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高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式练习新人教A版5教案


2.2

第 1 课时

等差数列的概念与通项公式

A 级 基础巩固 一、选择题 1.有穷等差数列 5,8,11,…,3n+11(n∈N )的项数是( A.n C.n+4 B.3n+11 D.n+3
*

)

解析:在 3n+11 中令 n=1,结果为 14,它是这个数列的第 4 项,前面还有 5,8,11 三项,故这个数列的项数为 n+3. 答案:D 2.若{an}是等差数列,则由下列关系确定的数列{bn}也一定是等差数列的是( A.bn=an C.bn=an+an+1
2

)

B.bn=an+n D.bn=nan

2

解析:{an}是等差数列,设 an+1-an=d,则数列 bn=an+an+1 满足:

bn+1-bn=(an+1+an+2)-(an+an+1)=an+2-an=2d.
答案:C 3.数列{an}中,an+1= ,a1=2,则 a4 为( 1+3an A. 8 8 16 B. C. 7 5 5 1 D. 2 19

an

)

解析:因为 所以 所以 1 1

an+1

1+3an = ,

an

an+1 an an+1 an

1 = +3, 1 - =3,

1 1 所以 = +3(n-1), an 2 1

a4 2

1 19 = +3(4-1)= , 2

2 所以 a4= . 19 答案:D 4.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( A.100 B.99 C.98 D.97 )

1

解析:由已知,?

? ?9a1+36d=27, ? ?a1+9d=8,

所以

a1=-1,d=1,a100=a1+99d=-1+99=98,故选 C.
答案:C 5.若 lg 2,lg(2 -1),lg(2 +3)成等差数列,则 x 的值等于( A.0 B.log25 C.32 D.0 或 32 解析:依题意得 2lg(2 -1)=lg 2+lg(2 +3), 所以(2 -1) =2(2 +3), 所以(2 ) -4·2 -5=0, 所以(2 -5)(2 +1)=0, 所以 2 =5 或 2 =-1(舍), 所以 x=log2 5. 答案:B 二、填空题 6.已知 a,b,c 成等差数列,那么二次函数 y=ax +2bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交 点有________个. 解析:因为 a,b,c 成等差数列,所以 2b=a+c,又因为 Δ =4b -4ac=(a+c) -4ac =(a-c) ≥0 所以二次函数的图象与 x 轴的交点有 1 或 2 个. 答案:1 或 2 7.若关于 x 的方程 x -x+m=0 和 x -x+n=0(m,n∈R,且 m≠n)的四个根组成首项 1 为 的等差数列,则 m+n 的值为________. 4 解析:设 x -x+m=0,x -x+n=0 的根分别为 x1,x2,x3,x4,则 x1+x2=x3+x4=1. 1 设数列的首项为 x1,则根据等差数列的性质,数列的第 4 项为 x2,由题意知 x1= , 4 3 1 - 4 4 1 3 所以 x2= ,数列的公差 d= = , 4 4-1 6 1 1 5 5 1 7 所以数列的中间两项分别为 + = , + = . 4 6 12 12 6 12 3 5 7 35 所以 x1·x2=m= .x3·x4=n= × = . 16 12 12 144 3 35 31 所以 m+n= + = . 16 144 72
2 2 2 2 2 2 2 2

x

x

)

x

x

x

2

x

x 2

x

x

x

x

x

2

31 答案: 72 8.数列{an}是首项为 2,公差为 3 的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为 4 的等 差数列.若 an=bn,则 n 的值为________. 解析:an=2+(n-1)×3=3n-1,

bn=-2+(n-1)×4=4n-6,
令 an=bn,得 3n-1=4n-6,所以 n=5. 答案:5 三、解答题 9.在等差数列{an}中, (1)已知 a5=-1,a8=2,求 a1 与 d; (2)已知 a1+a6=12,a4=7,求 a9. 解:(1)因为 a5=-1,a8=2, 所以?
?a1+4d=-1, ? ? ?a1+7d=2,

解得?

?a1=-5, ? ? ?d=1.

(2)设数列{an}的公差为 d.由已知得,
?a1+a1+5d=12, ?a1=1, ? ? ? 解得? ?a1+3d=7, ?d=2. ? ?

所以 an=1+(n-1)×2=2n-1, 所以 a9=2×9-1=17. 10.若等差数列{an}的公差 d≠0 且 a1,a2 是关于 x 的方程 x -a3x+a4=0 的两根,求数 列{an}的通项公式. 解:由题意知?
?a1+a2=a3, ? ?a1a2=a4, ?
2

? ?2a1+d=a1+2d, 所以? ?a1(a1+d)=a1+3d. ?

解得?

?a1=2, ? ?d=2, ?

所以 an=2+(n-1)×2=2n. 故数列{an}的通项公式为 an=2n. B 级 能力提升 1.已知 x≠y,且两个数列 x,a1,a2,…,am,y 与 x,b1,b2,…,bn,y 各自都成等 差数列,则 A.

a2-a1 等于( b2-b1

)

m m+1 n n+1 B. C. D. n n+1 m m+1
3

解析:设这两个等差数列公差分别是 d1,d2,则 a2-a1=d1,b2-b1=d2,第一个数列共 (m+2)项,所以 d1=

y-x ; m+1 y-x a2-a1 d1 n+1 ,这样可求出 = = . n+1 b2-b1 d2 m+1

第二个数列共(n+2)项,所以 d2= 答案:D

2.在数列{an}中,a1=3,且对于任意大于 1 的正整数 n,点( an, an-1)都在直线 x -y- 3=0 上,则 an=________. 解析:由题意得 an- an-1= 3,所以数列{ an}是首项为 3,公差为 3的等差数列, 所以 an= 3 n,an=3n . 答案:3n
2 2

3.已知函数 f(x)=

3x * ,数列{xn}的通项由 xn=f(xn-1)(n≥2 且 x∈N )确定. x+3

?1? (1)求证:? ?是等差数列; ?xn?

1 (2)当 x1= 时,求 x2 015. 2 (1)证明:因为 f(x)= 3x ,数列{xn}的通项, x+3

xn=f(xn-1),
所以 xn= 3xn-1 , xn-1+3

1 1 1 所以 = + , xn xn-1 3 1 1 1 所以 - = , xn xn-1 3
?1? 所以? ?是等差数列. ?xn?

1 1 (2)解:x1= 时, =2, 2 x1 1 1 n+5 所以 =2+ (n-1)= , xn 3 3 所以 xn= 3

n+5



所以 x2 015=

3 . 2 020

4


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