当前位置:首页 >> 数学 >>

2014届高三数学一轮复习专讲专练(教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练):10.2 用样本估计总体_图文

第十章 统计、统计案例及算法初步

§10.2

用样本估计总体

01教材回扣

02考点分类

03课堂内外

双基限时练

[高考调研 明确考向] 考 纲 解 读 考 情 分 析

?了解分布的意义和作用, 会列频率分 ?频率分布直方图、茎 布表,会画频率分布直方图、频率折 线图、茎叶图,理解它们各自的特点.叶图、平均数、方差、 ?理解样本数据标准差的意义和作用, 标 准 差 是 考 查 的 重 会计算标准差. 点,同时考查对样本 ?能从样本数据中提取基本的数字特 估计总体思想的理 征(如平均数、标准差),并给出合理 解. 的解释.

考 纲 解 读 ?会用样本的频率分布估计 总体分布, 会用样本的基本 数字特征估计总体的基本 数字特征, 理解用样本估计 总体的思想. ?会用随机抽样的基本方法

考 情 分 析

?频率分布直方图等内容经 常与概率等知识相结合出 题. ?题型以选择题和填空题为

和样本估计总体的思想, 主,属于中、低档题. 解 决一些简单的实际问题.

01教材回扣

自主学习

必考必记,学教相长

知识梳理 1.频率分布直方图 (1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种,一种是用 1 2 □________估计总体的分布.另一种是用□____________ 估计总体的数字特征.

3 (2)在频率分布直方图中,纵轴表示□________,数据落 4 在各小组内的频率用□__________________表示. 各小长方 5 形的面积总和□________.

2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形 6 上端的□______,就得到频率分布折线图. 7 (2)总体密度曲线:随着□____________的增加,作图时 8 9 □____________增加,□______减小,相应的频率折线图 会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为总 体密度曲线.

3.茎叶图的优点 用茎叶图表示数据有两个突出的优点: 10 一是从统计图上没有□________________的损失, 所有 11 的□____________都可以从茎叶图中得到; 12 二是茎叶图可以在比赛时 □ ________,方便记录与表 示.

4.标准差和方差 13 (1)标准差是样本数据到平均数的一种□__________. 14 (2)标准差:s=□ ______________________________. 15 (3)方差:s2=□____________________________ (xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数).

5.利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 16 直方图的面积□____________,由此可以估计中位数的值. (2)平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个 17 小矩形的面积乘以小矩形底边中点的□____________. (3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中 18 点的□____________.

1 答案:□ 样本的频率分布 频率 组距 本容量 信息

2 3 □样本的数字特征 □ 1 6 7 □中点 □样

4 5 □各小长方形的面积 □等于

8 9 10 11 □所分的组数 □组距 □原始信息 □数据

12 13 □随时记录 □平均距离

14 □

1 [?x1- x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2] n 16 □应该相等

15 1[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2] □n 17 18 □横坐标之和 □横坐标

名 师 微 博 ●两个异同 (1)众数、中位数与平均数的异同 ①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的 量,平均数是最重要的量.②由于平均数与每一个样本数据 有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改 变,这是中位数、众数都不具有的性质.

③众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部 分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其 众数往往更能反映问题.④某些数据的变动对中位数可能没 有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数 据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描 述其集中趋势.

(2)标准差与方差的异同 标准差、 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标 准差、方差越大,数据的离散程度就越大;标准差、方差越 小,数据的离散程度则越小,因为方差与原始数据单位不同, 且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差在 刻画样本数据的分散程度上是一样的, 但在解决实际问题时, 一般多采用标准差.

●三个特征 利用频率分布直方图估计样本的数字特征:①中位数: 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相 等,由此可以估计中位数的值.②平均数:平均数的估计值 等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和.③众 数:最高的矩形的中点的横坐标.

基 础 自 测 1.某工厂生产滚珠, 从某批产品中随机抽取 8 粒, 量得直 径分别为(单位:mm):14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9, 则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为( A.14.8 mm C.15.0 mm )

B.14.9 mm D.15.1 mm

1 解析:平均数 x =8(14.7+14.6+15.1+15.0+14.8+15.1 +15.0+14.9)=14.9(mm).

答案:B

2.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是 15,17,14,10,15,19,17,16,14,12, 则这一天 10 名工人生产的零件 的中位数是( A.14 C.15 ) B.16 D.17

解 析 : 将 这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 得 15+15 10,12,14,14,15,15,16,17,17,19,故中位数为 =15. 2

答案:C

3.一个容量为 100 的样本,其数据的分组与各组的频数 如下:
组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 频数 12 13 24 15 16 13 7

则样本数据落在(10,40]上的频率为( A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64

)

解析:由列表可知样本数据落在(10,40]上的频数为 52, 故其频率为 0.52.

答案:C

4.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于 70 km/h 的汽 车视为“超速”,并将受到处罚,如图是某路段的一个检测 点对 200 辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图, 则从图中可以看出被处罚的汽车大约有( A.30 辆 B.40 辆 C.60 辆 D.80 辆 )

解析:由题图可知,车速大于或等于 70 km/h 的汽车的 频率为 0.02×10=0.2,则将被处罚的汽车大约有 200×0.2= 40(辆).

答案:B

5.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s2=__________.

10+6+8+5+6 1 2 解析:∵平均数 x = =7,∴s =5[(10- 5 1 7) +(6-7) +(8-7) +(5-7) +(6-7) ]=5×(9+1+1+4+
2 2 2 2 2

1)=3.2

答案:3.2

02考点分类

案例剖析

研习考点,触类旁通

考点一

频率分布直方图的绘制与应用

[例 1]

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出

60 名 学 生 , 将 其 物 理 成 绩 ( 均 为 整 数 ) 分 成 六 段 [40,50) , [50,60),?,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图,观察 图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方 图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为 代表,据此估计本次考试中的平均分.

解析: (1)设分数在[70,80)内的频率为 x, 根据频率分布直 方图,有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得 x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.

(2)平均分为: x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71(分).

方法点睛

频率分布直方图直观形象地表示了样本的频

率分布,从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率 分布.根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时, 一般是采取组中值乘以各组的频率的方法.

变式训练 1 有一个容量为 200 的样本, 其频率分布直方 图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落 在区间[10,12)内的频数为( A.18 B.36 ) C.54 D.72

解析: 样本数据落在区间[10,12)内的频率 1-(0.19+0.15 + 0.05 + 0.02)×2 = 0.18 , 所 以 数 据 落 在 此 区 间 的 频 数 为 200×0.18=36.

答案:B

考点二

茎叶图的应用

[例 2]

如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、 乙两名

选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0~9 中的一个), 去掉 一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分 别为 a1、a2,则一定有( )

A.a1>a2 C.a1=a2

B.a2>a1 D.a1,a2 的大小与 m 的值有关

解析:去掉一个最高分和一个最低分后,甲选手叶上的 数字之和是 20,乙选手叶上的数字之和是 25,故 a2>a1,故 选 B.

答案:B

方法点睛

由于茎叶图完全反映了所有的原始数据,解

决由茎叶图给出的统计图表试题时,就要充分使用这个图表 提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断,这 类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等.

变式训练 2 在一项大西瓜品种的实验中, 共收获甲种大 西瓜 13 个、 乙种大西瓜 11 个, 并把这些大西瓜的重量(单位: 斤,1 斤=500 克)制成了茎叶图,如图所示,据此茎叶图写 出对甲乙两种大西瓜重量的两条统计结论是:

(1)_______________________________________. (2)_______________________________________.

解析:从这个茎叶图可以看出,甲种大西瓜的重量大致 对称,平均重量、众数及中位数都是 30 多斤;乙种大西瓜的 重量除了一个 51 斤外,也大致对称,平均重量、众数及中位 数都是 20 多斤,但甲种大西瓜的产量比乙种稳定,总体情况 比乙好.

答案:(1)甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜 种大西瓜的产量比乙种大西瓜稳定

(2)甲

考点三

用样本的数字特征估计总体的数字特征

[例 3]

甲乙二人参加某体育项目训练, 近期的五次测试成

绩得分情况如图.

(1)分别求出两人得分的平均数与方差; (2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评 价.

解析:(1)由图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲:10 分,13 分,12 分,14 分,16 分 乙:13 分,14 分,12 分,12 分,14 分. x


10+13+12+14+16 = = 13 , 5

x





13+14+12+12+14 =13, 5 1 s甲=5[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16
2

-13)2]=4,

1 s乙=5[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14
2

-13)2]=0.8.
2 (2)由 s2 >s乙可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成 甲

绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在 不断提高,而乙的成绩则无明显提高.

方法点睛

平均数与方差都是重要的数字特征,是对总

体的一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意 义,平均数、中位数、众数描述其集中趋势,方差和标准差 描述其波动大小.

变式训练 3 甲、 乙两名射击运动员参加某大型运动会的 预选赛,他们分别射击了 5 次,成绩如下表(单位:环): 甲 乙 10 10 8 10 9 7 9 9 9 9

如果甲、乙两人中只有 1 人入选,则入选的最佳人选应 是__________.

1 解析:x 甲= x 乙=9 环,s甲=5[(9-10)2+(9-8)2+(9-9)2
2

2 +(9-9) +(9-9) ]=5,
2 2

1 s乙=5[(9-10)2+(9-10)2+(9-7)2+(9-9)2+(9-9)2]=
2

6 2 5>s甲,故甲更稳定,故选甲.

答案:甲

03课堂内外

学海拾贝

名师在线,特色奉献

规范解答(三) [试题]

解答茎叶图与概率的综合性问题

(2011· 北京, 分)以下茎叶图记录了甲、 12 乙两组

各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊,无法 确认,在图中以 X 表示.

(1)如果 X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差; (2)如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学, 求这两名同学的植树总棵数为 19 的概率. 1 (注:方差 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其
2

中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数)

规范解答:(1)当 X=8 时,由茎叶图可知,乙组同学的植 8+8+9+10 35 树棵数是:8,8,9,10,所以平均数为 x = = .(2 4 4 分) 35?2 ? 35?2 ? 35?2 1?? 方差为 s =4??8- 4 ? +?8- 4 ? +?9- 4 ? + ?? ? ? ? ? ?
2

? 35?2? 11 ?10- ? ?= .(5 4 ? ? 16 ?

分)

(2)记甲组四名同学为 A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数 依次为 9,9,11,11;乙组四名同学为 B1,B2,B3,B4,他们植 树的棵数依次为 9,8,9,10.分别从甲、 乙两组中随机选取一名同 学,所有可能的结果有 16 个,他们是:(A1,B1),(A1,B2), (A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4), (A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2), (A4,B3),(A4,B4)(9 分)

用 C 表示:“选出的两名同学的植树总颗数为 19”这一 事件,则 C 中的结果有 4 个,它们是:(A1,B4),(A2,B4), 4 1 (A3,B2),(A4,B2).故所求概率为 P(C)= = .(12 分) 16 4

点评:茎叶图一般记录两组的数据,它最直观、最清晰, 但利用茎叶图解决概率问题时对重复出现的数据要重复记 录,不能遗漏.

word部分:
请做:双 基 限 时 练
点此进入该word板块