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2019人教版高中数学必修四课件:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) 精讲优练课型_图文

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 【知识提炼】 1.两角和的余弦公式 C(α +β ) ,其中α ,β cosα cosβ -sinα sinβ ,简记为______ cos(α +β )=______________________ 任意角 都是_______. 2.两角和与差的正弦公式 (1)两角和的正弦: S(α +β ) ,其中α ,β sinα cosβ +cosα sinβ ,简记为______ sin(α +β )=______________________ 任意角 都是_______. (2)两角差的正弦: S(α -β ) ,其中α ,β sinα cosβ -cosα sinβ ,简记为______ sin(α -β )=______________________ 任意角 都是_______. 【即时小测】 1.思考下列问题 (1)sin(α +β )=sinα +sinβ 一定不成立吗? 提示:一般情况下上面式子是不成立的,但在特殊情况下如当α=0, β∈R,或α∈R,β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立. (2)S(α +β )与S(β +α )有什么关系?S(β -α )与S(α -β )相等吗? 在利用S(α -β )时需要注意什么? 提示:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(β+α) =sinβcosα+cosβsinα观察可得S(α+β)与S(β+α)相等. sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, sin(β-α)=sinβcosα-cosβsinα,可知一般情况下sin(α-β) ≠sin(β-α),在利用公式时要注意做差顺序. 2.计算sin40°sin80°-cos40°cos80°的值为( A.0 【解析】选C. sin40°sin80°-cos40°cos80° =-cos(80°+40°)=cos60°= . 1 2 ) B. 3 2 C. 1 2 D. 3 3 3.设 ? ? ( ?,?),若sin? ? 3,则 sin(? ? ? )等于________. 【解析】因为 ? ? ( ?,?), α是第二象限内的角,根据sin2α+cos2α=1, 2 5 3 2 sinα= 3 ,其中cosα<0可得 cos? ? ? 4, 又根据两角和的正弦公式得 ? ? ? 1 3 1 3 3 4 sin(? ? ) ? sin? cos ? sin cos? ? sin? ? cos? ? ? ? ? (? ) 3 3 3 2 2 2 5 2 5 3? 4 3 ? . 10 答案: 3 ? 4 3 . 10 5 5 4.cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=________. 【解析】cos 71°sin 11°-sin 71°cos 11°=sin(11°-71°) =-sin 60°= ? 3 . 2 3 答案: ? 2 5.若 cos? ? ? 5 ,? ? ( ? ,? ), 则 cos(? ? ? ) ? ________. 【解析】因为 cos? ? ? 5 ,? ? ( ?,?), 13 2 13 2 6 13 13 所以 cos(? ? ? ) ? cos?cos ? ? sin?sin ? 6 6 6 5 3 12 1 5 3 ? 12 ?? ? ? ? ?? . 13 2 13 2 26 5 3 ? 12 答案: ? 26 所以 sin? ? 1 ? cos 2? ? 1 ? (? 5 ) 2 ? 12, 【知识探究】 知识点1 两角和的余弦公式 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:运用两角和的余弦公式时需要注意什么? 问题2 :两角和的余弦公式的适用条件只能是一个角吗?能不能是角 的组合? 【总结提升】 1.两角和的余弦公式的应用技巧 (1)应用两角和的余弦公式要区分三角函数的名称和符号,不能混淆, 即cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . (2)要灵活进行正用、逆用两角和的公式计算或化简. 2.两角和的余弦公式的适用条件 公式中的α ,β 不仅可以是任意具体的角,也可以是一个“团体”, ? ?? 如 cos( ? ? ? ? ? ? ? ) 中的“ ? ? ? ”相当于公式中的角α ,“ ” 2 2 2 2 相当于公式中的角β . 知识点2 两角和与差的正弦公式 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构有何异同? 问题2:在计算两角的和与差时,如何利用两角和与差的正弦公式? 【总结提升】 1.两角和差的余弦公式以及正弦公式的结构特点 (1)公式中的α ,β 均为任意角. (2)两角和与差的正、余弦公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公 式可以看成是两角和与差的正、余弦公式的特例. (3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正,加减相同”,两角和 与差的余弦公式结构是“余余正正,加减相反”. 2.两角和与差的正弦公式的一般使用方法 (1)正用:把sin(α ±β ),从左向右展开. (2)逆用:公式的右边化简成左边的形式,当结构不具备条件时,要 用相关公式调节后再逆用. (3)变形应用:它涉及两个方面,一是公式本身的变用;二是角的变 用,也称为角的拆分变换,如β =(α +β )-α ,2α =(α +β )+(α β ). 【题型探究】 类型一 给角求值 ) 【典例】1.(2015·全国卷Ⅰ) sin 20?cos 10? ? cos 160?sin 10? =( A. ? 3 2 B. 3 2 C. ? 1 2 D. 1 2 2.求下列各式的值. (1) sin 7? 2? ? 2? cos ? sin sin . 18 9 9 9 (2)sin(x+27°)cos(

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