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运用化归思想求数列通项公式教法探析

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 运用化归思想求数列通项公式教法探析 作者:彭灿强 来源:《数学教学通讯(教师阅读)》2009 年第 06 期 摘要:在高中数学中,求解数列的通项公式,方法灵活多样,是高考的重难点之一,本文力求通 过几个例子,将数列的相关知识进行梳理. 关键词:等比数列;等差数列;化归思想 求解数列通项公式,方法灵活多样,对分析、推理能力的要求较高,这是高中数学教学中难点 之一. 求数列通项公式的突破口在哪儿呢?笔者认为,在理解定义、运用定义上下工夫,化繁为简, 由难变易,教学效果就会显著不同了. 只有理解了等差数列、等比数列的定义后,才会对不少既非 等差数列,又非等比数列的数列,通过整理变形化归为一个等差数列或等比数列,从而求出原数列 的通项公式. 化归为整体成等比数列 此方法主要是根据数列递推关系式的特征,通过适当变形,构造出关于某个整体的等比,求出 该整体的通项后再求数列的通项公式. 例 1 已知数列{an}中,a1=1,an=?an-1+1(n≥2),求其通项公式. 解由 an=an-1+1(n≥2)变形为 an-2=(an-1-2),即=,所以{an-2}是以(a1-2)为首项,公比为的等比 数列. 所以 an-2=(a1-2)×n-1=(1-2)×n-1=-n-1,从而知 an=2-n-1 即为所求. 小结形如 an=kan-1+p(n≥2)这类数列求通项公式,运用待定系数法,令 an+x=k(an-1+x),整理为 an=kan-1+kx-x 与 an=kan-1+p,相比较得 x,从而构造出新数列{an+x}为等比数列求解. 例 2 已知在数列{an}中,a1=1,Sn 为其前 n 项和,且 an=-3Sn(Sn-1+1)(n≥2),求 an . 解因为 n≥2,所以 an=Sn-Sn-1,所以 Sn-Sn-1=-3Sn(Sn-1+1),整理得 4Sn-Sn-1=-3SnSn-1.① 若 Sn=0,则由①可得 Sn-1=0,最后必然得到 S1=0. 这与题设中 S1=a1=1 相矛盾,所以 SnSn1≠0. 所以①式可变为=+3.② 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 令 bn=,则=4bn-1,所以②式变为 bn=4bn-1+3,运用待定系数法得 bn+1=4(bn-1+1),所以新数列 {bn+1}是以 4 为公比,b1+1=+1=2 为首项的等比数列. bn+1=2×4n-1=2×22n-2=22n-1,所以 bn=22n-1-1. 所以 Sn=. 所以 an=Sn-Sn-1=-. 所以 an=. 化归为整体成等差数列 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且满足 a1=,an=-2SnSn-1(n≥2),求 an . 解因为 n≥2,所以 an=Sn-Sn-1,由题意得 Sn-Sn-1=-2SnSn-1,显然 Sn-1≠0 且 Sn≠0(否则 S1=a1= 矛盾),所以-=-2,即-=2(n≥2),所以新数列是以 2 为公差,==2 为首项的等差数列. 所以=2+(n1)×2=2n. 所以 Sn=(n≥2). 所以 an=(n=1),-(n≥2). 化归为倒数数列?摇(a≠0) 例 4 已知在数列{an}中,a1=a,an+1=,求 an . 分析由递推式公式不容易得到“等差”“等比”类型,如果两边取倒数,即==+=+1,此时若令 =bn+1,则有 bn+1=bn+. 所以新数列{bn-1}是以为公比,以 b1-1=-1=-1=为首项的等比数列. 所以 bn-1=×n-1. 所以 bn=1+×n-1. 所以 an====. 在中学教学实践中,求数列通项公式的方法很多,对于给出递推公式的数列,通项公式的求法 是将递推公式整理、化归,使之构成一个新数列,然后以这个角度去突破教学难点,学生理解更快, 更容易得手.