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2016高考数学大一轮复习 10.2排列与组合课件 理 苏教版_图文

数学 苏(理)

第十章

计数原理

§10.2 排列与组合

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

1.排列与组合的概念 名称 排列 组合 定义 按照 一定的顺序 排成一列 合成一组

从n个不同元素中取出
m(m≤n)个元素

2.排列数与组合数 (1) 排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素 的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
m A 素的排列数,用 n 表示.

(2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
的 所有不同组合 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个
m C 元素的组合数,用 n 表示.

3.排列数、组合数的公式及性质
n! = ?n-m?! m n?n-1??n-2???n-m+1? A n 公式 (2)Cm = n = m= Am m! n! m!?n-m?!

n(n-1)(n-2)?(n-m+1) (1)Am n=

性质

(1)0!= 1 ;An n= n! .
n -m m (2)Cm ;Cn n =Cn +1 =

m-1 Cm + C n n

.

? 思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( (4)(n+1)!-n!=n· n!.(
m-1 (5)A m n=nA n-1 .(

× )

× )

)

(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(



)

√ √

)
)

k -1 (6)kC k n=nC n-1 .(

题号
1

答案
48 24 12 14

解析

2
3

4

3 ①有1名女生:C 1 C 2 4=8.
2 ②有2名女生:C 2 C =6. 2 4

∴不同的选派方案有8+6=14(种).

思维点拨

解析

题型一 排列问题

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多

少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;

思维点拨

解析

题型一 排列问题

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全
先考虑甲的排法或先考虑 中间位臵排法.

体排成一行,问下列情形各有多

少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;

思维点拨

解析

题型一 排列问题

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全 先排甲有6种,其余有A8 种, 8
方法二 (位臵分析法)
中间和两端有A 3 8 种排法,包

解 方法一 (元素分析法)

体排成一行,问下列情形各有多 故共有6· A8 8=241 920(种)排法.

少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;

括甲在内的其余6人有A 6 6 种排
6=336×720 法,故共有A 3 · A 8 6

=241 920(种)排法.

思维点拨

解析

题型一 排列问题

方法三 (等机会法)

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全 9个人的全排列数有A9 9 种,甲
均等的,依题意,甲不在中

体排成一行,问下列情形各有多 排在每一个位臵的机会都是

少种不同的排法?
(1)甲不在中间也不在两端;

6 间及两端的排法总数是A 9 × 9 9 =241 920(种).
方法四 (间接法) 8 =241 920(种). A9 A8 = 6A 9 -3· 8 8

思维点拨

解析

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法?

(2)甲、乙两人必须排在两端;

思维点拨

解析

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法?

先排特殊元素.

(2)甲、乙两人必须排在两端;

思维点拨

解析

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多 解 先排甲、乙,再排其余7人, 少种不同的排法? 2 7

(2)甲、乙两人必须排在两端;

共有A 2· A 7=10 080(种)排法.

思维点拨

解析

思维升华

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法?

(3)男女相间.

思维点拨

解析

思维升华

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法?

插空法.

(3)男女相间.

思维点拨

解析

思维升华

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法?

(插空法) 先排 4 名男生有 A4 4种方法, 再将 5 名女生插空, 有 A5 5种
5 方法,故共有 A4 · A 4 5=

(3)男女相间.

2 880(种)排法.

思维点拨

解析

思维升华

例1

有 4 名男生、 5 名女生,全

本题集排列多种类型于一题, 充分体现了元素分析法 ( 优 先考虑特殊元素 ) 、位臵分 析法 ( 优先考虑特殊位臵 ) 、 直接法、间接法 ( 排除法 ) 、 等机会法、插空法等常见的 解题思路.

体排成一行,问下列情形各有多 少种不同的排法?

(3)男女相间.

跟踪训练 1

由 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成的无重复数字的

自然数,
求:(1)有多少个含有2,3,但它们不相邻的五位数? 解 不考虑0在首位,0,1,4,5先排三个位臵,
2 3 2 则有 A3 个, 2,3 去排四个空档,有 A 个,即有 A 4 4 4A 4个;
2 而 0 在首位时,有 A2 A 3 3个, 2 2 2 即有 A3 A - A 但它们不相邻的五位数; 4 4 3A3=252 个含有 2,3,

跟踪训练 1

由 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成的无重复数字的

自然数,
求:(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数?
解 在六个位臵先排 0,4,5,不考虑 0 在首位,则有 A3 6个,

2 去掉 0 在首位,即有 A3 - A 6 5个,0,4,5 三个元素排在六个位

臵上留下了三个空位,1,2,3 必须由大到小进入相应位臵, 并不能自由排列,
2 所以有 A3 - A 6 5=100 个六位数.

思维点拨

解析

题型二 组合问题

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假

货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,

不同的取法有多少种?

思维点拨

解析

题型二 组合问题

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假

可以从特殊 元 素 出发 , 考虑直接选 取 或 使用 间 接法.

货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,

不同的取法有多少种?

思维点拨

解析

题型二 组合问题

例2

某市工商局对 35 种商品进

从余下的34种商品中, 选取2种有C 2 34=561(种), ∴ 某一种假货必须在内的不

行抽样检查,已知其中有15种假

货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内,

同取法有561种.

不同的取法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (2)其中某一种假货不能在内, 不同的取法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进 可以从特殊 元 素 出发 , 考虑直接选 取 或 使用 间 接法.

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (2)其中某一种假货不能在内, 不同的取法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (2)其中某一种假货不能在内, 不同的取法有多少种?

从 34 种可选商品中,选取
3 2 3 种, 有 C3 种或者 C - C 34 35 34

=C3 34=5 984(种).
∴ 某一种假货不能在内的不

同取法有5 984种.

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (3)恰有2种假货在内,不同的取 法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进 可以从特殊 元 素 出发 , 考虑直接选 取 或 使用 间 接法.

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (3)恰有2种假货在内,不同的取 法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (3)恰有2种假货在内,不同的取 法有多少种?

从 20 种真货中选取 1 件, 从 15 种假货中选取 2 件有
2 C1 C 20 15=2 100(种).

∴恰有2种假货在内的不同的

取法有2 100种.

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (4)至少有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进 可以从特殊 元 素 出发 , 考虑直接选 取 或 使用 间 接法.

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (4)至少有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

思维点拨

解析

例2

某市工商局对 35 种商品进

2 选取 2 件假货有 C1 C 20 15种,

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (4)至少有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

选取 3 件假货有 C3 15种,共
2 3 有选取方式 C1 C + C 20 15 15=

2 100+455=2 555(种).
∴至少有2种假货在内的不同
的取法有2 555种.

思维点拨

解析

思维升华

例2

某市工商局对 35 种商品进

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

思维点拨

解析

思维升华

例2

某市工商局对 35 种商品进 可以从特殊 元 素 出发 , 考虑直接选 取 或 使用 间 接法.

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

思维点拨

解析

思维升华

例2

某市工商局对 35 种商品进

选取 3 件的总数有 C3 35,因 此共有选取方式
3 C3 - C 35 15=6 545-455=

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

6 090(种).

∴至多有2种假货在内的不

同的取法有6 090种.

思维点拨

解析

思维升华

例2

某市工商局对 35 种商品进

组合问题常有以下两类题型 变化: (1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型:

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

“含”,则先将这些元素取
出,再由另外元素补足;

“不含”,则先将这些元素
剔除,再从剩下的元素中去

思维点拨

解析

思维升华

例2

某市工商局对 35 种商品进

(2)“至少”或“至多”含有几 个元素的组合题型:解这类题 必须十分重视“至少”与“至 多”这两个关键词的含义,谨 防重复与漏解.用直接法和间

行抽样检查,已知其中有15种假 货.现从35种商品中选取3种. (5)至多有2种假货在内,不同的 取法有多少种?

接法都可以求解,通常用直接 用间接法处理.

法分类复杂时,考虑逆向思维,

跟踪训练2 从10位学生中选出5人参加数学竞赛.
(1)甲必须入选的有多少种不同的选法?

解 学生甲入选,再从剩下的9人选4人,
故甲必须入选的有C 4 9=126(种)不同选法.

(2)甲、乙、丙不能同时都入选的有多少种不同的选法? 解析 没有限制条件的选择方法有C 5 =252种, 10 甲、乙、丙同时都入选有C 2 7=21种, 故甲、乙、丙不能同时都入选的有 252 - 21 = 231( 种 ) 不同 的选法.

思维点拨

解析

题型三 排列与组合的综合应用问题

例3

4 个不同的球, 4 个不同的

盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球,共有几种
放法?

思维点拨

解析

题型三 排列与组合的综合应用问题

例3

4 个不同的球, 4 个不同的

把不放球的盒子先拿走 , 再放球到余 下 的 盒子 中 并且不空.

盒子,把球全部放入盒内.

(1)恰有1个盒不放球,共有几种
放法?

思维点拨

解析

题型三 排列与组合的综合应用问题 为保证“恰有1个盒不放球”, 例 3 4 个不同的球, 4 个不同的 先从4个盒子中任意取出去一 个,问题转化为“4个球,3个 盒子,每个盒子都要放入球, 盒子,把球全部放入盒内. 共有几种放法?”,即把4个 (1)恰有1个盒不放球,共有几种 球分成2,1,1的三组,然后再从 3个盒子中选1个放2个球,其 余2个球放在另外2个盒子内, 放法? 由分步乘法计数原理,共有 2 2 1 C1 C C × A 2=144(种)放法. 4 4 3

思维点拨

解析

例3

4 个不同的球, 4 个不同的

盒子,把球全部放入盒内.

(2)恰有1个盒内有2个球,共有
几种放法?

思维点拨

解析

例3

4 个不同的球, 4 个不同的 把不放球的盒子先拿走 , 再放球到余 下 的 盒子 中 并且不空.

盒子,把球全部放入盒内.

(2)恰有1个盒内有2个球,共有
几种放法?

思维点拨

解析

例3

4 个不同的球, 4 个不同的 “ 恰有 1 个盒内有 2 个球 ” ,
即另外 3 个盒子放 2 个球,每
个盒子至多放1个球,也即另

盒子,把球全部放入盒内.

(2)恰有1个盒内有2个球,共有
几种放法?

外3个盒子中恰有一个空盒,
因此, “ 恰有 1 个盒内有 2 个 球”与“恰有1个盒不放球” 是同一件事,所以共有144种 放法.

思维点拨

解析

思维升华

例3

4 个不同的球, 4 个不同的

盒子,把球全部放入盒内.

(3)恰有2个盒不放球,共有几种
放法?

思维点拨

解析

思维升华

例3

4 个不同的球, 4 个不同的 把不放球的盒子先拿走 , 再放球到余 下 的 盒子 中 并且不空.

盒子,把球全部放入盒内.

(3)恰有2个盒不放球,共有几种
放法?

思维点拨

解析

思维升华

例3

4 个不同的球, 4 个不同的 确定 2 个空盒有 C2 4种方法.

盒子,把球全部放入盒内.

(3)恰有2个盒不放球,共有几种
放法?

4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)、 (2,2)两类,第一类有序不均匀分 1 2 组有 C3 第二类有序 4C1A2种方法;
2 C2 C 4 2 均匀分组有 2 · A2 2 种方法 . 故共 A2 2 2 C 4C2 3 1 2 有 C2 (C C A + A2 2 · 4 4 1 2 2)=84(种) A2

放法.

思维点拨

解析

思维升华

例3

4 个不同的球, 4 个不同的

排列、组合综合题目,一般 是将符合要求的元素取出 ( 组合 ) 或进行分组,再对取 出的元素或分好的组进行排 列.其中分组时,要注意 “平均分组”与“不平均分 组”的差异及分类的标准.

盒子,把球全部放入盒内.

(3)恰有2个盒不放球,共有几种
放法?

跟踪训练3

(1)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不

同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放
入同一信封,则不同的放法共有________ 种. 18
先放 1、2 的卡片有 C1 3种,再将 3、4、5、6 的卡片平 C2 4 1 2 均分成两组再放臵,有A2· A2 种,故共有 C · C 2 3 4=18 种. 2 解析

跟踪训练 3

(2)(2014· 重庆改编 ) 某次联欢会要安排 3 个

歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺
序,则同类节目不相邻的排法种数是________.
解析 先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.

安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相
声 ” , “小品 1 ,相声,小品 2” 和 “ 相声,小品 1,小品 2”.

对于第一种情况,形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”,

跟踪训练 3

(2)(2014· 重庆改编 ) 某次联欢会要安排 3 个

歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺
序,则同类节目不相邻的排法种数是________. 120
1 2 有A 2 C 2 3 A 3 =36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安

排方法,对于第二种情况,三个节目形成 4 个空,其形式为
3 “□小品1□相声□小品2□”,有A 2 A 2 4 =48(种)安排方法,

故共有36+36+48=120(种)安排方法.

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有

________种.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有

________种.
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

易犯错误如下:先从一等品中取 1 个,有 C1 16种取法;再从余下的 19 个
1 2 零件中任取 2 个, 有 C2 种不同取法, 共有 C × C 19 16 19=2 736 种不同取法.

上述做法使两次取的一等品有了先后顺序,导致取法重复.

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有

________种.
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

方法一

将“至少有 1 个是一等品的不同取法 ”分三类:

“恰有 1 个一等品”,“恰有 2 个一等品”,“恰有 3 个一
2 2 1 3 等品”,由分类计数原理有 C1 C + C C + C 16 4 16 4 16=1 136(种).

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有 1 136 种. ________
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

方法二

考虑其对立事件“3 个都是二等品”, 用间接法:

3 C3 - C 20 4=1 136(种).

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有 1 136 种. ________
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(1) 排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大, 对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定 的解题原则,如特殊元素、位臵优先原则、先取后排原则、

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有 1 136 种. ________
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

先分组后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能

有明确的解题方向 . 同时解答组合问题时必须心思细腻,
考虑周全,这样才能做到不重不漏,正确解题.

易错警示系列15 排列、组合问题计算重、漏致误
典例:有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从20个 零件中任意取3个,那么至少有1个一等品的不同取法有 1 136 种. ________
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

(2)“ 至少、至多 ” 型问题不能利用分步计数原理求解,
多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.

1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个

方 法 与 技 巧

途径考虑: (1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考 虑其他元素; (2)以位臵为主考虑,即先满足特殊位臵的要求,再考 虑其他位臵; (3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减 去不合要求的排列数或组合数.

2.排列、组合问题的求解方法与技巧:

方 法 与 技 巧

(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;

(3)排列、组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑
处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题排除法

处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问
题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价

条件.

求解排列与组合问题的三个注意点:

失 误 与 防 范

(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用 元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理做最后 处理. (2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类) 和间接法(排除法)来解决,分类标准应统一,避免出 现重复或遗漏.

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1.(2014· 四川改编)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲 216 或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有________种 .
解析

第一类:甲在最左端,有A 5 5 = 5×4×3×2×1 =

120(种)方法;
4 第二类:乙在最左端,有4A 4=4×4×3×2×1=96(种)方法.

所以共有120+96=216(种)方法.

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2.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参
加社会实践活动,每个小组由 1名教师和 2 名学生组成,不同的

安排方案共有________ 12 种.
解析 分两步:第一步,选派一名教师到甲地,另一名到乙地,

共有C1 2=2(种)选派方法;
2 第二步,选派两名学生到甲地,另外两名到乙地,共有C =6( 4 种)

选派方法.
由分步计数原理得不同的选派方案共有2×6=12(种).

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3.10名同学合影,站成了前排3人,后排7人.现摄影师要从

后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同
调整方法的种数为________. 420
解析

从后排抽2人的方法种数是C 2 7 ;前排的排列方法种数

2 2 是A 2 . 由分步计数原理知不同调整方法种数是 C 7A 5=420. 5

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4.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节
目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必

须排在最后一位 . 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
________种.
解析

分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一

位,中间4个节目无限制条件,有A 4 4 种排法;

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的 3 个节 目中选 1 个节目排在第一位有 C1 3种排法,其他 3 个节目
1 3 有 A3 种排法, 故有 C 知共有 3 3A3种排法.依分类计数原理, 1 3 A4 + C 4 3A3=42(种)编排方案.

答案 42

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

21 种. 5.如图所示,要使电路接通,开关不同的开闭方式有______

1 2 3 解析 当第一组开关有一个接通时,电路接通有 C1 2(C3+C3+C3)

=14(种)方式; 1 2 3 当第一组开关有两个接通时,电路接通有 C2 (C + C + C 2 3 3 3)=7(种)

方式. 所以共有14+7=21(种)方式.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须站在

A 的 右 边 (A 、 B 可 以 不 相 邻 ) , 那 么 不 同 的 排 法 共 有
________ 种. 60
解析

可先排C、D、E三人,共A 3 5 种排法,剩余A、B两人

只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的排法共有A 3 5

=60(种).

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7.(2013· 北京)将序号分别为 1,2,3,4,5的5张参观券全部分给 4

人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那
么不同的分法种数是________. 96
解析

将5张参观券分成4堆,有2个连号有4种分法,每种分

4 法再分给4人,各有A 4 种分法, ∴ 不同的分法种数共有 4A 4 4

=96.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数,其中恰有

8 一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________.
解析

先把两奇数捆绑在一起有A 2 2种方法,再用插空法共有

1 2 A2 · C · A =8个. 2 2 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

9. 某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架 上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,而丙、丁两 24 种不能排在一起,不同的排法共有________ 种.
解析

甲、乙排在一起,用捆绑法,丙、丁不排在一起,用

2 插空法,不同的排法共有2A 2 · A 3=24种. 2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

10. 有 9 名学生,其中 2 名会下象棋但不会下围棋, 3 名会下

围棋但不会下象棋,4名既会下围棋又会下象棋;现在要从
这9名学生中选出2名学生,一名参加象棋比赛,另一名参 加围棋比赛,共有多少种不同的选派方法? 解 设 2 名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合 A,3 名会 下围棋但不会下象棋的同学组成集合B,4名既会下围棋又会

下象棋的同学组成集合C,则选派2名参赛同学的方法可以
分为以下4类:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

第一类:A 中选 1 人参加象棋比赛,B 中选 1 人参加围棋比赛, 方法数为 C1 C1 2· 3=6 种;
第二类:C 中选 1 人参加象棋比赛,B 中选 1 人参加围棋比赛, 方法数为 C1 C1 4· 3=12 种;

第三类:C 中选 1 人参加围棋比赛,A 中选 1 人参加象棋比赛, 方法数为 C1 C1 4· 2=8 种;
第四类:C 中选 2 人分别参加两项比赛,方法数为 A2 4=12 种;
由分类计数原理,选派方法数共有6+12+8+12=38种.

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国

画,排成一列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩
画不放在两端,那么不同的排列方式的种数为________. 5 760
解析

先把3 种品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先

考虑,不能放在头尾,故只能放在中间,又油画与国画有A 2 2 种放法,再考虑国画与油画本身又可以全排列,故排列的方
4 5 法有A2 2 A 4 A 5 =5 760种.

1

2

3

4

5

6

2.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练

中,有5架舰载机准备着舰.如果甲、乙两机必须相邻着舰,
而丙、丁不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有 ________种.

1

2

3

4

5

6

解析

丙、丁不能相邻着舰,则将剩余 3 机先排列,再将

丙、丁进行“插空”.由于甲、乙“捆绑”视作一整体, 剩余 3 机实际排列方法共 2×2=4 种.有三个“空”供丙、 丁选择,即 A2 3=6 种.由分步计数原理,共有 4×6=24 种 着舰方法.
答案

24

1

2

3

4

5

6

3.(2014· 广东 ) 设集合 A = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5)|xi∈{ - 1 , 0,1} , i = 1,2,3,4,5} ,那么集合 A 中满足条件 “1≤|x1| + |x2| +|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为________.
解析

在x1,x2,x3,x4,x5这五个数中,因为xi∈

{ - 1,0,1} , i = 1,2,3,4,5 ,所以满足条件 1≤|x1| + |x2| +
|x3| + |x4| + |x5|≤3 的可能情况有 “①一个 1( 或- 1) ,四

个0,有C1 5×2种;

1

2

3

4

5

6

②两个1(或-1),三个0,有C 2 ×2种; 5 ③一个-1,一个1,三个0,有A 2 5 种;
1 ④两个1(或-1),一个-1(或1),两个0,有C 2 C 5 3×2种;
1 2 ⑤三个 1(或-1),两个 0,有 C3 5×2 种.故共有 C5×2+C5 2 1 3 ×2+A2 + C C × 2 + C 5 5 3 5×2=130 种.

答案 130

1

2

3

4

5

6

4.(2013· 浙江 ) 将 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 六个字母排成一排,
且A、B均在C的同侧,则不同的排法共有________ 480 种(用

数字作答).
解析

分类讨论:A、B都在C的左侧,且按C的左侧分别

有两个、三个、四个、五个字母这 4 类计算,再考虑右 侧情况.
3 1 3 2 2 4 5 所以共有 2(A2 · A + C A · A + C A + A 2 3 3 3 2 3 4 5)=480 种.

1

2

3

4

5

6

5.(2014· 浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5 张无奖 . 将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2张,不同的获奖 情况有________种(用数字作答).
解析

把8张奖券分4组有两种分法,一种是分(一等奖,无

奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖,无奖)四组, 分给4人有A 4 4 种分法;

1

2

3

4

5

6

另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,
2 共有 C2 种分法,再分给 4 人有 A 3 4种分法,所以不同获奖 2 2 情况种数为 A4 + C 4 3A4=24+36=60.

答案 60

1

2

3

4

5

6

6.7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,女

生2人,在下列情况下,各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站;


∵两个女生必须相邻而站,

∴把两个女生看做一个元素,
则共有6个元素进行全排列,还有女生内部的一个排列共有
2 A6 A 6 2=1 440(种)站法.

1

2

3

4

5

6

(2)4名男生互不相邻;


∵4名男生互不相邻,

∴应用插空法,
4 要老师和女生先排列,形成四个空再排男生共有A 3 A 3 4=

144(种)站法.

1

2

3

4

5

6

(3)老师不站中间,女生甲不站左端.


当老师站左端时其余六个位臵可以进行全排列共有A 6 6

=720(种)站法,
当老师不站左端时,老师有 5 种站法,女生甲有 5 种站法, 余下的 5 个人在五个位臵进行排列共有 A5 5×5×5=3 000(种) 站法.根据分类计数原理知共有 720+3 000=3 720(种)站法.


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