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1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教案


1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标: 知识与技能:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理; ②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题; 过程与方法:培养学生的归纳概括能力; 情感、态度与价值观:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点:分类加法计数原理与分步乘法计数原理。 教学难点:分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 引入课题 先看下面两幅图片: ①脱氧核糖核酸(DNA)分子由碱基按一定的顺序排列而成。已知碱基有 4 种,有成百上千个碱基组 成的 DNA 分子的种数非常巨大。你知道它是怎么算出来的吗? ②计算机种的字符由二进制表示,英文字母和汉字所需要的字节数不一样。你知道为什么吗? 要解决这些问题,就要运用有关排列、组合知识。在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计 数原理与分步乘法计数原理. 这节课,我们从具体例子出发来学习这两个原理。
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一、探究问题 问题一:某同学从银川到固原,可以乘火车,或者乘汽车.如果一天中火车有 5 班,汽车有 9 班.那么 一天中,他乘坐这些交通工具从银川到固原共有多少种不同的走法? 问题二:某同学从银川经过固原到泾源游玩。假设从银川到固原有 4 条路,从固原到泾源有 3 条路。 问从银川到泾源有多少种不同的路线? 探究 1:你能例出所有可能的方案吗? 问题一,从银川到固原有两类交通工具可以选择,乘火车,或者乘汽车。如果我把火车记为 A,B,C,D,E 班,汽车记为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 班。那么所有可能的走法是乘坐 A,B,C,D,E,1,2,3,4,5,6,7,8,9,一 共是 14 种选择。 问题二,从银川先到固原有 4 条路,从固原到泾源有 3 条路,路线可以是 A1,A2,A3,B1,B2,B3, C1,C2,C3,D1,D2,D3,一共是 12 条路线。 探究 2:你能说说以上两个问题的特征吗? 问题一中,从银川到固原的交通工具有两类选择,乘火车或者乘汽车。我们把两类方法数加在一起就 是总的方法数。问题二中,从银川经固原到泾源,不能直接到达,必须先到固原,再到泾源。所以要分两 步走,我们要把两步的方法数乘在一起。 探究 3:你能说说以上两个问题有什么共同点和不同点吗? 学生回答,这两个问题都是求完成一件事情的方法数的问题。问题一中的每一种交通工具都可以从银 川直接到达固原,而问题二中的每一条路都不能直接从银川到达泾源。所以问题一要用加法,而问题二要 用乘法。 学生自己归纳出分类加法计数原理与分布乘法计数原理: (1)分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ?m?n

种不同的方法. (2)分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有

N ? m? n
种不同的方法。 练习: 1、用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码? 2、用前 6 个大写英文字母和 1—9 九个阿拉伯数字,以 A1 , A2 ,…, B1 , B2 ,…的方式给教室里的座位 编号,总共能编出多少个不同的号码? 学生活动,例举生活中的一些分类计数问题和分步计数问题。 学生自己推广两个原理到多类和多步: 一般归纳: 分类加法计数原理:完成一件事情,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办 法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
种不同的方法. 分布乘法计数原理: 完成一件事情, 需要分成 n 个步骤, 做第 1 步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? ? ? mn
种不同的方法. 二、问题解决 例 1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业, 具体情况如下: A 大学 B 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢? 分析:由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又由于两所大学 没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:这名同学可以选择 A , B 两所大学中的 一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法,在 B 大学中有 4 种专业选择方法.又由于没有一个强项专业 是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有 5+4=9(种). 变式:若某位同学决定选择 A 大学的一个专业学习,并且他了解到 A 大学容许在校大学生在 B 大学辅 修第二专业, 他决定到 B 大学辅修一个第二专业。 那么, 这名同学毕业时可能学习的专业组合共有多少种?

例 2. 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层放 2 本不同的 体育书. ①从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? ②从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法? 【分析】 ①要完成的事是“取一本书” ,由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题, 应用分类计数原理. ②要完成的事是“从书架的第 1、2、3 层中各取一本书” ,由于取一层中的一本书都只完成了这件事 的一部分,只有第 1、2、3 层都取后,才能完成这件事,因此是分步问题,应用分步计数原理. ③要完成的事是“取 2 本不同学科的书” ,先要考虑的是取哪两个学科的书,如取计算机和文艺书各 1 本,再要考虑取 1 本计算机书或取 1 本文艺书都只完成了这 件事的一部分,应用分步计数原理,上述每一种选法都完成后,这件事才能完成,因此这些选法的种数之 间还应运用分类计数原理. 解: (1) 从书架上任取 1 本书,有 3 类方法:第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法; 第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方 法.根据分类加法计数原理,不同取法的种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 =4+3+2=9; ( 2 )从书架的第 1 , 2 , 3 层各取 1 本书,可以分成 3 个步骤完成:第 1 步从第 1 层取 1 本计算 机书,有 4 种方法;第 2 步从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;第 3 步从第 3 层取 1 本体育书, 有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N ? m1 ? m2 ? m3 =4×3×2=24 . (3) N ? 4 ? 3 ? 4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 26 。 例 3.随着人们生活水平的提高,近年银川市汽车保有量以每年 20%的速度增长,截止 2013 年年底, 我市已拥有汽车累计超过 58 万辆。为了满足车主对汽车牌照号码的需求,交通管理部门出台了一种汽车 牌照序号组成办法,每一个汽车牌照都必须有 2 个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字,并且 2 个字母必须合成一组出现,3 个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照? 分析:通过学生对宁夏各市车牌号码组成的研究,探讨车牌号的组成规则。学生分析出这个问题需要 先分位前字母后数字和前数字后字母两类,然后每一类中有需要分六步来编号的方法,计算出牌照数为: 26×25×10×9×8+10×9×8×26×25=936000 种方法。进一步对于这个结果对学生进行人文教育,鼓励学 生学以致用,勇于解决社会中出现的问题。 例 4、核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 RNA 分子是一个有着数百个甚至数 千个位置的长链,长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。总共有 4 种不同的碱基, 分别用 A,C,G,U 表示.在一个 RNA 分子中,各种碱基能够以任意次序出现,所以在任意一个位置上的碱 基与其他位置上的碱基无关.假设有一类 RNA 分子由 100 个碱基组成,那么能有多少种不同的 RNA 分 子?

分析: 学生根据自己对 RNA 和 DNA 的碱基的了解, 谈一谈对于 RNA 的认识。 然后我们再具体到解决 RNA 分子由 100 各碱基组成,有多少种不同的 RNA 分子的问题上?学生通过把 100 个位置分为 100 个步骤,每 一步有 4 种碱基,共有 4
100

种不同的 RNA 分子。 4

100

? 1.6 ? 1060 是一个非常庞大的数字。请学生谈谈 RNA

分子的多样性,在现实世界中的表现有哪些。 三、自主检测 1、填空: ①一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人会用第 1 种方法完成,另有 4 人会用第 2 种方法完成,从中 选出 1 人来完成这件工作,不同选法的种数是 . ②从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条,从 A 村经 B 村去 C 村,不同的路线有 条。 2、现有高一年级的学生 3 名,高二年级的学生 5 名,高三年级的学生 4 名。 ①从中任选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法? ②从 3 个年级的学生中各选 1 人参加接待外宾的活动,有多少种不同的选法? 3、从甲地到乙地有 2 种走法,从乙地到丙地有 4 种走法,从甲地不经过乙地到丙地有 3 种走法,则从 甲地到丙地的不同的走法共有 种。 4、甲、乙、丙 3 个班各有三好学生 3,5,2 名,现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好 学生代表大会,共有 种不同的推选方法。 四、课堂小结 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理,是推导排列数、组合数公 式的理论依据,也是求解排列、组合问题的基本思想. 2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理,并加区别 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相对独立,用其中任何一种方法都可以完成 这件事;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成 后才算做完这件事. 3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点: 分类加法计数原理:首先确定分类标准,其次满足:完成这件事的任何一种方法必属于某一类,并且分 别属于不同的两类的方法都是不同的方法,即"不重不漏".

五、作业
习题 1.1 A 组 1、2、3

人教版数学选修 2-3

分类加法计数原理与分布乘法计数原理 教案

主备人:鲍毅 高二数学备课组


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