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【课时通】高一数学人教版必修2课件2.3.3 直线与平面垂直的性质2_图文

2.3.3 直线与平面垂直的性质 问题 引航 1.直线与平面垂直的性质定理的内容是什么?如何 用文字、图形、符号表示此定理? 2.直线与平面垂直的性质定理的作用是什么? 直线与平面垂直的性质定理 平行 a∥b 1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线a⊥平面α ,直线b?平面α ,则直线a⊥直线b.( (2)若直线a∥平面α ,直线b⊥平面α ,则直线b⊥直线a.( (3)若直线a⊥平面α ,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α .( ) ) ) 【解析】(1)正确.若直线a⊥平面α,则直线a与平面α内的任 意直线都垂直. (2)正确.因为直线a∥平面α,过直线a作平面β,β∩α=a′, 则a∥a′,因为b⊥α,所以b⊥a′,所以b⊥a. (3)错误.若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则b∥α或b?α. 答案:(1)√ (2)√ (3)× 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该 点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的 位置关系是 . (2)已知l,m是两条直线,A,B,C三点是不共线的三个点,l⊥AB, l⊥AC,m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是 . (3)已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如图所示,若AF=DE,AD=6, 则EF= . 【解析】(1)因为圆柱的母线所在直线与圆柱的底面垂直 ,所以 这条直线与圆柱的母线所在直线平行. 答案:平行 (2)因为A,B,C三点不共线,所以A,B,C确定一个平面. 因为l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC, 同理可证m⊥平面ABC,所以l∥m. 答案:l∥m (3)因为AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,所以AF∥DE. 又因为AF=DE,所以四边形ADEF是平行四边形, 所以EF=AD=6. 答案:6 【要点探究】 知识点 直线与平面垂直的性质定理 1.直线与平面垂直的性质定理的作用 (1)由线面垂直证明线线平行. (2)构造平行线. 2.直线与平面垂直的性质定理的本质 揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了 “垂直”与“平行”关系转化的依据. 3.直线与平面垂直的常见性质 (1)如果一条直线垂直于一个平面,那么它就垂直于这个平面内 的任意一条直线. (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. (3)两条平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个 平面. (4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它必 垂直于另一个平面. 【微思考】 (1)若直线a不垂直于平面α ,则平面α 内是否存在直线与a垂直? 若存在,有多少条? 提示:存在,有无数条.如图,在正方体中,直线a不垂直于平面 α,b?α,a⊥b,且平面α内与b平行的直线都与a垂直. (2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗? 提示:不可以.若垂直于同一个平面,则这两边平行,不能构成三 角形. 【即时练】 平面α ∥平面β ,直线a∥α ,直线b⊥β ,那么直线a与直线b的 位置关系一定是 ( ) A.平行 B.异面 C.垂直 D.不相交 【解析】选C.因为平面α∥平面β,直线a∥α,所以a∥β或 a?β. 若a?β,则a⊥b,若a∥β,设过a的平面与平面β的交线为c, 则a∥c,由b⊥c知a⊥b.综上知a⊥b. 【题型示范】 类型一 线面垂直性质定理的应用 【典例1】 (1)如图,设平面α ∩β =EF,AB⊥α ,CD⊥α ,垂足分别是 B,D,BD⊥EF,则AC与EF的位置关系是 . (2)(2014·西安高一检测)如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1 中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC. 求证:MN∥AD1. 【解题探究】1.题(1)中A,B,C,D四个点共面吗?若共面,EF与平 面ABDC垂直吗? 2.题(2)中,AD1与平面A1DC的位置关系是什么? 【探究提示】1.由AB⊥α,CD⊥α知AB∥CD,故A,B,C,D四个点 共面.可证EF⊥平面ABDC. 2.可证AD1⊥平面A1DC. 【自主解答】(1)因为AB⊥α,CD⊥α,所以AB∥CD, 所以A,B,C,D四点共面. 因为α∩β=EF,所以EF?α,所以AB⊥EF. 又BD⊥EF,AB∩BD=B,所以EF⊥平面ABDC, 又AC?平面ABDC,所以AC⊥EF. 答案:AC⊥EF (2)因为ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1. 【延伸探究】题(2)中的条件不变,证明M是AB的中点. 【解题指南】连接ON,证明四边形AMNO为平行四边形即可. 【证明】连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC, 所以ON 1 2 CD 1 2 AB, 所以ON∥AM,又由题(2)结论可知MN∥OA, 故四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM. 由ON= 1 1 AB,所以AM= AB,故M是AB的中点. 2 2 【方法技巧】 1.平面内证明线线平行的四种方法 (1)两条直线被第三条直线所截,若同位角相等(或内错角相等 或同旁内角互补),则两直线平行. (2)三角形中位线、梯形中位线的性质 . (3)平行四边形对边平行的性质. (4)平行线分线段成比例定理. 2.空间中证明线线平行的四种方法 (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行. (2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么 过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 . (3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面 相交,那么它们的交线平行. (4)线面垂直的性

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