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《3.2 等比数列的前n项和》导学案1


《3.2 等比数列的前n项和》导学案1 课程学习目标 1.掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法. 2.应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问题. 3.会求等比数列的部分项之和. 第一层级·知识记忆与理解 知识体系梳理 创设情境 印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔,并问他想得到什么样的 奖赏.大臣说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子,在第二个小格内给 两粒, 在第三个小格内给四粒, 照这样下去, 每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍, 直到把每一小格都摆上麦子为止,并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国 王认为这位大臣的要求不算多,就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗? 知识导学 问题1:等比数列的前n项和公式: 当q=1时,Sn= 当q≠1时,Sn= ; = . 问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子,把各格所放的麦子数看成是一个数列{an}, 它是一个a1=1,q=2,n=64的等比数列,问题转化为求数列{an}的前64项的和,可求得Sn= = 实现不了这个诺言. =264-1,而264-1这个数很大,超过了1.84×1019,所以国王根本 问题3:用错位相减法来推导等比数列的前 n项和公式: 设等比数列{an}的公比为q,它的前n项和是Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1. ① ①×q得qSn=a1q+a1q2+?+a1qn-1+a1qn. ② ①-②得(1-q)Sn= 当q=1时,该数列是常数列,Sn= 当q≠1时,该等比数列的前n项和公式为: . ; Sn= . 即Sn= 问题4:用等比数列的定义推导等比数列的前 n项和公式: 由等比数列的定义,有 = =?= =q. 根据等比的性质,有 = =q. ? (1-q)Sn=a1-anq,即Sn= 基础学习交流 1.在等比数列{an}(n∈N+)中,若a1=1,a4= ,则该数列的前10项和为( ). A.2- B.2- C.2- D.2- 2.等比数列的前4项和为1,前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于( A.2 B.-2 C.2或-2 D.2或1 ). 3.等比数列{an}的公比q>0,已知a2=1,an+2+an+1=6an,则{an}的前4项和S4= 4.求等比数列1,2a,4a ,8a ,?的前n项和Sn. 2 3 . 第二层级·思维探究与创新 重点难点探究 探究一 考查等比数列的前 n项和公式 设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3,求此数列的公比q. 探究二 考查分组求和法 已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=2( + )=8( + ). (1)求{an}的通项公式;(2)设bn= +log2an,求数列{bn}的前n项和Tn. 探究三 对变量的分类讨论 Sn是无穷等比数列{an}的前n项和,且公比q≠1,已知1是 S2和 S3的等差中项,6是2S2和3 S3的等比中项. (1)求S2和S3; (2)求此数列{an}的前n项和公式. 思维拓展应用 应用一 在等比数列{an}中,已知S3= ,S6= ,求an. 应用二 求数列1+ ,2+ ,3+ ,?的前n项和Sn. 应用三 等差数列{an}中, 公差d≠0, a2是a1与a4的等比中项, 已知数列a1, a3, , , ?, , ? 成等比数列. (1)求数列{kn}的通项kn; (2)求数列{ }的前n项和Sn. 第三层级

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