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广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(直线和圆的方程)详解

广州仲元中学高三数学专题训练测试系列(直线和 圆的方程)

时间:120 分钟 分值:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a+b=0,则直线 y=ax+b 的图象可能是

(

)

b 解析:由 a+b=0 得 a=-b,直线在 x 轴上的截距为- =1,故选 D. a 答案:D 2.若点 P(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 上,则直线方程可表示为 ( ) A.A(x-x0)+B(y-y0)=0 B.A(x-x0)-B(y-y0)=0 C.B(x-x0)+A(y-y0)=0 D.B(x-x0)-A(y-y0)=0 解析:依题意得 Ax0+By0+C=0,即 C=-Ax0-By0,代入直线方程得 Ax+By-Ax0- By0=0,故直线方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0,选 A. 答案:A 3.已知两直线 x+ay+1=0 与 ax-y-3=0 垂直,则 a 的取值的集合是 ( ) A.{-1,1} B.{x|x≠0} C.R D.? 解析:当 a=0 时,两直线为 x=-1 或 y=-3,则两直线垂直,当 a≠0 时,两直线的 1 1 斜率分别为- 和 a,又- ×a= a a -1,则两直线垂直,故 a 的取值的集合是 R,选 C. 答案:C 4.直线(a+1)x-y+1-2a=0 与直线(a2-1)x+(a-1)y-15=0 平行,则实数 a 的值为 ( ) A.1 B.-1,1 C.-1 D.0 解析:将-1,1,0 分别代入两直线方程检验得 a=-1 符合题意. 答案:C 5.过点(1,3)作直线 l,若 l 过点(a,0)与(0,b),且 a,b∈N*,则可作出的直线 l 的条数 为 ( ) A.1 条 B .2 条 C.3 条 D.多于 3 条 1 3 解析:因为 + =1,且 a,b∈N*, a b ?a=4 ?a=2 ? ? 所以? 或? .故选 B. ? ? ?b=4 ?b=6 答案:B 6.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下 列图形中的 ( )

?x-2y+1≥0, ?x-2y+1≤0, ? ? 解析:(x-2y+1)(x+y-3)≤0?? 或? ?x+y-3≤0 ?x+y-3≥0. ? ? 答案:C → 7.已知有向线段PQ的起点 P(-1,1),终点 Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与有向线 → 段PQ的延长线相交,且过定点 M(0,-1).如图 1,则 m 的取值范围是 ( )

图1 1 3 A.( , ) 3 2 2 B.(-3,- ) 3 C.(-∞,-3) 2 D.(- ,+∞) 3 2-1 1 = , 2-(-1) 3 直线 x+my+m=0 过点 M(0,-1). 当 m=0 时,直线化为 x=0,一定与 PQ 相交,所以 m≠0, 1 当 m≠0 时,k1=- ,考虑直线 l 的两个极限位置. m 2-(-1) 3 (1)l 经过 Q,即直线 l1,则 kl1= = ; 2 2-0 1 → (2)l 与PQ平行,即直线 l2,则 kl2=kPQ= , 3 1 1 3 所以 <- < , 3 m 2 2 即-3<m<- .故选 B. 3 答案:B 8.把直线 x-2y+λ=0 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位后,所得直线正好与 圆 x2+y2+2x-4y=0 相切,则实数 λ 的值为 ( ) A.3 或 13 B.-3 或 13 C.3 或-13 D.-3 或-13 解析:直线 x-2y+λ=0 按 a=(-1,-2)平移后的直线为 x-2y+λ-3=0,与圆相切, 解析:易知 kPQ=

易得 λ=13 或 3. 答案:A c 9.两圆相交于两点(1,3)和(m,1),两圆的圆心都在直线 x-y+ =0 上,则 m+c 的值是 2 ( ) A.-1 B .2 C.3 D.0 m+1 m+1 c c 解析:由题意知两点(1,3)、(m,1)的中点( ,2)在直线 x-y+ =0 上,即 -2+ 2 2 2 2 =0.∴m+c=3. 答案:C → → → 10.已知点 M(0,1)、A(1,1)、B(0,2),且MP=cosθMA+sinθMB(θ∈[0,π]),则点 P 的轨 迹方程是 ( ) 2 2 A.x +y =1(x≥0) B.x2+y2=1(y≥0) C.x2+(y-1)2=1(y≤1) D.x2+(y-1)2=1(y≥1) → 解析:设 P(x,y),则MP=(x,y-1), → → 又MA=(1,0),MB=(0,1),故有(x,y-1)=(cosθ,sinθ), ?x=cosθ, ? ∴? x2+(y-1)2=1. ?y-1=sinθ, ? 又∵θ∈[0,π],∴y=sinθ+1≥1.∴选 D. 答案:D 11.已知三点 A(-2,1),B(-3,-2),C(-1,-3)和动直线 l:y=kx,当点 A、B、C 到直线 l 的距离的平方和最小时,下列结论中正确的是 ( ) A.点 A 在 l 上 B.点 B 在 l 上 C.点 C 在 l 上 D.点 A、B、C 均不在 l 上 解析:点 A、B、C 到直线 l 的距离的平方和为: (-2k-1)2+(-3k+2)2+(-k+3)2 d= k2+1 14k =14- 2 . k +1 要使 d 最小,显然 k>0, 14 此时 d=14- ≥14-7=7. 1 k+ k 1 当且仅当 k= ,即 k=1 时,等号成立. k 所以,当 k=1 时,d 取最小值,此时点 A、B、C 均不在直线 y=x 上.故选 D. 答案:D 12.已知向量 m=(a-2b,a),n=(a+2b,3b),且 m,n 的夹角为钝角,则在平面 aOb 上,满足上述条件及 a2+b2≤1 的点(a,b)所在的区域面积 S 满足 ( ) π A.S=π B.S= 2 π π C.S> D.S< 2 2

图2 解析:∵m,n 的夹角为钝角, m· n ∴cos〈m,n〉= <0, |m|· |n| ∴m· n<0,而 (a-2b,a)· (a+2b,3b)=a2-4b2+3ab=(a+4b)(a-b)<0. ? ? ?a+4b>0 ?a+4b<0 ∴? 或? , ?a-b<0 ?a-b>0 ? ? 画出上述可行域及 a2+b2≤1(如图 2). 1 显然直线 b=a 与 b=- a 的夹角为锐角. 4 π ∴S< .故应选 D. 2 答案:D 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 已知直线 l1: 2x+m2y-2=0, 直线 l2: mx+2y-1=0, 若 l1⊥l2, 则 m=__________. 解析:由题意知 m=0 时 l1⊥l2,又因 m≠0 时, 2 -m (- 2)· ( )=-1?m=-1. m 2 答案:0 或-1

图3
? ?x<0,y<0 14.不等式组:? 表示的平面区域内的整点坐标为__________. ?4x+3y+8>0 ?

解析:如图 3 可知其整点坐标为 (-1,-1). 答案:(-1,-1) 3 15.过点 P(-3,- )且被圆 x2+y2=25 所截得的弦长为 8 的直线方程为__________. 2 3 解析:由题意知,过 P 的直线 y+ =k(x+3)?2kx-2y+6k-3=0,圆心到直线的距离 2 |6k-3| 3 d= 2 =3?k=- ,验证知 x=-3 满足条件. 4 2 +4k2 故直线方程为 3x+4y+15=0 或 x=-3. 答案:3x+4y+15=0 或 x=-3. 1 16.(2010· 安徽巢湖一检)过点 M( ,1)的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A、B 两点, 2 当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为__________. 解析:由平面几何知识可知,当 l 与 CM 垂直时∠ACB 最小. 1 ∵kCM= =-2, 1 -1 2

1 1 1 ∴kl= ,故直线 l 方程为 y-1= (x- ),即 2x-4y+3=0. 2 2 2 答案:2x-4y+3=0 三、解答题(本大题共 6 个小题,共计 74 分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最 后结果不得分) 17.(12 分)求与点 P(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴的截距相等的直线方程. x y 解:设所求直线方程为 y=kx 或 + =1(a≠0). a a 对于 y=kx, |4k-3| 2 5= 2 2,9k +24k+16=0, k +(-1) 4 解之得 k=- . 3 |4+3-a| 对于 x+y=a,5= 2 , 1 +12 解之得 a=7+5 2或 7-5 2. 故所求直线方程为 4 y=- x 或 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0. 3 18.(12 分)已知直线 l 夹在两条直线 l1:3x+y-2=0 和 l2:x+5y+10=0 之间的线段 被点 D(2,-3)平分,求直线 l 的方程. 解:设 l 与 l1 交点为 A(x1,y1),与 l2 交点为 B(x2,y2), ∵D(2,-3)是 AB 中点, x1+x2 y1+y2 ∴ =2, =-3. 2 2 ? ?x2=4-x1, 因此? ? ?y2=-6-y1. B(x2,y2)在 l2 上,得 x2+5y2+10=0, 即 4-x1+5(-6-y1)+10=0. 13 x1= , ?3x1+y1-2=0, 7 ? 由此得? 解之得 25 ?x1+5y1+16=0. ? y1=- . 7 13 25 ∴A( ,- ),又直线 l 过 A、D 两点, 7 7 y+3 x-2 所以直线方程为 = . 25 13 - +3 -2 7 7 化为一般形式得 l 的方程为 4x-y-11=0. 19.(12 分)已知圆 C 的圆心在直线 l1:x-y-1=0 上,与直线 l2:4x+3y+14=0 相切, 且截得直线 l3:3x+4y+10=0 所得弦长为 6,求圆 C 的方程. 解:设圆心 C(a,b),半径为 r. |4a+3b+14| 则 a-b-1=0,r= , 42+32 |3a+4b+10| 2 2 2 2 = r -3 . 3 +4 (4a+3b+14)2 (3a+4b+10)2 所以 - =9. 25 25 (a-b+4)(7a+7b+24) 即 =9. 25

? ? ?

因为 a-b=1, 5(7a+7b+24) 所以 =9,a+b=3. 25 ? ? ?a-b=1, ?a=2, 由? 解之得? ?a+b=3. ?b=1. ? ? 故所求圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=25. 20.(12 分)圆 C 通过不同的三点 P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圆 C 在 P 点切线的斜率 为 1,试求圆 C 的方程. 解:设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. k+2=-D, ? ? 将 P、Q、R 的坐标代入,得?2k=F, ? ?E+F+1=0. k+2 2k+1 ∴圆的方程为 x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圆心为( , ). 2 2 又∵kCP=-1,∴k=-3. ∴圆的方程为 x2+y2+x+5y-6=0. 21.(12 分)已知圆 C 的方程为 x2+y2=4. (1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程; → → → → (2)圆 C 上一动点 M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨迹方 程,并说明轨迹是什么曲线. 解:(1)①若直线 l 垂直于 x 轴,则此直线为 x=1,l 与圆的两个交点坐标分别为(1, 3) 和(1,- 3),这两点间的距离为 2 3,符合题意. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y-2=k(x-1) 即 kx-y-k+2=0 设圆心到此直线的距离为 d ∵2 3=2 4-d2∴d=1 |-k+2| 3 ∴1= 2 解得 k= 4 k +1 故所求直线方程为 3x-4y+5=0 综上所述所求直线方程是 x=1 或 3x-4y+5=0. (2)设 Q 点坐标为(x,y) → → → ∵M 点的坐标是(x0,y0),OM=(x0,y0),ON=(0,y0),OQ → → =OM+ON ? ?x=x0 ∴(x,y)=(x0,2y0)∴? ?y=2y0 ? y x2 y2 2 2 2 ∵x0 +y2 =1, 0=4∴x +( ) =4.即 + 2 4 16 2 2 x y ∴Q 点的轨迹方程是 + =1. 4 16 Q 点轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆.

图4

22.(14 分)(2010· 内蒙古赤峰统考)如图 4,在平面直角坐标系中,N 为圆 A:(x+1)2+ y =16 上的一点,点 → → B(1,0),点 M 是 BN 中点,点 P 在线段 AN 上,且MP· BN=0. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2+y2=4 的位置关系,并说明理由. → → 解:(1)由点 M 是 BN 中点,又MP· BN=0,可知 PM 垂直平分 BN. 所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4,|AB|=2. 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3. x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3 x0+1 y0 (2)设点 P(x0,y0),PB 的中点为 Q,则 Q( , ), 2 2 3 2 2 |PB|= (x0-1)2+y0 = x2 0-2x0+1+3- x0 4 1 2 1 = x -2x0+4=2- x0, 4 0 2 x0+1 y0 即以 PB 为直径的圆的圆心为 Q( , ), 2 2 1 半径为 r1=1- x0, 4 2 2 又圆 x +y =4 的圆心为 O(0,0),半径 r2=2, x0+1 2 y0 2 又|OQ|= ( ) +( ) 2 2 1 2 1 1 1 3 = x + x + + (3- x2 ) 4 0 2 0 4 4 4 0 1 2 1 1 = x + x +1=1+ x0, 16 0 2 0 4 故|OQ|=r2-r1,即两圆内切.
2


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