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【课时通】高一数学人教版必修2课件2.3.3 直线与平面垂直的性质3_图文

2.3.3 直线与平面垂直的性质 各树均与地面垂直,各树所在的直线有何位置关系? 路灯线杆和信号灯线杆与地面垂直,两线杆 所在的直线有何位置关系? 1.理解直线与平面垂直的性质定理.(重点) 2.能运用性质定理解决一些简单问题.(难点) 3.了解垂直与垂直,垂直与平行间的相互联系. 课堂探究 1.如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1, BB1,CC1,DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如 何?它们彼此之间具有什么位置关系? D1 B1 C1 a b A1 ? D C A B 提示:垂直 平行 2.如图,已知直线a,b和平面α ,如果 a⊥α ,b⊥α ,那么,直线a,b一定平行吗? b’ a b ? 提示:平行 .O 反证法 反证法的步骤 1.否定结论 证明:假设a与b不平行. 记直线b和α的交点为O, 则可过O作 b′∥a. 直线b 与b′确定平面β, 设α∩β=c, 因为a⊥α , b⊥α 所以a⊥c,b⊥c,又因为b′∥a,所以b′⊥c. 这样在平面β内过点O有两条直线b 和b′都垂直于直线c , 这不可能! 所以a∥b. 3.导出矛盾 肯定结论 2.正确推理 线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 符号语言: a b a ? ?,b ? ? ? a / /b 作用:判断线线平行 线面垂直 ? 线线平行 【提升总结】 空间中的平行 平行于同一条直线的 两条直线平行 垂直于同一个平面的 两条直线平行 a b ? 【即时训练】 给出以下命题,其中错误的是 ( A ) A.如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线, 则这条直线垂直于这个平面 B.垂直于同一平面的两条直线互相平行 C.垂直于同一直线的两个平面互相平行 D.两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一 条也垂直于这个平面 课堂探究2 a ⊥α , b ⊥ α a∥b 交换“平行”与“垂直” a⊥α , b ⊥α b l a ∥b a α 【即时训练】 如图, 有一个正三棱锥体的零件, P 是侧面 ABD 上一点. 在 面 ABD 内过点 P 画一条与棱 AC 垂直的线段,应怎样画?说 明你的理由. 【解析】取BD中点E,连接AE,CE, 因为几何体为正三棱锥, 所以AE⊥BD,CE⊥BD, 所以BD⊥平面ACE,所以BD⊥AC. 故在平面ABD内,欲过P点作与棱AC垂直的线段, 只需过P作MN∥BD分别交AB,AD于M,N, 则线段MN⊥AC,MN即为所求. 设直线a,b分别在正方体中两个不同的平面内,欲 使a//b,a,b应满足什么条件? A1 D1 B1 C1 提示:a,b满足下面条件中的任何 一个,都能使a∥b. (1)a,b同垂直于正方体一个面;A (2)a,b分别在正方体两个相对的 D B C 面内且共面; (3)a,b平行于同一条棱. 例 如图,已知α ∩β =l,CA⊥α 于点A,CB⊥β 于 点B,a ? ? , a ? AB . 求证:a∥l. C 分析: β B l ⊥平面ABC,a⊥平面ABC. α A l a 证明: 因为CA⊥α,l ?α. 所以CA⊥ l. 同理可得CB⊥ l. 因为CA∩CB = C. 所以l ⊥ 平面ABC. 因为CA⊥α,a ?α. 所以CA⊥ a. 又因为a⊥AB,AB∩AC = A, 所以a⊥ 平面ABC. 又因为l ⊥ 平面ABC, a ?α,l ?α, 所以a l. C β B α l A a 【变式练习】 下面给出三个命题: ①直线l与平面α 内两直线都垂直,则l⊥α ; ②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b; ③直线l同时垂直于平面α ,β ,则α ∥β . 其中正确的命题个数为( C ) A .3 B .2 C .1 D .0 【解析】①中,平面α内两直线不一定相交,所以 ①不正确;②中,当a∥b时,不存在平面,所以 ②不正确;③是直线与平面垂直的性质,所以③正确. 1.判断下列命题的正误。 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行( √) (2)垂直于同一直线的两条直线互相平行( × (3)平行于同一平面的两条直线互相平行(× ) (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行( √) ) 2.已知m、n是两条相交直线,l1、l2 是与m、n 都垂直的两条直线,且直线l与l1、l2都相 交.求证: ?1 ? ?2 证明: m n ? o l2 l1 1 ?直线m、n确定一个平面? 2 又 l1 ? m, l1 ? n, ?l1 ? ? l l2 ? m, l2 ? n, ?l2 ? ? 故 l1 / /l2 ? o m n ??1 ? ?2 l1、l2都与l相交 3.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD,直线m垂直于 AD和BC,则l与m的位置关系是( D ) A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 【解析】因为 AD∥BC,所以梯形 ABCD 确定一个平面α. 因为 l⊥AB,l⊥CD,AB 和 CD 相交. 所以 l⊥α.由于 AD∥BC,m⊥AD,m⊥BC, 则 m⊥α或 m∥α或 m ? α或 m 与α相交, 则 l∥m 或 l 与 m 异面或 l 与 m 相交. 4.在如图所示的多面体中,四边形 ABB1 A1 和 ACC1 A1 都为矩形. 若 AC ? BC , 证明: 直线 BC ? 平 面 ACC1 A1 . 解析 因为四边形 ABB1 A1 和 ACC1 A1 都是矩形, 所以 AA1 ? AB, AA1 ? AC . 因为 AB, AC 为平面 ABC 内两条相交直线,所以 AA1 ? 平面 ABC . 因为直线 BC ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? BC . 又由已知, AC ? BC , AA1 , AC 为平面 ACC1 A1 内 两条相

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