P 2

P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? (1 ? P 1 )(1 ? P 2) ? P 1?P 2 ?P 1P 2 ? 0.92 ? 0.6 ? P2 ? 0.6 P2 ? 0.92 则0.4 P2 ? 0.32即P2 ? 0.8 (2) P(? ? 0) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 P (? ? 1) ? P ( A) P ( B ) ? P ( A) P ( B ) ? 0.6 ? 0.2 ? 0.4 ? 0.8 ? 0.44 P (? ? 2) ? P ( A) ? P ( B ) ? 0.6 ? 0.8 ? 0.48

?的概率分布为 :
?
0
1
2

14

P

0.08

0.44

0.48

E? ? 0 ? 0.08 ? 1 ? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 0.44 ? 0.96 ? 1.4 D? ? (0 ? 1.4) 2 ? 0.08 ? (1 ? 1.4) 2 ? 0.44 ? (2 ? 1.4) 2 ? 0.48 ? 0.1568? 0.0704? 0.1728? 0.4 或利用D? ? E (? 2 ) ? ( E? ) 2 ? 2.36 ? 1.96 ? 0.4
9.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在 一年内 E 发生的概率为 p ,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交 多少保险金? 解:设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以 ? 表示公司每年的收益额,则 ? 是一个 随机变量,其分布列为:

?
P

x 1? p

x?a
p

因此,公司每年收益的期望值为 E? ? x(1 ? p) ? ( x ? a) p ? x ? ap . 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,只需 E? ? 0 . 1 , a ,即 x ? a p ? 0 . 1a 故可得 x ? a . ( p ? 0.1 ) 即顾客交的保险金为 a( p ? 0.1) 时,可使公司期望获益 0.1a . 10.有一批食品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格,则这批食品不能出 厂.已知每项指标抽检是相互独立的,且每项抽检出现不合格的概率都是 0.2 . (1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字); (2)求直至五项指标全部验完毕,才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字).
1 解:(1)这批食品不能出厂的概率是: P ? 1 ? 0.85 ? C5 ? 0.84 ? 0.2 ? 0.263 .

(2)五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是:
1 3 P 1 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.8

五项指标全部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是:
1 3 P 2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.2

由互斥事件有一个发生的概率加法可知,五项指标全部检验完毕,才能确定这批
1 3 产品是否出厂的概率是: P ? P 1?P 2 ? C4 ? 0.2 ? 0.8 ? 0.4096 .

11.高三(1)班、高三(2)班每班已选出 3 名学生组成代表队,进行乒乓球对抗赛. 比赛 规则是:①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛; ②代表队中每名队员至少参加一 盘比赛,不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为 . (Ⅰ)根据比赛规则,高三(1)班代表队共可排出多少种不同的出场阵容? (Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘的概率是多少?
2 解: (I)参加单打的队员有 A3 种方法.

1 2

15

1 参加双打的队员有 C 2 种方法.

2 1 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C2 ? 12(种)

(II)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两 盘胜, 所以,连胜两盘的概率为

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8

12.袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概率. (1)摸出 2 个或 3 个白球 (2)至少摸出一个黑球.

解: (Ⅰ)设摸出的 4 个球中有 2 个白球、 3 个白球分别为事件 A, B ,则
1 C52 ? C32 3 C52 ? C3 3 P( A) ? ? , P( B) ? ? 4 4 7 7 C8 C8

∵ A, B 为两个互斥事件

∴ P ( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ?

6 7

即摸出的 4 个球中有 2 个或 3 个白球的概率为 (Ⅱ)设摸出的 4 个球中全是白球为事件 C ,则

6 7

P(C ) ?

C54 1 ? 至少摸出一个黑球为事件 C 的对立事件 C84 14
1 13 ? 14 14

其概率为 1 ? 练习:

1. 抛掷 2 颗骰子, 所得点数之和记为 ? , 那么 ? ? 4 表示的随机试验结果为____________。 2. 设某项试验的成功概率是失败概率的 2 倍,用随机变量 ? 描述 1 次试验的成功次数, 则 P(? ? 0) ? _______________。 3.若 ? 的分布列为:

?
P

0 p

1 q

其中 p ? (0,1) ,则 E? ? ____________________, D?

? ____________________,

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数学选修 2-3

第一章

计数原理

[基础训练 A 组]

一、选择题 1.B 每个小球都有 4 种可能的放法,即 4 ? 4 ? 4 ? 64 2.C
1 2 2 1 分两类: (1)甲型 1 台,乙型 2 台: C4 (2)甲型 2 台,乙型 1 台: C4 C5 ; C5 1 2 2 1 C4 C5 ?C C ? 4 5 70

3.C 4.B 5.B

5 2 3 5 2 3 不考虑限制条件有 A5 ,若甲,乙两人都站中间有 A3 A3 , A5 ? A3 A3 为所求 2 1 2 1 不考虑限制条件有 A5 ,若 a 偏偏要当副组长有 A4 , A5 ? A4 ? 16 为所求 2 1 3 设男学生有 x 人,则女学生有 8 ? x 人,则 Cx C8? x A3 ? 90,

8 x ? ) 即 x( x? 1 ) ( ?
6.A
r 8

3? 0 ? 2 ? 3 x5, ?

3

1 4 8? r ? r 8? r x 8? r 1 r r 1 8? r r r 1 8? r r 3 3 Tr ?1 ? C ( ) (? 3 ) ? (?1) ( ) C8 x ? (?1) ( ) C8 x 2 2 2 x

令8? 7.B

4 1 ? 6 6 r ? 0, r ? 6, T7 ? (?1)6 ( ) 8 C8 ? 7 3 2

3 2 (1 ? 2x)5 (2 ? x) ? 2(1 ? 2x)5 ? x(1 ? 2x)5 ? ... ? 2C5 (?2x)3 ? xC5 (?2x)2 ? ... 2 3 ? (4C5 ?16C53) x 3 ? ... ? ?120x ? ...

8.A

只有第六项二项式系数最大,则 n ? 10 ,
r Tr ?1 ? C10 ( x )10?r ( 5 5? r 5 2 r 2 r r 2 , ? 4 C ) ? 2 C x ,令 5 ? r ? 0 ,r ? 2 T 3 10 ? 180 10 2 2 x

二、填空题 1. (1) 10 2. 8640 3. 480 4. 1890
3 (2) 5 C5 ? 10 ;

(3) 14 C54 ? 5 ;

4 4 C6 ? C4 ? 14

4 4 4 4 先排女生有 A6 ,再排男生有 A4 ,共有 A6 ? A4 ? 8640 1 5 1 5 0 既不能排首位,也不能排在末尾,即有 A4 ,其余的有 A5 ,共有 A4 ? A5 ? 480

r 10?r 4 6 6 , ? 4T 9 x0 Tr ?1 ? C10 x (? 3)r ,令 1 0? r ? 6 r 5, ? C 10 x ? 189
4r ? 1 r? 1 C2 ,4 r? 1 ?r ? ? 1 0 ?C 2 0 5 2 15 2r0? , T 41 ? , 6C 1 ? )C x 2x 0 ( ?? 15 20 30

15 30 5. 4, ?C20 x

6. 840 7. 2

2 2 2 2 先排首末,从五个奇数中任取两个来排列有 A5 ,其余的 A7 ,共有 A5 ? A7 ? 840 4 x 当 x ? 0 时,有 A4 ? 24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1 ? 4 ? 5 ?

17

2 4 (? 1 ? 4 ?5x ? )
8. 11040

x ? 0 时, 288 不能被 10 整除,即无解 2x8?8 , ;当2

3 2 5 3 1 4 不考虑 0 的特殊情况,有 C5 若 C5 A5 ?1 2 0 0 0 , 0 在首位,则 C5 C4 A4 ?960, 3 2 5 3 1 4 C5 C5 A5 ? C5 C4 A ? ? 9 6? 0 41 2 0 0 0

11040

三、解答题
2 2 1.解: (1)①是排列问题,共通了 A 11 ? 110 封信;②是组合问题,共握手 C11 ? 55 次。 2 2 (2)①是排列问题,共有 A 10 ? 90 种选法;②是组合问题,共有 C10 ? 45 种选法。 2 (3)①是排列问题,共有 A8 ? 56 个商;②是组合问题,共有 C82 ? 28 个积。 6 6 2.解: (1)甲固定不动,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A6 ? 720 种; 1 6 1 6 (2)甲有中间 5 个位置供选择,有 A5 ,其余有 A6 ? 720 ,即共有 A5 A6 ? 3600 种; 3 (3)先排甲、乙、丙三人,有 A3 ,再把该三人当成一个整体,再加上另四人,相当 5 5 3 于 5 人的全排列,即 A5 ,则共有 A5 A3 ? 720 种; 2 2 (4)从甲、乙之外的 5 人中选 2 个人排甲、乙之间,有 A5 ,甲、乙可以交换有 A2 ,

把该四人当成一个整体,再加上另三人,相当于 4 人的全排列,
2 2 4 则共有 A5 A2 A4 ? 960 种; 4 (5)先排甲、乙、丙之外的四人,有 A4 ,四人形成五个空位,甲、乙、丙三人排 3 3 4 这五个空位,有 A5 ,则共有 A5 A4 ? 1440 种; 7 (6)不考虑限制条件有 A7 ,甲在乙的左边(不一定相邻) ,占总数的一半,



1 7 A7 ? 2520 种; 2

4 (7)先在 7 个位置上排甲、乙、丙之外的四人,有 A7 ,留下三个空位,甲、乙、 4 丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入列,不能乱排的,即 A7 ? 840 7 6 6 (8)不考虑限制条件有 A7 ,而甲排头有 A6 ,乙排当中有 A6 ,这样重复了甲排头, 5 7 6 5 乙排当中 A5 一次,即 A7 ? 2 A6 ? A5 ? 3720

18

?2 x ? 1 ? 4 ?x ? 3 ? 4 3 3.解: (1) A2 x ?1 ? 140 Ax ? ? ?x ? N ? ?(2 x ? 1)2 x(2 x ? 1)(2 x ? 2) ? 140 x( x ? 1)( x ? 2)
?x ? 3 ? ? ?x ? N ?(2 x ? 1)(2 x ? 1) ? 35( x ? 2) ? ?x ? 3 ? ? ?x ? N ?4 x 2 ? 35 x ? 69 ? 0 ?
得x ?3
2 2 1 1 2 (2)Cn ? Cn ,2 Cn ? 2? Cn ? 3 ? Cn ? 1? Cn ? 1 2 Cn ? ? 2 Cn ? ?2 1 2 Cn ? 2 ? Cn , n ? 2 ? 2

n(n ? 1) ,n ? 4 2
8

1 r 1? ? r 2 8? r r r 16 ?3 r 4.解: 2 ? 2 ? 128, n ? 8 , ? x 2 ? ? 的通项 Tr ?1 ? C8 ( x ) ( ? ) ? ( ?1) C8 x x x? ?
n 7

当 r ? 4 时,展开式中的系数最大,即 T5 ? 70x4 为展开式中的系数最大的项; 当 r ? 3, 或5 时,展开式中的系数最小,即 T2 ? ?56x7 , T6 ? ?56x 为展开式中 的系数最小的项。
2 5 5.解: (1)由已知得 Cn ? Cn ?n?7 1 3 5 (2)由已知得 Cn ? Cn ? Cn ? ... ? 128, 2n?1 ? 128, n ? 8 ,而展开式中二项式

系数最大项是 T4?1 ? C8 ( x x ) (
4 4

3

1 4 ) ? 70 x 4 3 x 2 。 x

6.解:设 f ( x) ? (2 ? 3x)50 ,令 x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? 令 x ? ?1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ?

? a50 ? (2 ? 3)50

? a50 ? (2 ? 3)50
? a49 )2 ?

(a0 ? a2 ? a4 ?

? a50 )2 ? (a1 ? a3 ? a5 ?

(a0 ? a1 ? a2 ?

? a50 )(a0 ? a1 ? a2 ?

? a50 ) ? (2 ? 3)50 (2 ? 3)50 ? 1

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数学选修 2-3
一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.A

第一章

计数原理

[综合训练 B 组]

1 1 3 1 1 3 个位 A2 ,万位 A3 ,其余 A3 ,共计 A2 A3 A3 ? 36 3 相当于 3 个元素排 10 个位置, A 10 ? 720 15 从 55 ? n 到 69 ? n 共计有 15 个正整数,即 A69 ?n 2 3 从 c, d , e, f 中选 2 个,有 C4 ,把 a , b 看成一个整体,则 3 个元素全排列, A3 2 3 共计 C4 A3 ? 36

5.A

1 2 先从 5 双鞋中任取 1 双,有 C5 ,再从 8 只鞋中任取 2 只,即 C8 ,但需要排除 2 1 4 种成双的情况,即 C8 ? 4 ,则共计 C5 (C82 ? 4) ? 120

6.D 7.A

3 7 3 6 0 i3 T8 ? C7 ( x7 ) ? 3 6 0 i,系数为 3 x 1( 0 3 i) ?
r 2n?r Tr ?1 ? C2 ( n (2 x )

1 r r 2n?2r ) ? 2 2 n ? r C2 ,令 2n ? 2r ? 2, r ? n ? 1 nx 2x
3 C8 14 x ?2 ? 2 4 x

n? 1 n? 1 则 22 C2 n ? 224, C2n ? 56, n ? 4 ,再令 8 ? 2r ? ?2, r ? 5, T6 ?

8.D

5 2 (1 ? x3 )(1 ? x)10 ? (1 ? x)10 ? x3 (1 ? x)10 ? (C10 ? C10 ) x5 ? ... ? 207 x5 ? ...

二、填空题 1. 2
n

每个人都有通过或不通过 2 种可能,共计有 2 ? 2 ? . . ? . n 2 个 (

n 2 ?)

2

2. 60 3. 23 4. 3 5. ?51

1 3 3 1 四个整数和为奇数分两类:一奇三偶或三奇一偶,即 C5 C4 ?C C ? 5 4 60 1 1 2 ) ,其中 ( 1 , 1 重复了一次 C3 C4 A2 ?1 ? 2 3

n ? 1 ,k ? 2

1 ? ? ( x ? )? x ?
'

1 5? r 1 5? r ? 5 r 1 ? 的通项为 Cr ( x ? x ) (?1) , 其中 ( x ? x ) 的通项为 ?
' ' '

5

C5r? r x 5? r ? 2 r ,所以通项为 ( ?1) r C5r C5r? r x 5? r ? 2 r ,令 5 ? r ? 2 r' ? 0
得r ?
'

5?r ' ' ,当 r ? 1 时, r ? 2 ,得常数为 ?30 ;当 r ? 3 时, r ? 1 ,得常数为 ?20 ; 2

' 当 r ? 5 时, r ? 0 ,得常数为 ?1 ;??30 ? (?20) ? (?1) ? ?51

20

6. 4186

3 2 4 1 3 件次品,或 4 件次品, C4 C4 ?C C ?64186 6 4 4

7. 15

原式 ?

( x ? 1)[1 ? ( x ? 1)5 ] ( x ? 1) ? ( x ? 1)6 , (x ? 16 ? )中含有 x 4 的项是 1 ? ( x ? 1) x

2 4 4 x3 的系数是15 C6 x (? 1)2? 1 5 x ,所以展开式中的

8. 105

直接法:分三类,在 4 个偶数中分别选 2 个, 3 个, 4 个偶数,其余选奇数,
2 3 3 2 4 1 5 5 4 1 C4 C5 ?C C ? CC ? 4 5 4 ? 5105 ;间接法: C9 ? C 5 ? C C 5 4 105

三、解答题 1.解: A B 中有元素 7 ? 10 ? 4 ? 13 。 C13 3? C36 ? C33 ? 2 8 6 ? 2 0? 1? 2 65 2.解: (1)原式 ? (C
2 100 3 A101 1 3 3 ? C ) ? A ? C ? A ? 3 ? A101 ? 1 ? A3 ? 。 A3 6 3 100 3 101 3 101 3 101

3 4 4 4 4 (2)原式 ? C3 ? C5 ? C4 ? C6 ? C5 ? 4 3 3 另一方法: 原式 ? C4 ? C4 ? C5 ? 4 3 ? C6 ?C 6 ?

4 4 4 ? C11 ? C10 ? C11 ? 330 。 3 C10

3 3 ? C10 ? C5 ?

? C 13? 0

3 4 ?C 4 ? C ? ? 330 10 1C 0 11

(3)原式 ?

m m?1 m?1 m?1 m?1 Cn ? Cn Cn Cn Cn ? ? 1 ? ? ?1 m m Cm Cn Cm Cn n n

3.证明:左边 ?

n! m ? n! (n ? m ? 1) ? n !? m ? n ! ? ? (n ? m)! (n ? m ? 1)! (n ? m ? 1)!

?

(n ? 1)! m ? An ?1 ? 右边 [(n ? 1) ? m]!

所以等式成立。

(1 ? x ) 1 3 3 ? 2)3 ? 4.解: ( x ? ,在 (1 ? x )6 中, x 的系数 C6 (?1)3 ? ?20 3 x x
6

就是展开式中的常数项。 另一方法: 原式 ? (

x ?

1 x

3 ) 6 , T4 ? C6 (?1)3 ? ?20

5.解:抛物线经过原点,得 c ? 0 , 当顶点在第一象限时, a ? 0, ?

?a ? 0 b 1 1 ,则有 C3 ? 0,即? C4 种; b ? 0 2a ?
21

当顶点在第三象限时, a ? 0, ?
1 1 2 共计有 C3 C4 ? A4 ? 24 种。

?a ? 0 b 2 ,则有 A4 种; ? 0,即? b ? 0 2a ?

4 6.解:把 4 个人先排,有 A4 ,且形成了 5 个缝隙位置,再把连续的 3 个空位和 1 个空位 2 4 2 当成两个不同的元素去排 5 个缝隙位置,有 A5 ,所以共计有 A4 A5 ? 480 种。

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数学选修 2-3
一、选择题 1.B

第一章

计数原理

[提高训练 C 组]

n! n! ? 6? , n ? 3 ? 4, n ? 7 (n ? 3)! (n ? 4)!? 4!
2 3 3 2 男生 2 人,女生 3 人,有 C30 ;男生 3 人,女生 2 人,有 C30 C20 C20 2 3 3 2 共计 C3 0C 2 ? 0 C 3C 0 20

2.D

3.A 4.B

2 2 2 2 2 甲得 2 本有 C6 ,乙从余下的 4 本中取 2 本有 C4 ,余下的 C2 ,共计 C6 C4

含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S ? 2 ,由 3 个元素组成的子集数
10

3 为 T ? C10 ,

3 T C10 15 ? 10 ? S 2 128

5.A

(a0 ? a2 ? a4 )2 ? (a1 ? a3 )2 ? (a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 )(a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (2 ? 3)4 ? (2 ? 3)4 ? 1

6.D

分三种情况: (1)若仅 T7 系数最大,则共有 13 项, n ? 12 ; (2)若 T7 与 T6 系数相 等且最大,则共有 12 项, n ? 11 ; (3)若 T7 与 T8 系数相等且最大,则共有 14 项,

n ? 13 ,所以 n 的值可能等于 11,12,13
7.D 四个点分两类: (1)三个与一个,有 C
2 C4 ?7 2

1 (2)平均分二个与二个,有 4;

C 42 2

共计有 C4 ?
1

22

8.D

复数 a ? bi, (a, b ? R) 为虚数,则 a 有 10 种可能, b 有 9 种可能,共计 90 种可能

二、填空题 1. 9
1 分三类:第一格填 2 ,则第二格有 A3 ,第三、四格自动对号入座,不能自由排列; 1 第一格填 3 ,则第三格有 A3 ,第一、四格自动对号入座,不能自由排列; 1 第一格填 4 ,则第撕格有 A3 ,第二、三格自动对号入座,不能自由排列; 1 共计有 3A3 ?9

2. 165 3. 180,30

C13 2 ? C 36? C 37 ? 165
1 1 1 2 a ? 0 , C6 C6C5 ? 180 ; b ? 0 ,A6 ? 30

4. 4

3r ?9 3r a x 2 , ? 8 Tr ?1 ? C9r ( )9?r (? )r ? (?1)r ( )r a9?r C9r x 2 ,令 ? 9 ? 3 r 2 x 2 2

2 9 9 8 (? 1 8 ) ( 8a )C a? a , ? 4 9 ? 2 16 4
5. 13
3 2 2 2 C3 ?C 3 ?C 4 ?C 5 ? 3 2 C5 ?C 5 ? 2 3 2 2 ? Cn ? 363 ? 1, C ? 4C ? 4C ? 5 ? Cn ? 2

364,

? Cn 2? . . ? . Cn? 31? 3 6n 4? ,

13
0

6. 28

5! ? m! ( 5 ? m ) !m

6! 7 7! ? ? , m2 ? 2 3 m ? 4? 2 !? (m 6 )! m 1 0 ? m! ( 7 )!

m 而 0 ? m ? 5 ,得 m ? 2, C8 ? C82 ? 28

7. 0.956

0.9915 ? (1 ? 0.009)5 ? 1 ? 5 ? 0.009 ? 10 ? (0.009)2 ? ... ? 1 ? 0.045 ? 0.00081 ? 0.956
8. ?2 设 f ( x)? ( ? 1

2 xn ,令 ) x ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ?

? a7 ( ? 1 ? 27)

?1 ?

令 x ? 0 ,得 a0 ? 1 , a1 ? a 2 ? 三、解答题

? a 7? ?1 ? a ? 0 ?2

6 1.解: 6 个人排有 A6 种, 6 人排好后包括两端共有 7 个“间隔”可以插入空位. 4 (1)空位不相邻相当于将 4 个空位安插在上述 7 个“间隔”中,有 C7 ? 35 种插法, 6 4 故空位不相邻的坐法有 A6 C7 ? 25200 种。

23

(2)将相邻的 3 个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往 7 个“间隔”里插
2 6 2 有 A7 种插法,故 4 个空位中只有 3 个相邻的坐法有 A6 A7 ? 30240 种。

(3) 4 个空位至少有 2 个相邻的情况有三类:
4 ① 4 个空位各不相邻有 C7 种坐法; 1 2 ② 4 个空位 2 个相邻,另有 2 个不相邻有 C7 C6 种坐法; 2 ③ 4 个空位分两组,每组都有 2 个相邻,有 C7 种坐法. 6 4 1 2 2 综合上述,应有 A6 (C7 ? C7 C6 ? C7 ) ? 118080 种坐法。 4 2.解:分三类:若取 1 个黑球,和另三个球,排 4 个位置,有 A4 ? 24 ;

若取 2 个黑球,从另三个球中选 2 个排 4 个位置, 2 个黑球是相同的,
2 2 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 36 ;

若取 3 个黑球,从另三个球中选 1 个排 4 个位置, 3 个黑球是相同的,
1 1 自动进入,不需要排列,即有 C3 A4 ? 12 ;

所以有 24 ? 36 ? 12 ? 72 种。 3.解: (1 ? 2 x)5 (1 ? 3x)4 ? ?(2 x ?1)5 (3x ? 1)4
4 1 ? ?[(2x)5 ? C51(2x) 4? ...][(3x) ? C4 (3 x) ?3...]

? ? (32 x5 ? 8 x 04 ? . . . )x (48 ? 1

3 x1 0 ?8

...)

? ?(2592 x9 ? 81? 80 x 8? 32 ?108 x 8? ...) ? ?2592 x9 ? 3024 x8 ? ...
4.解: 3
2 n?2

? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9
n ?1 2 n n ?1 ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 8 ? Cn ?1 ? 8n ? 9 n ?1 ? Cn ?1 ) ? 8( n ? 1) ? 1 ? 8n ? 9 n ?1 ? Cn ?1 )

0 n ?1 1 n ? Cn ? Cn ?1 8 ?1 8 ?

0 n ?1 1 n?2 ? 64(Cn ? Cn ? ?1 8 ?1 8

0 n ?1 1 n?2 ? M ? 64(记M ? Cn ? Cn ? ?1 8 ?1 8

M 为整数 ,?64M能被64整除.
0 1 2 n 5.证明: Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? (n ? 1)Cn 0 n 1 2 n ? (Cn ? Cn1? Cn 2? . .? . Cn ? ) Cn (? Cn2? ?. nC . .n
1 2 n? ? 2n ? n ( 1 ? Cn .C .n ?1 ? Cn ? 1? .? ? 1 1

)

)

? 2n ? n ? 2n?1
24

6.解: (1) Cn ? 7Cn ,
3 1

n(n ? 1)(n ? 2) ? 7n, n 2 ? 3n ? 40 ? 0,由n ? N * ,得n ? 8 ; 6

5 2 3 4 4 3 (2) C7 a ? C7 a ? 2C7 a , 21a2 ? 35a4 ? 70a3 , a ? 0

得 5a ? 10a ? 3 ? 0 ? a ? 1 ?
2

10 ; 5

4 (3) C8 (2x)4 ( xlg x )4 ? 1120, x4(1?lg x) ? 1,lg2 x ? lg x ? 0

得 l gx ? 0 ,或 l gx ? ? 1 所以 x ? 1, 或x ?

1 。 10

25


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