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湖南省长沙市雅礼中学2016届高三上学期月考(三)考试数学(文)试题

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 8 页.时量 120 分钟.满分 150 分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? ?x | x ? 0? ,且 B ? A ,则集合 B 可能是 A.{1,2} B. ?x | x ? 1 ? C.{-1,0,1} D.R

2.已知 a=(2,m),b=(-1,m),若(2a-b)⊥b,则|a|= A.2 3.复数 A. ? B.3 C.4 D.5

1 的虚部是 1? i
B.

1 2

1 2

C. i

1 2

D. ?

1 i 2

4.如图是雅礼中学校园歌手大赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 0-9 中的一个) ,去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别 为 a1 , a2 ,则一定有

A. a1 ? a2 C. a1 ? a2
2

B. a2 ? a1 D. a1 , a2 的大小与 m 的值有关

5.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 A. ?2 B.2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2
D.4

C. ?4

6.设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为 2, 2 3 ,4,则其外接球的表面积为

A.48π

B.32π

C.20π

D.12π

7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a8 ? 13 且 S7 ? 35 ,则 a7 ? A.11 B.10 C.9 D.8

8.将函数 y ? cos 2 x 的图象先向左平移 对应的函数解析式是 A. y ? ? sin 2 x C. y ? 2sin 2 x

? 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得图象 2

B. y ? ? cos 2 x D. y ? ?2cos2 x

9.执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为

A.4

B.5

C.6

D.7

10.设 a 是函数 f ? x ? ? 2x ? log 1 x 的零点,若 x0 ? a ,则 f ? x0 ? 的值满足
2

A. f ? x0 ? ? 0 C. f ? x0 ? ? 0

B. f ? x0 ? ? 0 D. f ? x0 ? 的符号不确定

11.某几何体的三视图如图所示,当 xy 最大时,该几何体的体积为

A. 2 7 12.已知方程 A. tan ? ? ?

B. 3 7

C. 4 7

D. 6 7

| sin x | ? k 在 ? 0, ??? 有两个不同的解 α ,β (α <β ),则下面结论正确的是 x
B. tan ? ? ?

? ?

? ? 1? ? ?? 4 ? 1??

? ?

? ? 1?? ?? 4 ? 1? ?

C. tan ? ? ?

? ?

? ? 1? ? ?? 4 ? 1? ?

D. tan ? ? ?

? ?

? ? 1? ? ?? 4 ? 1? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上.

?x ? 2 ? 13.已知实数对(x,y)满足 ? y ? 1 ,则 2 x ? y 的最小值是 ?x ? y ? 0 ?
14.等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 20, a3 ? a4 ? 40 ,则 a5 ? a6 等于

.

.

15.函数 f ? x ? ? x3 ? 3x ?1,若对于区间上的任意 x1 , x2 ,都有 | f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? t ,则实 数 t 的最小值是 16. F1 , F2 是双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两 a 2 b2
.

支分别交于 A、B 两点,若 AB : BF2 : AF2 ? 3: 4: 5 ,则双曲线的离心率为 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中 随机抽取 20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:

X 频率

1

2 0. 2

3 0.45

4

5

a

b

c

(1) 若所抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,

b,c 的值;
(2) 在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 X1 , X 2 , X 3 ,等级系数为 5 的 2 件日 用品记为 Y1 , Y2 ,现从 X1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的 可能性相同),求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 数 f ? x ? 的最小正周期为 π . (1) 求 f ? x ? 的单调递增区间;

1 3 sin ? x cos ? x ? cos 2? x, ? ? 0, x ? R ,且函 2

(2) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,又 f ? 的面积等于 3,求边长 a 的值. 19. (本小题满分 12 分)

?A ?? 4 ? ? ? , b ? 2 ,且△ABC ?2 3? 5

已知 ABCD 是矩形,AD=2AB,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点,PA⊥平面 ABCD. (1) 求证:DF⊥平面 PAF; (2) 若在棱 PA 上存在一点 G,使得 EG//平面 PFD,求

AG 的值. AP

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 相交于 A、B 两点. a b
(1)若椭圆的离心率为

2 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 2
??? ?

(2)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 e ? ? ,

??? ?

?1

?2

2? ? 时, 2 ?

求椭圆长轴长的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 , f ? x ? 在点 3, f ?3? 处的切线方程为 12 x ? 12 y ? 27 ? 0 . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)若对任意的 x ? [1, ??) , f ' ? x ? ? k ln x 恒成立,求实数 k 的取值范围.

?

?

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写 清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知圆 C 的参数方程为 ? (t 为参数). (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?x ? t ? x ? cos ? ? 1 ? , (θ 为参数) , 直线 l 的参数方程为 ? , ? ? y ? sin ? ? y ? ?2 3 ? 3t

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? log2 ?| x ?1| ? | x ? 5| ?a ? (1)当 a=2 时,求函数 f ? x ? 的最小值; (2)当函数 f ? x ? 的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围. 炎德?英才大联考 雅礼中学 2016 届高三月考试卷(三) 数学(文科)参考答案 一、选择题 1.A 9.A 二、填空题 13.3 14.80 15.20 16. 3 2.B 10.C 3.A 11.A 4.B 5.D 12.C 6.B 7.D 8.C

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】(1)由频率分布表得 a ? 0.2 ? 0.45 ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 0.35 ,????1 分

因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b ? 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c ? 从而 a ? 0.35 ? b ? c ? 0.1 , 所以 a ? 0.1, b ? 0.15, c ? 0.1.

3 ? 0.15 ,????3 分 20

2 ? 0.1 , ????????????????4 分 20

????????????????6 分

(2)从日用品 X1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 ,中任取两件,所有可能结果 ? X1, X 2 ? , ? X1, X 3 ? , ? X1, Y1 ? ,

? X1,Y2 ? , ? X 2 , X3 ? , ? X 2 ,Y1 ? , ? X 2 ,Y2 ? , ? X3 ,Y1 ? , ? X3 ,Y2 ? , ?Y1,Y2 ? 有 10 种,??????9 分
设事件 A 表示“从日用品 X1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的基 本事件为 ? X1, X 2 ? , ? X1, X 3 ? , ? X 2 , X 3 ? , ?Y1, Y2 ? 共 4 个,???????????11 分 故所求的概率 P ? A ? ?

4 ? 0.4 . ??????????????????????12 分 10
3 1 ?? ? sin 2? x ? cos 2? x ? sin ? 2? x ? ? ,由 f ? x ? 的最小正 2 2 6? ?

18.【解析】(1)因为 f ? x ? ? 周期为 π ,得 ω =1. ∵ 2 k? ?

????????????????????????????3 分

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,即 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z .

所以,函数 f ? x ? 的增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

, k ? Z .?????????????6 分

(2)∵ f ? ∵S ?

4 3 ?A ?? 4 ? ? ? , A ? ? 0, ? ? ,∴ cos A ? ,sin A ? .??????????8 分 5 5 ?2 3? 5
??????????10 分 ??????????12 分

1 3 bc sin A ? 3, b ? 2,sin A ? ,? c ? 5 . 2 5
2 2 2

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cosA ? 13 ,∴ a ? 13 .

19. 【解析】(1) 在矩形 ABCD 中,因为 AD=2AB,点 F 是 BC 的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°. 所以∠AFD=90°,即 AF⊥DF. ???????????????????????3 分 又 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥DF,所以 DF⊥平面 PAF. ????????????6 分 (2) 过 E 作 EH//FD 交 AD 于 H,

1 AD.再过 H 作 HG//PD 交 PA 于 G, ?????????8 分 4 1 所以 GH//平面 PFD,且 AG= PA.所以平面 EHG//平面 PFD,??????????10 分 4 AG 1 ? .?????????????????12 分 所以 EG//平面 PFD,从而点 G 满足 AP 4
则 EH//平面 PFD,且 AH= 20 . 【解析】 (1) e ?

2 , 2c ? 2,? a ? 2, c ? 1 ,则 b ? a2 ? c2 ? 1 ,∵椭圆的方程为 2

? x2 x ? ? y2 ? 1 2 2 ? y ? 1 ,联立 ? 2 ,消去 y 得: 3x ? 4 x ? 0 ,设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 2 ? y ? ?x ?1 ?
2

4 ? 4 1? A ? , ? ? , B ? 0,1? ,?| AB |? 2 .??????????????????????6 分 3 ? 3 3? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? (2) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ∵ O A? O B , ∴ O A? O B ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 由

? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2 消去 y 得 ? a ? b ? x ? 2a x ? a ?1 ? b ? ? 0 ,由 ?a b ? y ? ?x ?1 ?
? ? ? ?2a 2 ? ? 4a 2 ? a 2 ? b2 ??1 ? b2 ? ? 0 ,整理得 a 2 ? b2 ? 1 ,又
2

a 2 ?1 ? b2 ? 2a 2 x1 ? x2 ? 2 2 , x1 x2 ? 2 2 ,∴ a ?b a ?b

y1 y2 ? ? ?x1 ?1?? ?x2 ?1? ? x1x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1,由 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 得
2x1x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 0 ,∴

2a 2 ?1 ? b2 ? a 2 ? b2

?

2a 2 ? 1 ? 0 ,整理得 a 2 ? b2 ? 2a 2b2 ? 0 ,∵ 2 2 a ?b

b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e2 , 代 入 上 式 得 2a 2 ? 1 ?

1 1? 1 ? 2 , ∴ a ? ?1 ? ? ,∵ 2 1? e 2 ? 1 ? e2 ?

1 2 1 1 ?e? ,? ? e2 ? ,∴ 2 2 4 2
1 3 4 1 7 1 7 3 2 2 ? 1 ? e2 ? ,? ? ? 2,? ? 1 ? ? 3,? ? a 2 ? , 适合条件 a ? b ? 1 , 由 2 2 2 4 3 1? e 3 1? e 6 2
此得

42 6 42 ?a? ? 2a ? 6 ,故长轴长的最大值为 6 .???????12 分 ,∴ 6 2 3
9 2 9 ①???????1 分 2

21. 【解析】(1)将 x ? 3 代入直线方程得 y ? ? ,? 27a ? 9b ? ?

f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx, f ' ?3? ? ?6,?27a ? 6b ? ?6 ② ??????????????2 分
①②联立,解得 a ? ? , b ?
2

1 3

1 1 1 ,? f ? x ? ? ? x 3 ? x 2 .?????????????4 分 2 3 2
2

(2) f ' ? x ? ? ? x ? x ,∴ ? x ? x ? k ln x 在 x ??1, ?? ? 恒成立; 即 x ? x ? k ln x ? 0 在 x ??1, ?? ? 恒成立;??????????????????5 分
2

设 g ? x ? ? x ? x ? k ln x, g ?1? ? 0 ,∴只需证对任意 x ??1, ?? ? 有 g ? x ? ? g ?1? .???6 分
2

g ' ? x ? ? 2x ?1 ?
2

k 2x2 ? x ? k ? , x ? ?1, ?? ? , ????????????????7 分 x x

设 h ? x ? ? 2x ? x ? k ,???????????????????????????8 分 ①当 ? ? 1 ? 8k ? 0 ,即 k ?

1 时, h ? x ? ? 0 ,∴ g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,∴ 8

g ? x ? ? g ?1? ;???????????????????????????9 分
② 当 ? ?1 ?8k ? 0, 即 k ?

1 2 时 , 设 x1 , x2 是 方 程 2 x ? x ? k ? 0 的 两 根 且 x1 ? x2 , 由 8

x1 ? x2 ?

1 ,可知 x1 ? 1 ,分析题意可知当 x2 ? 1 时对任意 x ??1, ?? ? 有 g ? x ? ? g ?1? ;∴ 2

1 h ?1? ? k ? 1 ? 0, k ? ?1,? ?1 ? k ? ,????????????????????11 分 8

综上分析,实数 k 的取值范围为 ? ?1, ??? .

????????????????12 分
2 2

22 . 【解析】 (1) 易得圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 0 ,因此圆 C 的极坐标方程为

? ? 2cos ? . ???????????????????????????????5 分
1 ? x? s ? ? s 2 ? ?x ? t 2 2 (2)令 t ? ,直线 ? 化为 ? ,代入 x ? y ? 2 x ? 0 中,得 2 ? ? y ? ?2 3 ? 3t ? y ? ?2 3 ? 3 s ? ? 2
s 2 ? 7s ? 12 ? 0 ,解得 s1 ? 3, s2 ? 4,| AB |?| s1 ? s2 |? 1. ?????????????10 分


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