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湖北省2016届高三上学期第一次八校联考数学(理)试题 Word版含答案


湖北省

鄂南高中 华师一附中 黄石二中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中

荆州中学 黄冈中学

八校

2016 届高三第一次联考 数学试题(理科)
命题学校:孝感高中 命题人: 审题人: 试卷满分 150 分 考试用时 考试时间:2015 年 12 月 7 日下午 15:00—17:00 120 分钟
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必先将自己 的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x log2 ( x ? 1) ? 2} ,则 ?..R A? ? B ? A. ?1,3 ? B. ? ?1,3? C. ? 3,5? D.

? ?1,5 ?

2.命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题为 A.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0 C.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0
ix

B.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 D.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0

3.欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指 数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占 有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e 表示的复数在复平 面中位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.函数 f ( x) ? ? A. ?
2i

?2 x ? 2, x ? 1, ?log 2 ( x ? 1), x ? 1,
B. ?1

则 f ?f ?

? ? 5 ?? ?? ? ? ? 2 ??
C. ? 5 D.

1 2

1 2

5.等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且 A. 1 6.若 a ? ln 2, b ? 5
?

S2016 S2015 ? ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差为 2016 2015
C. 2015 D. 2016

B. 2
1 2

,c ?

1 sin x d ,则 x a, b, c 的大小关系 4 ?0
?

A. a ? b ? c 7.已知 sin ? A.

B. b ? a ? c

C. c ? b ? a

D. b ? c ? a

1 ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ,则 cos ? 2? ? ? ? 3 3? ?6 ? ?

2 3

5 7 7 5 B. ? C. D. ? 18 9 9 18 8.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的 体积等于
A. 12 3 B. 16 3 C. 20 3 D. 32 3
第 8 题图

9.已知函数 f ? x ? ? sin 2 ?? x ? ? , ?? ? 0? 的周期为 ? ,若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位

1 2

? a ? 0 ? ,所得图象关于原点对称,则实数 a 的最小值为
3? ? ? C. D. 4 2 4 10.如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,点 P 是△ CDE 内(包括边界)的一个动点,
A. ? B. 设 AP ? ? AF ? ? AB ? ? , ? ? R ? ,则 ? ? ? 的取值范围是
第 10 题图

??? ?

??? ?

??? ?

?3 ? A. ? , 4 ? ?2 ?

B. ?3, 4?

?3 5? C. ? , ? ?2 2?

?3 ? D. ? , 2 ? ?4 ?

11.若一个四棱锥底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为 9,当其外接球表面积最小时,它的高为 A. 3 12.关于函数 f ? x ? ? B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3

A. x ? 2 是 f ? x ? 的极小值点

2 ? ln x ,下列说法错误的是 x

B.函数 y ? f ? x ? ? x 有且只有 1 个零点 C.存在正实数 k ,使得 f ? x ? ? kx 恒成立 D.对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2 ? x1 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知平面直角坐标系中, b ? ? 3, 4 ? , a ? b ? ?3 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影是 ________. 14.若函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1,0 ? x ? 2 , g ? x ? ? f ? x ? ? ax, x ???2,2? 为偶函数,则实数 ??1, ?2 ? x ? 0

a ? _________.
? ?x ? 2 y ? 0 15.设实数 x,y 满足约束条件 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为________. , ? ?y ? x ? 2

16.如图所示,已知 ?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 6, BC ? 8 , D 为边 AC 上的一点,

K 为 BD 上的一点,且 ?ABC ? ?KAD ? ?AKD ,则 DC ? ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a3 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 bn ? log 2

第 16 题图

3 9 ,S3 ? . 2 2

6 a2 n ?1

, 且

?bn ?

为 递 增 数 列 , 若 cn ?

1 , 求 证 : bn ? bn ?1

c1 ? c2 ? c3 ? ?

n

1 ?c ? . 4

18 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 如 图 , ?ABC 中 , 三 个 内 角 B 、 A 、 C 成 等 差 数 列 , 且

AC ? 10, BC ? 15 .
(Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ) 已 知 平 面 直 角 坐 标 系

xOy

, 点

D ?1 0? , , 0 若 函 数

f( x ? )

M s ?i n? x( ?

M )? (

? ? 0 ? , 2

? 0? ,

)

的图象经过 A 、C 、D 三点,且 A 、 D 为 f ( x) 的图象与 x 轴相邻的两个交点,求 f ( x) 的解 析式.

第 18 题图

19. (本小题满分 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 的中点.将 ?ADM 沿 AM 折起,使得平面 ADM ⊥平面 ABCM . (Ⅰ)求证: AD ? BM ; (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时, 二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

2 , M 为 DC

5 . 5

第 19 题图

20. (本小题满分 12 分)小明同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发 球,如图 1 所示,网球场前半区、后半区总长为 23.77 米,球网的中间部分高度为 0.914 米,

发射器固定安装在后半区离球网底部 8 米处中轴线上,发射方向与球网底部所在直线垂直. 为计算方便,球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算,发射器和网球大小均 忽略不计.如图 2 所示,以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 xOy ,x 轴在地 平面上的球场中轴线上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 米.已知若不考虑球网的影响, 网球发射后的轨迹在方程 y ?

1 1 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上, 其中 k 与发射方向 2 80

有关.发射器的射程是指网球落地点的横坐标. (Ⅰ)求发射器的最大射程; (Ⅱ)请计算 k 在什么范围内,发射器能将球发过网(即网球飞行到球网正上空时,网球 离地距离大于 1 米)?若发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴 线的正上空选择一个离地面 2.55 米处的击球点正好击中网球,试问击球点的横坐标 a 最大 为多少?并请说明理由.

图1
第 20 题图

图2
x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e , x ? R . (Ⅰ)若直线 y ? kx 与 f ( x ) 的反函数的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 a, b ? R ,且 a ? b, A ? f ? 较 A, B, C 三者的大小,并说明理由.

f ? a ? ? f ?b? f ? a ? ? f ?b ? ? a?b ? ,C ? , 试比 ? ,B ? 2 a ?b ? 2 ?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点,作 AD ? BC 于 点 D , BF 与 AD 交于点 E , BF 与 AC 交于点 G . (Ⅰ)证明: AE ? BE ; (Ⅱ)若 AG ? 9, GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4 极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 , 将曲线 C1 : ?

第 22 题图

? x ? cos? ( ? 为参 ? y ? sin?

数)经过伸缩变换 ?

? x? ? 3 x 后得到曲线 C 2 . ? y? ? 2 y
(Ⅱ)若点 M 在曲线 C 2 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距

(Ⅰ)求曲线 C 2 的参数方程; 离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式证明选讲 已知函数 f ( x) ? x ?10 ? x ? 20 , 且满足 f ( x) ? 10a ? 10 ( a?R ) 的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A ;
a b b a (Ⅱ)若 b ? A, a ? b, 求证: a b ? a b .

湖北省 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 荆 州 中 八校 学 2016 届高三第一次联考 数学试题(理科)参考答案
一、选择题 二、填空题 三、解答题 17. (1) q ? 1 时, an ? ADBAB DCCDB AC 3 1 10 ? ? 5 2

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中

7 3
………………2 分 ………………4 分 ………………6 分

3 ; 2

1 q ? 1 时, an ? 6 ? (? ) n ?1 2 1 (2)由题意知: an ? 6 ? (? ) n ?1 2 1 ∴ a2 n?1 ? 6 ? ( )n 4
∴ bn ? 2n ∴ cn ?
1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2n ? (2 n ? 2) 4 n ? (n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 (1 ? )? 4 n ?1 4

………………8 分 ………………10 分 ………………12 分

∴ c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ?

18.

(1)在△ABC 中, B ? 60? 由余弦定理可知:
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2 bc co s ?6 0

………………1 分

………………2 分

∴ c 2 ? 10c ? 125 ? 0

?c ? A B ? 5 ? 5 6
又∵ AO ? 10 ? cos60? ? 5

………………4 分

? BO ? 5 6
1 25 ( 5? 5 6 ? ) 5? 3 (? 3 2 . ……………… 3) 6分 2 2 (2)T=2×(10+5)=30, ? ∴?? ………………8 分 15 ? ∵ f (?5) ? Msin( ? (?5) ? ?) ? 0 15 ? ? ?s i n ? ( ? ? ) ?, 0?? ? ? ? k ?, k ? Z 3 3 ? ? ………………10 分 ? ? ? ,?? ? 。 2 3 ? ?f(0) ? Msi? n 5 3 , 3 ?M ? 1 0 ? ? ?f(x) ? 10 sin x( ? ) ………………12 分 15 3 ? S? ABC ?

19.

(1)证明:∵长方形 ABCD 中,AB= 2 2 ,AD= 2 ,M 为 DC 的中点, ∴AM=BM=2,∴BM⊥AM. ∵平面 ADM⊥平面 ABCM,平面 ADM∩平面 ABCM=AM,BM? 平面 ABCM ∴BM⊥平面 ADM ∵AD? 平面 ADM ∴AD⊥BM; ………………6


???? ??? ? (2)建立如图所示的直角坐标系,设 DE ? ? DB ,

? 则平面 AMD 的一个法向量 n ? (0,1,0) ,

???? ???? ? ??? ? ME ? MD ? ? DB ? (1 ? ?, 2?,1 ? ?),
???? ? ?? AM ? (?2,0,0) ,设平面 AME 的一个法向量为 m ? ( x, y, z),
?2 x ? 0 ? ?2? y ? (1 ? ? ) z ? 0
取 y=1,得 x ? 0, y ? 1, z ?

2? , 1? ?

?? 2? 所以 m ? (0,1, ) ,………………9 分 1? ? ?? ?? ? 1 m?n 5 因为 cos ? m, n ?? ?? ? ? ,求得 ? ? , 2 | m|?| n | 5
所以 E 为 BD 的中点. ………………12 分

20.(Ⅰ)由

1 1 40k kx ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 0 得: x ? 或 x ? 0 ,………………2 分 2 80 1? k 2 40 40 由x? ? ? 20 ,当且仅当 k ? 1 时取等号. 1 2 k? k
因此,最大射程为 20 米; (Ⅱ)网球发过球网,满足 x ? 8 时 y ? 1 . ………………5 分

所以 4k ?

4 (1 ? k 2 ) ? 1 ,即 4k 2 ? 20k ? 9 ? 0 , 5 1 9 因此 ? k ? 2 2

………………8 分

依题意:关于 k 的方程

1 1 ?1 9? ka ? (1 ? k 2 )a 2 ? 2.55 在 ? , ? 上有实数解 2 80 ?2 2?
………………9 分

即 a k ? 40ak ? a ? 204 ? 0
2 2 2

2 a2 k 2? 4 0 a k ? a ? 2 0 4 (a ? 0)

? ?1 6 0 a 02 ? a 42? a 2 ? 2?0 4?
得 a ? 14 , 此时 k ?

0
………………11 分

10 ,球过网了, 7
………………12 分 …………………2 分

所以击球点的横坐标 a 最大为 14 22.解:(1) f ? x ? 的反函数为 y ? ln x, 设切点为 ? x0 ,ln x0 ? , 故 x0 ? e, k ? 则切线斜率为 k ?

1 ln x0 ? , x0 x0
…………………4 分

1 . e

(2)不妨设 a ? b,? A ? B ? e

a ?b 2

b ? a ? 2 2 ?e ?e ? a b e ?e ? ? 0,? A ? B; ? ??? 2 2
a ?b 2 a ?b b ?a ? ? 2 2 a ? b ? e ? e ? ? ? ?, a ?b

2

? A?C ? e

a ?b 2

?

a b e a ? eb ? a ? b ? e ? e ? e ? ? a ?b a ?b

a ?b 2

e

令 m ? x ? ? 2x ? ex ? e? x ( x ? 0), 则 m? ? x ? ? 2 ? ex ? e? x ? 0, 所以 m ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单减, 故 m ? x ? ? m ? 0? ? 0, 取 x ?
a ?b b ?a a ?b 2 则 , a ? b ? e ? e 2 ? 0,? A ? C; …………………8 分 2

e a ? eb e a ? eb a ? b e a ? eb e a ?b ? 1 2 x 2 ? ? ? a b ? a ?b ? 1 ? a ?b , 令 n ? x ? ? ?1 ? x , 则 2 a ?b 2 e ?e e ?1 e ?1 2 e ?1

? e ? 1? ? 0,? n x 在 0, ?? 上单增,故 n x ? n 0 ? 0, 取 1 2e x n? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? e x ? 1? 2 ? e x ? 1?
x 2

a ?b 2 ? 1 ? a ?b ? 0,? B ? C. 2 e ?1 综合上述知, A ? C ? B.
x ? a ? b, 则
? 的中点, 22.证明: (1)连接 AB ,因为点 A 为 BF

……………………12 分

? ?? AF ,??ABF ? ?ACB 故 BA
又因为 AD ? BC , BC 是 ? O 的直径,

……………2 分 ……………4 分

??BAD ? ?ACB

?? A B F ? ?B A D
……………5 分

? AE ? BE

2 (2)由 ?ABG ? ?ACB 知 AB ? AG ? AC ? 9 ?16

AB ? 12
直角 ?ABC 中由勾股定理知 BC ? 20 圆的半径为 10

……………8 分 ……………9 分 ……………10 分 ……………4 分 ……………5 分

x2 y2 ? ?1 23. (1)曲线 C1 的普通方程是: 9 4
(2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0

设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得:

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

1 3 4 5cos(? ? ? ) ? 10 其中 cos ? ? ,sin ? ? ………9 分 5 5 5

9 8 ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 M ( , ) 5 5

………10 分

24. (1)要 x ?10 ? x ? 20 ? 10a ? 10 的解集不是空集, 则 ( x ?10 ? x ? 20 )min ? 10a ?10

………2 分 ………5 分

?10 ? 10a ?10,?a ? 0, A ? ? 0, ???
(2) 不妨设 a ? b ,则
a ?b

a a bb ? a ? ?? ? abb a ? b ?
? a ? b ? 0,

………7 分

a ?a? ? ? 1, a ? b ? 0, ? ? b ?b?
? a a bb ? a b b a

a ?b

?1
………10 分


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