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导数公式大全讲义._图文

导数的基本公式与运算法则 基本初等函数的导数公式 c ? 0 (c为任意常数) ' (x? )? = ? x? - 1 . (ax)? = ax lna . (ex)? = ex. 1 1 (log a x )? ? . (ln x )? ? . x x ln a (sin x)? = cos x. (tan x)? = sec2x . (sec x)? = sec x tan x . (cos x)? = - sin x. (cot x)? = - csc2x . (csc x)? = - csc x cot x . 另外还有反三角函数的导数公式: (arcsinx )? ? (arccosx )? ? 1 1 - x2 -1 2 , , 1- x 1 (arctan x )? ? , 2 1? x -1 (arc cot x )? ? . 2 1? x 导数的四则运算 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导, v( x ) ( u( x ) ? 0) 则它们的和、差、积与商 u( x ) 在 x 处也可导,且 定理2. 1 (u(x) ? v(x))? = u?(x) ? v ?(x); (u(x)v(x))? = u(x)v?(x) + u?(x)v(x); ? v( x ) ? u( x )v ?( x ) - u?( x )v ( x ) ? . 2 ? u( x ) ? ? ? [u( x )] ? ? ? 推论 1 推论 2 (cu(x))? = cu?(x) (c 为常数). ? 1 ? u?( x ) ? ? u( x ) ? ? ? - u2 ( x ) . ? ? ? 乘法法则的推广: (uvw) ' ? u ' vw ? uv ' w ? uvw ' 补充例题: 求下列函数的导数: 例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1,求 f ?(x) 及 f ?(0). 解 根据推论 1 可得 (3x4)? = 3(x4)?, (5cos x)? = 5(cos x)?, 又(x4)? = 4x3,(cos x)? = - sin x, (ex)? = ex, (1)? = 0, 故 f ?(x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ? = (3x4) ? -(ex )? + (5cos x) ? - (1)? = 12x3 - ex - 5sin x . f ?(0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1 例2 设 y = xlnx , 求 y ?. 解 根据乘法公式,有 y? = (xlnx)? = x (lnx)? ? (x)?lnx 1 ? x ? ? 1 ? ln x x ? 1 ? ln x . 例3 解 x -1 设 y ? x 2 ? 1 , 求 y ?. 根据除法公式,有 2 2 ? x - 1 ? ( x ? 1)( x - 1)? - ( x ? 1)?( x - 1) y? ? ? 2 ? ? 2 2 x ? 1 ( x ? 1 ) ? ? ? ( x 2 ? 1)[(x )? - (1)?] - [( x 2 )? ? (1)?]( x - 1) ? ( x 2 ? 1)2 ( x 2 ? 1) - 2 x( x - 1) 2 x - x 2 ? 1 ? ? . 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 教材P32 例2 求下列函数的导数: (1) y ? x - cos x (2) y ? x e x 3 2 (4) y ? 2 x ? 3 x sin x ? e (3) y ? 2 1- x 3 2 x (1) y ' ? ( x3 - cos x)' ? ( x3 )'- (cos x)' ? 3x2 ? sin x (2) y ' ? ( x2ex )' ? ( x2 )' ex ? x2 (ex )' ? 2xex ? x2e x ? ( x ? 2) xe x x x '(1 - x 2 ) - x(1 - x 2 ) ' 1 - x 2 - x(-2 x) (3) y ' ? ( )' ? ? 2 2 2 1- x 2 (1 - x ) (1 - x 2 )2 1? x ? (1 - x 2 ) 2 解: (4) y ' ? (2 x3 )'? (3x sin x)'? (e2 )'? 2( x 3 )'-3( x sin x)'?0 2 ? 6 x - 3(sin x ? x cos x) 高阶导数 如果可以对函数 f(x) 的导函数 f ?(x) 再求导, 所得到的一个新函数, 称为函数 y = f(x) 的二阶导数, d 2 y 如对二阶导数再求导,则 . 记作 f ?(x) 或 y? 或 2 dx d3 y 称三阶导数, . 四阶或四阶以上导 记作 f ??(x) 或 3 dx 数记为 y(4),y(5),· · · ,y(n) f ?(x) 称为 f (x) 的一阶导数. d4 y dn y 或 · ·, n , ,· 4 dx dx 而把 例3 求下列函数的二阶导数 (1) y ? x cos x 解: (2) y ? arctan x (1) y ' ? cos x ? x(- sin x) ? cos x - x sin x y ? - sin x - (sin x ? x cos x) ? -2 sin x - x cos x 1 2x (2) y ' ? ?2 2 2 1? x (1 ? x ) (1 ? x )' y ? 2 2 (1 ? x ) 2 二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算 复合函数的求导法则 定理2.2 若函数u ? u ( x)在点x可导,函数y=f (u ) 在点u处可导,则复合函数y ? f (u ( x)