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高二数学选修2-2~2.2.1直接证明-综合法和分析法


苏教高中数学选修2-2

※2.2直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
2013年8月6日星期W

复习回顾
推理
(或然性推理)

合情推理

演绎推理 (必然性推理) 三段论 (一般到特殊)

归纳 (特殊到一般)

类比 (特殊到特殊)

注:(1)演绎推理是证明数学结论、建立数学 体系的重要思维过程. (2)数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.

引例1 已知a>0,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0

所以b(c2+a2)≥ 2abc.
因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
例:.已知a、b、c为不全相等的正数, b+c-a c+a-b a+b-c 求证: + + > 3. a b c

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的 结论成立,这种证明方法叫做综合法. 若用P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的结论, 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q 2
Q2 ? Q3



Qn ? Q

特点:由因导果.

Ex1 在△ABC中,三个内角A、B、C对应的边 分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、 c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

分析 :由A,B,C成等差数列可得什么? 由a,b,c成等比数列可得什么?

a+b 引例2 回顾基本不等式: ? 2

ab

(a>0,b>0)的证明.
证明: 因为 ( a ? b ) ? 0
2

a+b 证明:要证 ? ab 2 只需证 a + b ? 2 ab

所以 a + b ? 2 ab ? 0 所以 a + b ? 2 ab
a+b 所以 ? ab 成立 2

只需证 a + b ? 2 ab ? 0
只需证 ( a ? b )2 ? 0

因为 ( a ? b )2 ? 0 成立

a+b 所以 ? 2

ab 成立

一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证 过程中,使每一步结论成立的充分条件,直至 最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止,这种证明的方法叫做分析法. 若用P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的结论, 则用框图表示分析法的思考过程、特点:
Q ? P1
P1 ? P2

P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

特点:执果索因.

Ex2如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB 的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F, S 求证:AF⊥SC
证明:要证AF⊥SC 只需证:SC⊥平面AEF 只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC 只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC 因为:SA⊥平面ABC成立 所以 AF⊥SC成立
F E A C

B

综合法补例分析 例.已知a、b、c 为不相等正数 ,且abc = 1,
1 1 1 证求 :a + b + c < + + . a b c
1 1 1 ∴ + + = bc + ca + ab a b c
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ,且abc = 1,

bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2

>

abc2 +

a2bc +

ab2c =

a + b + c.

1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c

例.已知a、b、c 为 不相等正数 ,且abc = 1, 1 1 1 证求 :a + b + c < + + . a b c

证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ,且abc = 1,

1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab

1 1 1 1 1 1 + + + b c+c a+a b 1 1 1 < = + + . 2 2 2 a b c

1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c

例:已知a > 5,求证 :
? ? ? ? ? ? ? ?

分析法补例分析

a -5 - a -3 <

证明: 要证 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 只需证 a - 5 ? a < a - 2 + a - 3 只需证 a(a - 5)< (a - 2)(a - 3) 只需证 a(a - 5)<(a - 2)(a - 3) 只需证 0 < 6 因为 0 < 6 成立. 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.

a - 2 - a.

若用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
P P1 P1 P2 …
Pn-1 Qm-1 Pn Qm

… Q1 Q2

Q

Q1


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