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湖南省怀化市2013年高三第一次模拟考试理科数学试卷

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡 上按答题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共4页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

怀化市2013年高三第一次模拟考试统一检测试卷


命题人:唐青波 张理科

学(理科)
审题人:李满禁、石水生、蒋良银、

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分. 时量:120分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共40分)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上.

1 a ? ? 1 ? bi i 1.若 ( a 、 b 是实数, i 是虚数单位),则复数 z ? a ? bi 对应的点在
A.第一象限 B.第二象限
x ( x ? 2)

C.第三象限

D.第四象限

2.已知 M ? {x | y ? ln(1 ? x)} , N ? {x | 2 A. {x | 0 ? x ? 2} 3. 下列命题中错误的是

? 1} ,则 M ? N 为
C.

B. {x | 0 ? x ? 1}

? x | 0 ? x ? 1?

D.

{x 0 ? x ? 1}

A.命题“若 x ? 5 x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2 ,则 x ? 5 x ? 6 ? 0 ”
2 2 2 2 B.对命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, 则 x ? x ? 1 ? 0

C.已知命题p和q,若 p ? q为假命题,则命题p与q中必一真一假

? x? y? xy ? ? ? ? 2 ? ”成立的充要条件 D.若 x 、 y ? R ,则“ x ? y ”是“
4. 执行右图的程序框图,若输出的 n ? 5 , 则输入整数 p 的最大值是 A.15 C.7 B.14 D.6

2

第 1 页 共 14 页

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 5. 过双曲线 a 的右焦点 F 作圆
x2 ? y 2 ? a2 的切线 FM (切点为 M ),交 y 轴于点

P .若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率为
A.2 C. 3 B. 2 D. 5

6. 首项为正数的递增等差数列

{an }

,其前 n 项和为

Sn

,则点

(n, Sn )

所在的抛物线可能为

? ? x ? 1 ( ?1 ? x ? 0) 1 f ( x) ? ? 2 f ( x)dx ? ? 1 ? x (0 ? x ? 1) , 则 ? ?1 7. 已知函数 的值为

1?
A.

?
2
( x? 1 2 x
4

1 ? ? B. 2 4
)n

1?
C.

?
4

1 ? ? D. 2 2

8. 在二项式

的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重

新排成一列,则有理项都不相邻的概率为

1 A. 6

1 B. 4

1 C. 3

5 D. 12

第Ⅱ卷(非选择题

共110分)

二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分. 把答案填在答题卡上的 相应 横线上. (一)选作题(请考生在9、10、11三题中任选2题作答,如果全做,则按前2题记分)

? x ? a ? 4 cos ? ? y ? 1 ? 4sin ? ( ? 是参数, a ? 0 ) ,直线 l 的极坐标方程为 9. 设曲线 C 的参数方程为 ?
3? cos ? ? 4 ? sin ? ? 5 ,若曲线 C 与直线 l 只有一个公共点,则实数 a 的值是
第 2 页 共 14 页



10.设函数

f ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a


的定义域为 R ,

则实数 a 的取值范围是

11.如图,⊙ o 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D , 且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙ o 的半径等于______.

(二)必作题(12~16题) 12.某几何体的三视图如右,其中正视图与侧视图上半部分为 半圆,则该几何体的表面积为 13. 设随机变量 且 .

X ~ N ?1,52 ?

, ,则实数 a 的值为 .

P ? X ? 0 ? ? P ? X ? a ? 1?

??? ? ??? ? ??? ? ? PB ? PC ? 2 PA ?0, ? ABC P 14.已知 为 内一点,且
现随机将一颗豆子撒在 ?ABC 内,则豆子落在 ?PBC 内的概率为 .

?0 ? x ? 2 ? ?y ? 2 ? x ? 2y xOy D 15. 已知平面直角坐标系 上的区域 由不等式组 ? 给定. 若 M ( x, y ) 为 D
上的动

???? ? ??? ? ( 2,1) z ? OM ? OA A 点,点 的坐标为 ,则 的最大值为
16.下列命题: ①当 ?x ? 1 时,

.

lg x ?

1 ?2 lg x ;

② m ? 1 ? n 是 m ? n 成立的充分不必要条件; ③对于任意 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 满足:
2 sin A ? s i2n B?

s2iC n?

2B s i n Cs i n; Acos

④定义:如果对任意一个三角形,只要它的三边长 a 、 b 、 c 都在函数 y ? f ( x) 的定 义域内,就有 f (a ) 、 f (b) 、 f (c) 也是某个三角形的三边长,则称 y ? f ( x) 为“三角形型 函数”.函数 h( x) ? 1nx, x ?[2, ??) 是“三角形型函数”.
第 3 页 共 14 页

其中正确命题的序号为

.(填上所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分) 在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且

2asin A ? (2b ? c) sin B ? (2c ? b) sin C.
(1)求A的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值.

18.(本小题满分12分) 某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动,活动规则如下:消费 额每满100元可转动如图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券, 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券60元;停在

B 区域返券30元;停在 C 区域不返券. 例如:消费218元,可转动转
盘2次,所获得的返券金额是两次金额之和. (1)若某位顾客消费128元,求返券金额不低于30元的概率; (2)若某位顾客恰好消费280元,并按规则参与了活动,他获得返券的金额记为 X (元), 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分12分
? 如图1,?ACB ? 45 ,BC ? 3 , 过动点A作 AD ? BC , 垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B ,

连接 AB ,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90 (如图2所示) .
?

(1)当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (2)当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC 、 AC 的中点,试在棱

CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小.

第 4 页 共 14 页

20. (本小题满分13分) .

已知数列

{an }

的前 n 项和为 ,且

Sn

(n,
,点

Sn 1 11 ) y ? x? n 在直线 2 2 上 . 数列 {bn } 满足

bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0 (n ? N * )
(1)求数列

b3 ? 11

,前9项和为153.

{an } {bn }


{的通项公式;

cn ?
(2)设

3 ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1)

,数列

{cn }

的前 n 和为

Tn

,求使不等式

Tn ?

k 57 对一切

n ? N * 都成立的最大正整数 K 的值;
? 1 , k ? N)* ? an ( n ? 2 k ? f ( n) ? ? * ? ?bn (n ? 2k , k ? N ) ,问是否存在 m ? N * ,使得 f (m ?15) ? 5 f (m) (3)设 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分13分 )

???? 2 5 ???? ? ???? ? ON ? OM 5 直角坐标平面上, O 为原点, M 为动点, | OM |? 5 , . 过点 M 作
MM1 ? y
轴于

M1

,过 N 作

NN1 ? x

轴于点

N1

, OT ? M 1 M ? N1 N . 记点 T 的轨迹为

第 5 页 共 14 页

曲线 C , 点 A(5, 0) 、 B(1, 0) ,过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P 、Q (点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 | BP |?| BQ | ,并说明理由.

22. (本小题满分13分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 ( a ? 0 , e 为自然对数的底数).
x

(1)求函数 f ( x) 的最小值; (2)若 f ( x) ≥0对任意的 x ? R 恒成立,求实数 a 的值;

1 2 n ?1 n n n e ( )n ? ( ) n ? ??? ? ( ) ?( ) ? (其中n ? N*) n n n e ?1 (3)在(2)的条件下,证明: n

2013年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学(理科)参考答案与评分标准
题号 答案 1 A 2 C
/

3 C
/

4 A

5 B

6 D

7 B

8 D

一、选择题( 5 ? 8 ? 40 )

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 )
/ /

选做题: 9.7 ;

10. a ? 3 ;

11.5;

必做题:12. 7? ; 三、解答题:

13.3;

1 14. 2 ;

15.4;

16.①③④.

17解: (1)由已知,根据正弦定理得

2a 2 ? ? 2b ? c ? b ? ? 2c ? b ? c

第 6 页 共 14 页

即 a ? b ? c ? bc ,
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

1 cos A ? ? , 2 故

A ? 120?

………………6分
?

(2)由(1)得: sin B ? sin C ? sin B ? sin(60 ? B)

?

3 1 cos B ? sin B ? sin(60? ? B), ? 0? ? B ? 60? 2 2
?

故当 B ? 30 时, sin B ? sin C 取得最大值1.………………12分 18解:设指针落在A,B,C区域分别记为事件A,B,C.

1 1 1 P ( A) ? , P ( B ) ? , P (C ) ? 6 3 2 ………………3分 则
(Ⅰ)若返券金额不低于30元,则指针落在A或B区域.[

p ? p( A) ? p( B) ?
所以

1 1 1 ? ? 6 3 2 ………………4分

1 即消费128元的顾客,返券金额不低于30元的概率是 2 .
(Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘2次. 随机变量 X 的可能值为0,30,60,90,120.………5分

1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? 2 2 4; 1 1 1 1 5 P( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? 2 6 3 3 18 ;

1 1 1 P( X ? 30) ? ? ? 2 ? 2 3 3; 1 1 1 P( X ? 90) ? ? ? 2 ? 3 6 9;

1 1 1 P( X ? 120) ? ? ? 6 6 36 …………10分
所以,随机变量 X 的分布列为:

1 1 5 1 1 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36 其数学期望 …………12分
第 7 页 共 14 页

19(1)解法1:在如图1所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x .
?

由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图2) , AD ? DC , AD ? BD ,且 BD ? DC ? D ,
1 1 S?BCD ? BD ? CD ? x (3 ? x ) ? ? BDC ? 90 BCD 2 2 AD ? 所以 平面 .又 ,所以 .于是 1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S ?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2 x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12 …………4分

?

1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ? ? 12 ? 3 3, ?

3

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立…………5分 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大.…………6分
VA? BCD ? 1 1 1 1 AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x 3 ? 6 x 2 ? 9 x) 3 3 2 6 .

解法2:同解法1,得 1 1 f ( x) ? ( x3 ? 6 x 2 ? 9 x) f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 6 2 令 ,由 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 .
? ? 当 x ? (0, 1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ( x) ? 0 .

所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. (2)解法1:以D为原点,建立如图a所示的空间直角坐标系D- xyz . 由(Ⅰ)知,当三棱锥A-BCD的体积最大时,BD=1,AD=CD=2.

1 于是可得D(0,0,0,) ,B(1,0,0) ,C(0,2,0) ,A(0,0,2)M(0,1,1)E( 2 ,1,0) ,
且BM=(-1,1,1). …………7分

1 1 ? 设 N ( 0, ? , 0 ) ,则 EN = 2 , ? -1,0). 因为 EN ⊥ BM 等价于 EN · BM = 0, 即( 2 , ? 1 1 1 ? -1,0) · (-1,1,1)= 2 + ? -1=0,故 ? = 2 ,N(0, 2 ,0)………8分 1 所以当DN= 2 时(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时,EN⊥BM.

第 8 页 共 14 页

? y ? 2x ? z ? ? x 可取 n =(1,2,-1)……10分 设平面BMN的一个法向量为n=( x , y , z ),由 ?
???? 1 1 EN ? (? , ? , 0) EN ? BMN 2 2 设 与平面 所成角的大小为 ,则由 , n ? (1, 2, ? 1) ,可得

1 ???? | ? ? 1| n ? EN 3 2 ???? ? sin ? ? cos(90? ? ? ) ? ? 2 | n | ? | EN | 2 6? ? 2 ,即 ? ? 60 .…………11分

故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 . …………12分 解法2:由(Ⅰ)知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥ AD . 由(Ⅰ)知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图c,延长 FE 至P点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥ DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF ? BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点F是唯一的,所以点 N 是唯一的.
第 9 页 共 14 页

?

即当

DN ?

1 2 (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) , EN ? BM .

连接 MN , ME ,由计算得

NB ? NM ? EB ? EM ?

5 2 ,

所以△ NMB 与△ EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图d所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角.
EG ? GN ? NE ? 2 2 ,所以△ EGN 是正三角形,

在△ EGN 中,易得

? ? 故 ?ENH ? 60 ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60 .

Sn 1 11 1 11 ? n ? , Sn ? n 2 ? n 2 2 即 2 2 …………1分 20解: (1)由题意,得 n
1 11 11 ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ( n 2 ? n) ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? ? n ? 5 2 2 2 ?2 ? 故当 n ? 2 时,
当 n =1时, 所以, 又

a1 ? S1 ? 6

,而当 n =1时, n +5=6, …………2分

an ? n ? 5 ? n ? N ? ?
,即

bn? 2 ? 2bn?1 ? bn ? 0

bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ? n ? N ? ?

…………3分

所以(

bn

9 ? b3 ? b1 ?
)为等差数列,于是

2

? 153



b3 ? 11 bn

, =

b1 ? 23

d?


23 ? 11 ?3 7?3
,即

因此,

b3 ? 3 ? n ? 3? ? 3n ? 2

bn



3n ? 2 ? n ? N ? ?

…………4分

cn ?
(2)

3 3 ? ( 2a n ? 11)( 2bn ? 1) [2( n ? 5) ? 11][ 2(3n ? 2) ? 1]

?

1 1 1 1 ? ( ? ). (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 …………5分
第 10 页 共 14 页

1 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 所以, 1 1 n ? (1 ? )? . 2 2n ? 1 2n ? 1 …………6分
Tn?1 ? Tn ?
由于

n ?1 n 1 ? ? ?0 2n ? 3 2n ? 1 (2n ? 3)( 2n ? 1) ,

1 (Tn ) min ? . 3 …………7分 因此Tn单调递增,故 1 k ? , 得k ? 19, 所以K max ? 18. 令 3 57 …………8分
? n ? 5 , ( n ? 2k ? 1, k ? N * ), ? f ( n) ? ? * ? ?3n ? 2 , ( n ? 2k , k ? N ). …………9分 (Ⅲ)
①当m为奇数时,m + 15为偶数. 此时 f (m ?15) ? 3(m ?15) ? 2 ? 3m ? 47,5 f (m) ? 5(m ? 5) ? 5m ? 25 , 所以 3m ? 47 ? 5m ? 25, m ? 11. …………11分 ②当m为偶数时,m + 15为奇数. 此时 f (m ?15) ? m ?15 ? 5 ? m ? 20,5 f (m) ? 5(3m ? 2) ? 15m ?10 ,

所以

m ? 20 ? 15m ? 10, m ?

5 ? N* 7 (舍去). …………12分

综上,存在唯一正整数m =11,使得 f (m ?15) ? 5 f (m) 成立. …………13分 21解:(Ⅰ)设点T的坐标为 ( x, y) ,点M的坐标为 (x?, y?) ,则M1的坐标为(0, y? )

???? 2 5 ???? ? 2 5 2 5 2 5 ( x ?, y ?) ON ? OM ? ( x?, y?) 5 5 5 ,于是点N的坐标为 5 ,N1的坐标 ?????? ????? 2 5 2 5 x ?,0) M 1M ? ( x?, 0), N1 N ? (0, y?). 5 5 为 ,所以 …………2分
(

? x ? x ?, 2 5 ? OT ? M 1 M ? N 1 N , 有( x, y ) ? ( x ?,0) ? (0, y ?), 所以? 2 5 5 y ?. ?y ? 5 ? 由

第 11 页 共 14 页

x ? ? x, y ? ?
由此得

5 y. 2 …………4分
2 2

| OM |?


5, 有x ? ? y ?

? 5, 所以x ? (
2

5 2

y)

2

? 5, 得

x2 5

?

y2 4

? 1,

即所求的方程表示的曲线

C是椭

圆.……………………6分 (Ⅱ)点A(5,0)在曲线C即椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆C 无交点,所以直线l斜率存在,并设为k. 直线l的方程为 y ? k(x ? 5). ………7分

由方程组

?x2 y2 ? 1, ? ? 得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0. 4 ?5 ? y ? k ( x ? 5) ?
5 5 ?k? . 5 5 …………9分

? ? 20(16 ? 80k 2 ) ? 0, 得 ?
依题意

?


5 5 ?k? 5 5 时,设交点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ), PQ的中点为 R( x0 , y0 ) ,

x1 ? x2 50k 2 25k 2 x1 ? x2 ? 2 , x0 ? ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4 则
? y0 ? k ( x0 ? 5) ? k (


25k 2 ? 20k ? 5) ? 2 . 2 5k ? 4 5k ? 4
…………11分

| BP |?| BQ |? BR ? l ? k ? k BR ? ?1,

第 12 页 共 14 页

k ? k BR

20 k 2 20 k 2 ? k ? 5k ? 4 ? ? ?1 ? 20 k 2 ? 20 k 2 ? 4, 25 k 2 4 ? 20 k 2 1? 2 5k ? 4
2 2

而 20k ? 20k ? 4 不可能成立,所以不存在直线l,使得|BP|=|BQ|. ……13分

? 22解: (1)由题意 a ? 0, f ( x) ? e ? a ,
x

? 由 f ( x) ? e ? a ? 0 得 x ? ln a .
x

? ? 当 x ? (??,ln a) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (ln a, ??) 时, f ( x) ? 0 .
∴ f ( x) 在 (??,ln a) 单调递减,在 (ln a, ??) 单调递增. 即 f ( x) 在 x ? ln a 处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f (ln a) ? e
ln a

? a ln a ? 1 ? a ? a ln a ? 1. ………………5分

f ( x) min ≥0 (2) f ( x)≥0 对任意的 x ? R 恒成立,即在 x ? R 上, .
由(1) ,设 g (a) ? a ? a ln a ? 1. ,所以 g (a)≥0 .

? 由 g (a) ? 1 ? ln a ?1 ? ? ln a ? 0 得 a ? 1 .
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴

g (a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g (1) ? 0 .

因此 g (a)≥0 的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 .………………9分 (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ? x ? 1≥ 0 ,即 1 ? x ≤ e .
x x

x??


k ?? k k 0 ? 1? ≤ e n n n (n ? N*, k ? 0,1, 2,3,…,n ?1) ,则 .

k ?? k n (1 ? ) ≤ (e n ) n ? e? k n ∴ .

1 2 n ?1 n n n ( )n ? ( )n ? … ? ( ) ? ( ) ≤ e? ( n?1) ? e? ( n?2) ? … ? e?2 ? e?1 ? 1 n n n n ∴
? 1 ? e? n 1 e ? ? ?1 ?1 1? e 1? e e ? 1 …………13分
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