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广东省2012年新课程高考冲刺全真模拟试卷(六,文数)


广 东 省 2 012 年 新 课 程 高 考 冲 刺 全 真 模 拟 试 卷 ( 六 ) 数 学 (文 ) 试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(15)题为 选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓 名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 为样本平均数 锥体体积公式 V =

s=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x2 ? x) 2 + L + ( xn ? x) 2 ] n

其中 x

1 Sh 其中 S 为底面面积, h 为高 3 第I卷

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合题目要求的. 一项是符合题目要求的. 1.设 M={ x | x < 9 }, N={ x | x 2 < 9 },则( A.M ? N B.N ? M C.M ? CR N ) D.N ? CR M )

2.已知 i 为虚数单位, 则复数 A. 0 B.

1? i 的虚部为( 1+ i
D. ?1

2

C. 1

u ( x) = 3sin x ? cos x, v( x) = sin(2 x) + 3cos(2 x), ? ( x) = 2sin x + 2 cos x 的部分图像如下,则( ) A. f ( x ) = u ( x), g ( x ) = v( x ), h( x ) = ? ( x ) B. f ( x ) = ? ( x ), g ( x ) = u ( x ), h( x ) = v ( x ) C. f ( x ) = u ( x), g ( x ) = ? ( x ), h( x ) = v ( x ) D. f ( x ) = v ( x ), g ( x) = ? ( x ), h( x ) = u ( x )
4.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是( )

3.在同一平面直角坐标系中,画出函数

20 3 17 14 D. C. 3 3 5. 如果对于任意实数 x , [ x ] 表示不超过 x 的最大整数. 例如 [3.27 ] = 3 , [ 0.6 ] = 0 .
A.8 B. 那么“ [ x ] = [ y ] ”是“ x ? y < 1 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.对任意实数 a, 函数 y = ax 2 + ax + 1 的图象都不经过点 P, 则点 P 的轨迹是( A. 两条平行直线 B. 四条除去顶点的射线 C. 两条抛物线 )

D. 两条除去顶点的抛物线

? x ? y ≥ ?1 ? 7. 设变量 x, y 满足约束条件 ? x + y ≤ 6 ,则目标函数 z = xy 的取值范围为( ?y ≥ 2 ?
A. [ 2,8] B. ? 2,



? 35 ? ? 4? ?

C. [ 2,9]

D. ?8,

? 35 ? ? 4? ?

8. 如 图 所 示 , 两 射 线 OA 与 OB 交 于 点 O , 下 列 5 个 向 量 中 , ① ②

uuu uuu r r 2OA ? OB

r r r r 3 uuu 1 uuu 1 uuu 1 uuu OA + OB ③ OA + OB 4 3 2 3



r r 3 uuu 1 uuu OA + OB 4 5



r r 3 uuu 1 uuu OA ? OB 若以 O 为起点, 4 5

终点落在阴影区域内(含边界)的向量有( )个. A.1 B.2 C.3 D.4 9. 若函数 f ( x ) = 2010 x + 10 x ? 2011x x ? 1 的不同零点个数为 n ,则 n 的值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信 息 . 设 定 原 信 息 为 a0 a1a2,i ∈ {0, ( i = 0,2 ) 传 输 信 息 为 h0 a0 a1a2 h1 , 其 中 a 1} 1, ,

h0 = a0 ⊕ a1,h1 = h0 ⊕ a2 , ⊕ 运算规则为: 0 ⊕ 0 = 0 , 0 ⊕ 1 = 1 ,1 ⊕ 0 = 1 ,1 ⊕ 1 = 0 ,
例如原信息为 111,则传输信息为 01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错,则下列接收信息一定有误的是( ) A.11010 B.01100 C.10111 D.00011

第Ⅱ 卷
填空题: 小题, 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 填空题 共 11.已知函数 f ( x ) = x 3 + 2 f ′(1) ? x 2 , f ′( x ) 表示函数 f ( x ) 的导函数,则函数 f ( x ) 的图像 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为______________. 12. 一个袋中装有 2 个红球和 2 个白球,现从袋中取出 1 球,然后放回袋中再取出一球,则 取出的两个球同色的概率是 . 13. 设圆 x
2

+ y 2 = 1 的切线 l 与 x 轴的正半轴, y 轴的正半轴分别交于点 A , B ,当 | AB | 取
.
2

最小值时,切线 l 的为 14. 在极坐标系中,曲线 ρ cos

θ = 2sin θ 的焦点的极坐标为

.

15. 图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图中,将第 1 个三角形的三边中点为 顶点的三角形着色,将第 k ( k ∈ N ) 个图形中的每个未着色三角形的三边中点为顶点的三角 形着色,得到第 k + 1 个图形, 这样这些图形中着色三角形的个数依次构成一个数列 {an } ,则 数列 {an } 的通项公式为 .
?

解答题: 其中(16)~(19)每小题 12 分,(20)题 13 分,(21)题 14 分.解答应写 三.解答题:本大题共 75 分。其中 解答题 ~ 每小题 题 题 解答应写 出文字说明, 出文字说明,证明过程和演算步骤 16. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

2a sin A = (2b ? c) sin B + (2c ? b) sin C
(Ⅰ)求 A 的大小; ( Ⅱ ) 已 知 tan θ =

sin B + sin C , 且 0 < θ < π , 求 函 数 f ( x) = 2 sin(2 x + θ ) 在 区 间 cos B + cos C

π? ? π ? ? 2 , ? 12 ? 上的最大值与最小值. ? ?

17. (本题满分 12 分)莆田市在每年的春节后,市政府都会发动公 务员参与到植树活动中去.林管部门在植树前, 为保证树苗的质量, 都会在植树前对树苗进行检测.现从甲乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度,量出的高度如下(单位:厘米) 甲: 37, 21,31, 20, 29,19,32, 23, 25,33 乙: 10,30, 47, 27, 46,14, 26,10, 44, 46 (Ⅰ)根据抽测结果,完成答题卷中的茎叶图,并根据 你填写的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出 两个统计结论; (Ⅱ)设抽测的 10 株甲种树苗高度平均值为 x ,将 这 10 株树苗的高度依次输入按程序框图进行的运算,问 输出的 S 大小为多少?并说明 S 的统计学意义. 甲 乙

1 2 3 4
第 17 题图

18. (本小题满分 12 分)如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD = DC = CB = a ,



∠ABC = 60o ,平面 ACFE ⊥ 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE = a ,点 M 在线段 EF 上.


M E


F

(1)求证: BC ⊥ 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; D

C A B

19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x ) = ?

x=0 ?0, ? ,其中实数 m 为常数. 2 ? x ln x + mx , x ≠ 0 ?

(Ⅰ)求证: m = 0 是函数 f ( x ) 为奇函数的充要条件; (Ⅱ) 已知函数 f ( x ) 为奇函数,当 x, y ∈ [ 0, e] 时,求表达式 z = yf ( x ) + xf ( y ) 的最小值. 20.(本题满分 13 分)

设椭圆C1的中心在原点,其右焦点与抛物线C2:y 2 = 4 x的焦点F重合,过点F与x轴垂直的直线 与C1交与A、B两点,与C2交于C、D两点,已知 (1 )求椭圆C1的方程 (2)过点F的直线l与C1交与M、N两点,与C2交与P、Q两点,若 | PQ | 5 = ,求直线l的方程 | MN | 3
n ?1 2 , ) 为直角坐 n n

| CD | 4 = | AB | 3

21. (本题满分 14 分) 设 {a n }{bn } 是两个数列,点 M (1,2), An (2, a n ) B n ( 标平面上的点. (Ⅰ)对 n ∈ N * , 若三点 M , An , B n 共线,求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列{ bn }满足: log 2 c n =

a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn ,其中 {c n } 是第三项为 8,公比 a1 + a 2 + L + a n

为 4 的等比数列.求证:点列 P1 (1, b1 ), P2 (2, b2 ), L Pn (n, bn ) 在同一条直线上,并求 出此直线的方程.

参考答案
第I卷
一、1~5 B D D D C A 提示: 提示: 6~10 B C A B C

1. 因为集合 N = x ? 3 < x < 3 ,所以 N ? M,选 B.

{

}

2.

1? i (1 ? i) 2 ?2i = = = ?i 1 + i (1 + i)(1 ? i) 2

π )知 4 函数 u ( x ), v ( x ), ? ( x ) 的图像的振幅、最小正周期分别为 10, 10, 2 2; 2π, π, 2π.
3.由 u ( x ) = 10 sin( x + α ), v ( x) = 10 sin(2 x + β ), ? ( x ) = 2 2 sin( x + 对照图形便知选 D. 4.几何体是正方体截去一个三棱台, V = 2 ? ? ( + 2 + 2 × ) × 2 =
3

1 1 3 2

1 2

17 . 3


5.





x = [ x ] + r ,0 ≤ r < 1, y = [ y ] + t ,0 ≤ t < 1,

?1 < r ? t < 1. [ x ] = [ y ] ? x ? y = r ? s < 1 ,
故“ [ x ] = [ y ] ”是“ x ? y < 1 ”的充分条件;②设 x = 3.1, y = 2.9, 则 x ? y = 0.2 < 1, 但 [ x ] = 3, [ y ] = 2, [ x ] > [ y ] . 故“ [ x ] = [ y ] ”不是“ x ? y < 1 ”的必要条件. 6. 设 P ( x, y ) ,则对任意实数 a, 函数 y = ax 2 + ax + 1 的图象 都不经过点 P ? 关于 a 的方程 a ( x 2 + x) = y ? 1 没有实数解

? x2 + x = 0 ? x = 0 ? x = ?1 或? . ?? ?? ?y ≠1 ?y ≠1 ? y ?1 ≠ 0

所以点 P 的轨迹是除去两点 (0,1), ( ?1,1) 的两条平行直线 x = 0 与 x = ?1. 7. 如图 1,可域为 ?ABC 的边界及内部,双曲线 xy = z 与可行域有公共点时 2 ≤ z ≤ 9. 8. 设 M 在阴影区域内,则射行线 OM 与线段

AB 有公共点,记为 N ,则存在实数 uuur uuu r uuu r uuuu r uuur t ∈ [ 0,1] , 使得 ON = tOA + (1 ? t )OB ,且存在实数 r ≥ 1, 使得 OM = rON ,从而

uuuu r uuu r uuu r OM = rtOA + r (1 ? t )OB, rt + r (1 ? t ) = r ≥ 1 ,且 rt , r (1 ? t ) ≥ 0 .只有②符合.
9. f ( x ) = 2011x ? (

10 x ? 2010 x ? ) +( ) ? x ? 1 ? = 2011x g ( x) 2011 ? 2011 ?
x

函数 g ( x ) 在定义域 [1, +∞ ) 上是减函数,且 2011 > 0 , g (1) =

2020 > 0, 2011

g (2) =

20102 + 10 2 ? 20112 ?(2011 + 2010)(2011 ? 2010) + 102 = < 0 ,故 n = 1. 20112 20112
011 → 10110, 001 → 00011 中可知选 C
14. ( , ).

10. 从 101 101 → 11010, 110 → 01100, 二 、 11 . x + y = 0. 12.

1 . 2

13. x + y ? 2 = 0.

1 π 2 2

15.

3n ? 1 an = . 2
提示: 提示: 11. f ′( x ) = 3 x 2 + 4 f ′(1) ? x, f ′(1) = 3 + 4 f ′(1), f ′(1) = ?1, f (1) = ?1. 故切线方程为 y + 1 = ?( x ? 1), x + y = 0. 12. 从袋中有放回地先后取出 2,共有 16 种等可能的结果,其中取出的两个球同色共有 8 种等可能的结果,故所求概率为 . 13. 设 A( a, 0), B (0, b), a > 0, b > 0 ,则切线 l 的方程为

1 2

x y + = 1, AB = a 2 + b 2 , a b

1


1 1 ( )2 + ( ) 2 a b

= 1得

1 1 1 1 b2 a 2 2 + 2 = 1, AB = (a 2 + b 2 )( 2 + 2 ) = 2 + 2 + 2 ≥ 4 , a2 b a b a b

当且仅当 a =b=

2 时 , 上 式 取 等 号 , 故 AB min = 2 , 此 时 切 线 l 的 方 程 为

x + y ? 2 = 0.
14. ρ cos θ = 2sin θ ? ( ρ cos θ ) = 2 ρ sin θ ? x = 2 y ,
2 2 2

其焦点的直角坐标为 (0, ), 对应的极坐标为 ( , ). 15. a1 = 1, an +1 ? an = 3 ( n ∈ N ),
n ?

1 2

1 π 2 2



n≥2





an = a1 + (a2 ? a1 ) + (a3 ? a2 ) + K + (an ? an ?1 ) = 1 + 3 + 32 + L + 3n ?1 =
也可由不完全归纳法猜得. 三、

3n ? 1 . 2

16.解: 解 (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a = (2b ? c)b + (2c ? b)c ………………………1
2



b2 + c2 ? a2 1 = ………………………………………………3 即 a = b + c ? bc ,cos A = 2bc 2
2 2 2



Q 0 < A < π, ∴ A =

π . 3

………………………………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得: B + C = π ? A =

2π π π π π , 设 B = + α, C = ? α, ? < α < . 3 3 3 3 3 π π π sin( + α ) + sin( ? α ) 2sin cos α π 3 3 3 tan θ = = = tan π π π 3 cos( + α ) + cos( ? α ) 2 cos cos α 3 3 3
, ………………………………………………9 分

Q0 < θ < π

∴θ =

π . 3

π π π 2π π π f ( x) = 2 sin(2 x + ) .Q ? ≤ x ≤ ? , ? ≤ 2x + ≤ , 3 2 12 3 3 6 π π 5π π π π ∴ 当 2 x + = ? , x = ? 时, f ( x) 有最小值 ?2; 当 2 x + = , x = ? 时, f ( x) 有最 3 2 12 3 6 12 大值 1.
故函数 f ( x ) 在区间 ? ?

π? ? π , ? ? 上的最大值与最小值分别为 ?2 与 1. ? 2 12 ?

…………………12

分 17.解:(Ⅰ)茎叶图如图 2. ………………………3 分 解 统计结论:①甲种树苗的平均高度小于乙种树 苗的平均高度; ②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; ③甲种树苗的中位数为 27 ,乙种树苗的中位数为 28.5 ; ④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近, 乙种树苗的高度分布较为分散. ………………………………………………6 分 (Ⅱ) (给分说明 写出的结论中 个正确得 2 分.) 给分说明:写出的结论中 Ⅱ 给分说明 写出的结论中,1

x=

37 + 21 + 31 + 20 + 29 + 19 + 32 + 23 + 25 + 33 = 27, ……………………8 分 10

S=

102 + 62 + 4 2 + 7 2 + 2 2 + 82 + 52 + 42 + 22 + 6 2 = 35. ……………………10 分 10

S 表示10 株甲树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量. S 值越小,表示长得越整齐, S 值越大,表示长得越参差不齐. …………………12 分
18.证明: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,Q AB // CD ,

AD = DC = CB = a, ∠ABC = 60 ° ∴ 四边形 ABCD 是等腰梯形,


∠DCA = ∠DAC = 30 ° , ∠DCB = 120 °



∴ ∠ACB = ∠DCB ? ∠DCA = 90 ° ∴ AC ⊥ BC
又 Q 平 面

ACFE ⊥ 平 面 ABCD , 交 线 为 AC , ∴ BC ⊥ 平 面
…………5 分

ACFE

……12 分 解法二:当 EM =

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3

由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,

则 C (0,0,0) , B (0, a,0) , A( 3a,0,0) , D (

3a 1 , ? a ,0 ) , 2 2

F (0,0, a ) , E ( 3a,0, a )
Q AM ? 平面 BDF ,
→ → →

∴ AM // 平面 BDF ? AM 与 FB 、 FD 共面,
也等价于存在实数 m 、 n ,使 AM = m FB + n FD , 设
→ → → →

EM = t EF
→ → →





.

Q EF = (? 3a,0,0)





EM = (? 3at ,0,0) ∴ AM = AE + EM = (? 3at ,0, a )
又 FD = (
→ → 3 1 a,? a,?a ) , FB = (0, a,? a ) , 2 2

从而要使得: ( ? 3at ,0, a ) = m(0, a,? a ) + n(

3 1 a,? a,? a ) 成立, 2 2

? 3 an ?? 3at = 2 ? 1 1 ? 需 ?0 = ma ? an ,解得 t = 2 3 ? ?a = ? am ? an ? ?


∴ 当 EM =

3 a 时, AM // 平面 BDF .…………12 3

19.解: (Ⅰ)证法一:充分性: 若 m = 0 ,则 f ( x ) = ? 解 ① f ( ?0) = ? f (0) = 0 ;…………2 分

x=0 ?0, ? .…………1 分 ? x ln x , x ≠ 0 ?

②当 x ≠ 0 时, f ( x) = x ln x , f ( ? x) = ( ? x) ln ? x = ? x ln x = ? f ( x).

∴ 函数 f ( x) 为奇函数. …………3 分
必要性: 若函数 f ( x ) 为奇函数,则 f ( ? e) = ? f (e) , 即 ? e + m e 2 = ? e + m e 2 , 2m e 2 = 0, m = 0. 故 m = 0 是函数 f ( x ) 为奇函数的充要条件. …………6 分 (Ⅰ)证法二:因为 f ( ?0) = ? f (0) = 0 ,所以函数 f ( x ) 为奇函数的充要条件是

(

)

?x ≠ 0, f (? x) = ? f ( x) ? ?x ≠ 0, (? x) ln ? x + m(? x) 2 = ? x ln x ? mx 2

? ?x ≠ 0, 2mx 2 = 0 ? m = 0.
故 m = 0 是函数 f ( x ) 为奇函数的充要条件. …………6 分 (Ⅱ) 若函数 f ( x ) 为奇函数, 则 f ( x ) = ?

x=0 ?0, ? . ? x ln x , x ≠ 0 ?

①当 xy = 0 时, z = yf ( x ) + xf ( y ) = 0 .…………7 分

②当 x, y ∈ ( 0, e ] 时, z = yf ( x ) + xf ( y ) = yx ln x + xy ln y = xy ln( xy ) = f ( xy ), ………8 分

2 设 t = xy ∈ 0, e ? , z = f (t ) = t ln t , f ′(t ) = ln t + 1 .…………9 分 ?

(

t f ′(t ) f (t )

1 (0, ) e

1 e

?1 2? ? ,e ? ?e ?

?
单调减少

0
极小值

+
单调增加

…………………………………………………………………………………………………10 分

1 1 f (t ) 的极小值为 f ( ) = ? < 0 , f (e 2 ) = e2 ln e2 = 2 e 2 > 0 ,…………………………11 e e
分 且当 t ∈ ? 0, ? 时, f (t ) = t ln t < 0 . e

? ?

1? ?

所以 zmin = ? , zmax = 2 e . …………12 分
2

1 e

20.

2 ?2 an ? 2 21.解: (Ⅰ)因三点 M , An , B n 共线,∴ = n n ?1 2 ?1 ?1 n
得 a n = 2 + 2(n ? 1) 故数列 {a n } 的通项公式为 a n = 2n ……………………6 分 (Ⅱ)由题意 c n = 8 ? 4 n ?3 = 2 2 n ?3 a1 + a 2 + L + a n = 由题意得 c n = 2
a1b1 + a 2b2 +L+ a n bn a1 + a 2 +L+ an

n ( 2 + 2 n) = n(n + 1) 2

,∴ 2

2 n ?3

=2

a1b1 + a 2b2 +L+ a n bn a1 + a2 +L+ a n

∴ 2n ? 3 =

a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn , ∴ a1b1 + a 2 b2 + L a n bn = n(n + 1)(2n ? 3) a1 + a 2 + L + a n

当 n ≥ 2 时, a n bn = n(n + 1)(2n ? 3) ? (n ? 1)n(2n ? 5) = n(6n ? 8)

Q

a n = 2n ∴ bn = 3n ? 4 .当 n=1 时, b1 = ?1 ,也适合上式,∴ bn = 3n ? 4 (n ∈ N * ) bn ? b1 ( n ? 1) ? 3 = = 3 (n ∈ N * ) 为常数 n ?1 n ?1

因为两点 P1、Pn 的斜率 K =

所以点列 P1 (1, b1 ), P2 (2, b2 ), L Pn (n, bn ) 在同一条直线上, 且方程为: y ? b1 = (x ? 1 ,即 3x ? y ? 4 = 0 . …………………14 分 3 )


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