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重庆市南开中学2010届高三12月月考试卷理科数学


刘鹏老师祝你高考成功

重庆南开中学高 2010 届高三 12 月月考试卷 数 学(理科)

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干 净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人员将答题卡收回. 选择题: 个小题, 各题答案必须答在答题卡上. 一、选择题:(本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分)各题答案必须答在答题卡上. 1.已知集合 M =

{( x, y ) x + y = 3} , N = {( x, y ) x y = 1} , 那么集合 M I N 为(
B. ( 2,1) C. {2,1} ) B.既非充分又非必要条件 D.必要非充分条件 ) D.

)

A. x = 2, y = 1

{( 2,1)}

2. ABC 中, ∠A 为锐角是 AB AC > 0 的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件

uuu uuur r

3.已知直线 ax + y + 5 = 0( a > 0), 则其倾斜角 α 为( A. arctan a B. arctan( a )

C. π arctan a

D. π arctan( a ) )

4.已知等差数列 {an } 的公差为 2,且 a1 , a2 , a5 成等比数列,则 a5 的值为( A.9 5.已知 sin 2α = B.8 C.7 ) D.6

π π 3 , 且 < α < , 则 cos α sin α 的值是( 4 4 2 1 1 1 A. B. C. 2 4 2 1 2 6.已知 a > 0, b > 0 且 2 a + b = 3, 则 + 的最小值为( ) a b
A.8 B.4 C. 2 2

D.

1 4

D.

8 3

7.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f ( x + 2), 当 x ∈ [1,3] 时, f ( x) = 2 x 2 , 则下列不等 式一定成立的是( A. f (sin )

) < f (cos ) 6 6 2π 2π C. f (cos ) < f (sin ) 3 3

π

π

B. f (sin1) < f (cos1) D. f (cos 2) < f (sin 2)

8.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a, b ∈ R 都满足:
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1 1 1 f ( a b ) = af ( b ) + bf ( a ) , 若 f ( 2 ) = 2, 则 f (1) + f ( ) + f ( ) + f ( ) 的值为( ) 2 4 8 11 5 3 B. C. D. A. 1 8 4 2
9.设 f ( x) =

2 x2 , g ( x ) = ax + 5 2a ( a > 0), 若对于任意 x1 ∈ [ 0,1] , 总存在 x0 ∈ [ 0,1] , 使得 x +1
) C. (0, ]

g ( x0 ) = f ( x1 ) 成立,则 a 的取值范围是(
A. [ , 4]

5 2

B. [4, +∞)

5 2

D. [ , +∞ )

5 2

2b 2 x = 1+ b y 10.设 b ≥ a > 0, 实数 x、y 满足 , 则 z = 的取值范围是( x y = 3+ a 1+ a 3 1 , ) 2 2 1 1 C. ( , ) 2 2
A. (

)

3 1 2 2 1 1 D. (∞, ) U ( , +∞ ) 2 2
B. (∞, ) U ( , +∞ )

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
个小题, 各题答案必须填写在答题卡上(只填结果, 二、填空题:(本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)各题答案必须填写在答题卡上(只填结果, 填空题: 不要过程). 不要过程). 11.直线 ( m 1) x + 3 y + m = 0 与直线 x + ( m + 1) y + 2 = 0 平行,则实数 m = ____________. 12.三角形 ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a = 13.向量 a, b 满足 | a |= 1, | a b |=

2, b = 3, B = 60o , 则 C 的值为______.

r r

r

r r

r 3 r r , a 与 b 的夹角为 60°,则 | b |= __________. 2

14.已知关于 x 的方程 x 2 + (2 + a ) x + 1 + a + b = 0 的两根为 x1 , x2 , 且 0 < x1 < 1 < x2 , 则 z = 的取值范围是______________. 15.给出下列四个命题: ①若 | x lg x |< x + | lg x | 成立,则 x > 1;

a+b ab

1 1 2 (a > 2), q = ( ) x 2 ( x ∈ R ), 则 p > q; a2 2 r r r r r r r π ③已知 | a |=| b |= 2, a 与 b 的夹角为 , 则 a + b 在 a 上的投影为 3; 3
②若 p = a + ④已知 f ( x ) = a sin x b cos x, ( a, b ∈ R ) 在 x =

π

4

处取得最小值,则 f (

3π x) = f ( x); 2

其中正确命题的序号是_________________.(把你认为正确的命题的序号都填上)
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各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明 三、解答题:(本大题 6 个小题,共 75 分)各题解答必须答在答题卡上 必须写出必要的文字说明、演 解答题: 本大题 个小题, 各题解答必须答在答题卡上 必须写出必要的文字说明、 算步骤或推理过程) 算步骤或推理过程 16.(13 分)已知函数 g ( x) = | 2 x 3 | x 的定义域为集合 A. (1)求 A; (2)若 C = {x | x 2 (2a + 1) x + a ( a + 1) < 0}, C I A = Φ , 求实数 a 的取值范围.

17.(13 分)已知直线 l1 : (1 + λ ) x + y + 2λ + 1 = 0(λ ∈ R ), 直线 l2 过点 A( 3, 2), B ( 1,3). (1)若 l1 ⊥ l2 , 求直线 l1 的方程; (2)若直线 l1 和线段 AB 有交点,求 λ 的取值范围.

18.(13 分)已知函数 f ( x ) = 2 cos (1)求正数 ω 的值;

2

ωx

+ cos(ω x + ) 的最小正周期为 π . 2 3 1 , c = 3, ABC 的面积为 2

π

(2)在锐角 ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 f ( A) =

3 3, 求 a 的值.

第 3 页 共 8 页

刘鹏老师祝你高考成功 19.(12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 = 1, an = (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)是否存在正整数 n 使得 S1 + 说明理由.

Sn + 2(n 1), (n ∈ N * ). n

S S2 + … + n (n 1)2 = 2009 ?若存在,求出 n 值;若不存在, 2 n

20.(12 分)已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx ( a, b 为常数且 a ≠ 0 )满足 f (1 x ) = f (1 + x ), 且方程

f ( x ) = x 有等根.
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 g ( x ) = 1 2 f ( x)( x > 1) 的反函数为 g 1 ( x), 若 g 1 (22 x ) > m(3 2 x ) 对 x ∈ [1, 2] 恒成立, 求实数 m 的取值范围.

21.(12 分) [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,正项数列 {an } 满足 a1 = 1, (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)求证: a2 2 + a3 2 + … + an 2 >

an 2 an 12 = 1. an 12 an 2

1 [log 2 n]( n > 2); 2

(3)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 求证:当 n > 2 时,有

Sn 2 +

S S 1 S S < 2( 1 + 2 + 3 + … + n ) + log 2 an . 2 1 2 3 n

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