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高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用导数学习的“四个问题”素材新人教A版选修2-2教案


导数学习的“四个问题”
一、如何理解“导数的概念” 由于在中学阶段,学生没有学习极限,而导数又作为一种特殊的极限,如何处理这部分 内容呢?《课程标准》要求“通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等 实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识和理解导数的概念. 例如:人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 H(单位:s)与起跳后 的时间 t(单位:s)存在函数关系:H(t)=-4.9t +6.5t+10。运动员从高台跳水时,从腾空到 进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的。假设 t 秒后运动员相对地面的高度为 H,在 2 秒时运动员的速度(瞬时速度)为多少? 分析:该运动员在 2 秒内到 2.1 秒(记为[2,2.1])平均速度为
2

同样,可以计算出[2,2.1][2,2.001],?的平均速度,也可以计算出[1.99, 2],[1.999,2]?的平均速度。列表如下:

由此可以看出,当时间间隔越来越小时,平均速度趋于一个常数,这一常数-13.1 就可 作为该运动员在 2 秒时的速度。 二、如何认识“通过函数图象直观理解导数的几何意义” 即要求理解数函数 f(x)在 x=x 0 的导数就是函数图象上经过此点处切线的斜率这一几何 意义, 不要求利用极限去计算导数。 并且提高了对导数几何意义认识以及利用导数去解决问 题的要求。 例如: 国家环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续 检测结果如图 1 所示.试问哪个企业治污效果好(其中 W 表示治污量)。

1

图1 在 t ? 处,虽然W1 (t0 ) ? W2 (t0 ) ,然而 W1 (t0 ) ? W1 (t0 ? ?t ) ? W2 (t0 ) ? W2 (t0 ? ?t ) ,

? ?t

? ?t

所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企业甲比企业乙略好一筹。 三、如何认识 “导数的运算” 由于没有学习极限, 因此, 我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。 在处理导数的计算时,首先是对于几个常见的函数“y=c,y=x,y=x ,y=x ,y=
2

3

1 ,y= x ”, x

用导数定义求导, 然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则, 要求“利用 给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则来计算导数”, 特别指出“要避免过 量的形式化运算练习”,当然,与文科的选修 1—1 比较,这里要求略有提高,增加了求复 合函数(仅限于形如 f(a+b))的导数。我们以下列三个例子作说明。 例如:求函数 y=f(x)=x 的导数
2 2 解:因为 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ( x ? ?x) ? x ‘ ?x ?x ?x

2

2 2 2 = x ? 2 x ? ?x ? (?x) ? x

?x

=2x+ ? x

?y 所以 y' ? lim ? lim (2 x ? ?x) ? 2 x
?x ?0

?x

?x ?0

例如:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y=x -2x+3 的导数 解:因为 =3x -2 所以函数 y=x -2x+3 的导数是 3x -2 例如:求函数 y= e
?0.05 x ?1
3
2 2

3

y ' ? ( x 3 ? 2 x ? 3)' ? ( x 3 )'?( 2 x)'? (3)'

的导数
2

解: 函数 y= e 导法则有:

?0.05 x ?1

可以看作函数 y= e 和 u=-0.05x+1 的复合函数。 根据复合函数的求
u

y x ? yu ? u x
' '

'

= (e

u

)'?(?0.05x ? 1)'
u

=-0.05e

=-0.05 e

?0.05 x ?1

四、如何认识“导数在研究函数中的应用” 首先要注意导数作为一种通法的意义和作用, 与初等方法相比较, 导数能处理一般函数 极值问题。但在中学阶段,这种要求不宜过高,课程《标准》中要求“借助几何直观探索并 了解函数的单调性与导数的关系; 能利用导数研究函数的单调性, 会求不超过三次的多项式 函数的单调区间。 ??导数求不超过三次的多项式函数的, 以及闭区间上不超过三次的多项 式函数最大值、最小值”。其次导数是解决生活中优化问题的有力工具,应体会导数的应用 价值: 例如:有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 的环形区域。 (Ⅰ)是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (Ⅱ)r 为多少时,磁盘具有最大存储量?(最外面的磁道不存储任何信息) 分析:存储量=磁道数×每磁道的比特数 由于磁道之间的宽度必须大于 m,而且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多 可达 R ? r ,每条磁道上的比特数可达 2?r ,所以,磁盘总存储量 f(r)= R ? r · 2?r = 2? r ( R ? r ) n mn m

m

n

(Ⅰ)f(r)是关于 r 的一元二次函数,所以,并非 r 越小,磁盘的存储量越大。 (Ⅱ)f′(r)= 2? ( R ? 2r ) ,令 f′(r)=0,得 r= R 。

mn

2

因此,当 r< R 时,f′(r)>0; 当 r> R 时,f′(r)<0.

2 2 2 所以,当 r= R 时,磁盘具有最大存储量,最大存储量为 ?R . 2 2mn

3


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