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海南省洋浦中学2014—2015学年第一学期期末考试高二年级数学(理科)模拟试卷教师版


海南省洋浦中学 2014—2015 学年第一学期期末考试高二年级数学 (理科)模拟试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. “所有 9 的倍数都是 3 的倍数, 某奇数是 9 的倍数, 故该奇数是 3 的倍数” , 上述推理 ( A.小前提错 B.结论错 C.正确 D.大前提错 )

2. 定义运算

a c

b 1 ? ad ? bc ,则符合条件 d z
B. 1 ? 3i

?1 ? 4 ? 2i 的复数 z 为 zi
C. 3 ? i D. 1 ? 3i

A. 3 ? i

3. 已知点 M 在平面 ABC 内, 并且对空间任一点 O ,OM ? xOA ?

1 1 OB ? OC 则 x 的 2 3

值为(



A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D. 0

4.已知 m、n 是两条不重合的直线, ?、 ? 是两个不同的平面,则下列真命题的是( ) A. 若 m // n, n // ? 则 m // ? C. 若 m ? ? , m // ? 则 ? ? ?
3 3 2 3 3

B. 若 m、n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? D. 若 m ? ? , ? ? ? 则 m // ?
3 2 3 3 3 3 2

5.观察下列等式, 1 ? 2 ? 3 , 1 ? 2 ? 3 ? 6 , 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,根据上述规律,

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 53 ? 63 ? (
A. 19
2

) C. 21
2

B. 20

2

D. 22

2

6.在复平面内,向量 AB 对应的复数是 2+ i ,向量 CB 对应的复数是-1-3 i ,则向量 CA 对应的复数为( A.3+4 i ) B.-3-4 i C.1-2 i D.-1+2 i

??? ?

??? ?

??? ?

7.从 1,2,??,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是( A.



5 9

B.

4 9

C.

11 21

D.

10 21

8.设回归直线方程为 A. C.

? ? 2 ? 1.5x ,则变量 x 增加一个单位时, y (
B.



y 平均增加 1.5 个单位 y 平均减少 1.5 个单位

y 平均增加 2 个单位 y 平均减少 2 个单位

D.

1 1 AB ? BC ? BD 9.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点,则 2 2
A.

等于(



AD

B. GA

C.

AG

D. MG

10.在正方体 AC1 中, M 为棱 DD1 的中点, O 为底面 ABCD 的中心, P 为棱 A1B1 上任意一点, 则直 线 OP 与 AM 所成的角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120°

11.用数学归纳法证明等式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 3) ?

(n ? 3)(n ? 4) (n ? N * ) 时,第一步验证 2

n ? 1 时,左边应取得项是(
A.1

) C.4 D. 以上都不对

B.1+2+3+4

12 投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni) 为纯虚数的概率为(

2

)

A.

B.

C.

D.

二.填空题(5×4=20) 。
2 13.命题 p : ?x0 ? R , x0 ? 2 x0 ? 2 ? 0 ,则命题 p 的否定 ? p :

14. 已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ~ B?n, p ?,且 E? ? 300, D? ? 200, 则 p 等于(



15.已知向量 OA ? (k ,12,1), OB ? (4,5,1), OC ? (?k ,10,1) ,且 A、B、C 三点共线,则 k=

??? ?

??? ?

??? ?



16 .① “在三角形
命题 “

中, 若 则 是

,则

” 的逆命题是真命题; ②命题





的必要不充分条件;③“ ,则

”的否定是 ⑤回归分析中,回归方程

”;④若随机变量

可以是非线性方程.正确的命题是

海南省洋浦中学 2014—2015 学年第一学期期末考试高二年级数学(理科)模拟试卷
第二卷(70 分) 三.解答题(12×5=60) 。 17. 如图,正方形 ACDE 与等腰直角△ ACB 所在的平面互相垂直,且 AC=BC=2 ,

?ACB=90? , F、G 分别是线段 AE、BC 的中点.求 AD 与 GF 所成的角的余弦值.
解:如图,正方形 ACDE 与等腰直角△ACB 所在的 平面互相垂直,且 AC=BC=2, ?ACB=90? , F、G 分别是线段 AE、BC 的中点. 求 AD 与 GF 所成的角的大小. 分析提示:以 C 为原点建立空间直角坐标系 C—xyz A(0,2,0) B(2,0,0) D(0,0,2)G(1,0,0) F(0,2,1)

???? AD ? (0, ?2, 2) ???? | AD |? 2 2

??? ? GF ? (?1, 2,1) ??? ? | GF |? 6
???? ??? ? AD ? GF ? ?2

???? ??? ? ???? ??? ? AD ? GF 3 ? ?? cos ? AD, GF ?? ???? ??? 6 | AD | ? | GF |

18、某射击运动员射击一次所得环数 X 的分布列如下:
X P 0~6 0 7 0.2 8 0.3 9 0.3 10 0.2

现进行两次射击,以该运动员两次射击所得的最高环数作为他的成绩,记为 ? . (1)求该运动员两次都命中 7 环的概率. (2)求 ? 的分布列及数学期望 E ? .

AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 900 , 19.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 且异面直线 A1 B 与 B1C1 所
成的角等于 60 ,设 AA1 ? a .(1)求 a 的值; (2)求平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐 二面角的大小
0

19.解法一: (1)? BC // B1C1 ,

? ?A1 BC 就是异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角,
即 ?A1 BC ? 60 ,??(2 分)
0

连接 A1C ,又 AB ? AC ,则 A1 B ? A1C

? ?A1 BC 为等边三角形,???????????3 分
0 由 AB ? AC ? 1 , ?BAC ? 90 ? BC ?

2,

2 ? A1 B ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? a ? 1 ;???5 分

(2)取 A1 B 的中点 E ,连接 B1 E ,过 E 作 EF ? BC1 于 F ,连接 B1 F ,

B1 E ? A1 B , A1C1 ? B1 E ? B1 E ? 平面 A1 BC1
? B1 E ? BC1
??????7 分 又 EF ? BC1 ,所以 BC1 ? 平面 B1 EF ,即 B1 F ? BC1 , 所以 ?B1 FE 就是平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的平面角。????9 分

在 ?B1 EF 中, ?B1 EF ? 90 ,
0

B1 E ?

2 B F ? 1? 2 1 3 , 2 ,

?

sin ?B1 FE ?

B1 E 3 ? B1 F 2 ? ?B1 FE ? 600 ,??????????11 分
0

因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 。????12 分 说明:取 B1C1 的中点 D ,连接 A1 D ,????同样给分(也给 10 分) 解法二: (1)建立如图坐标系,于是 B(1,0,0) , B1 (1,0,1) , C1 (0,1,1) , A1 (0,0, a) ( a ? 0 )

B1C1 ? (?1,1,0) , A1 B ? (1,0,?a) ,? B1C1 ? A1 B ? ?1 ????3 分
由于异面直线 A1 B 与 B1C1 所成的角 60 , 所以 B1C1 与 A1 B 的夹角为 120
?? ?? 0 ?? ??
0 0

??

??

??

??

z
A1 B1 C1

即 | B1C1 | ? | A1 B | cos120 ? ?1

1 ? 2 ? 1 ? a 2 (? ) ? ?1 ? a ? 1 ???5 分 2
(2)设向量 n ? ( x, y, z ) 且 n ? 平面 A1 BC1 于是 n ? A1 B 且 n ? A1C1 ,即 n? A1 B ? 0 且 n? A1C1 ? 0 , 又 A1 B ? (1,0,?1) , A1C1 ? (0,1,0) ,所以 ?
?
?

C B

y

?

?

x
? ?? ?

?

?? ?

?

?? ?

? ?? ?

??

??

? ?x ? z ? 0 ,不妨设 n ? (1,0,1) ??7 分 ?y ? 0

同理得 m ? (1,1,0) ,使 m ? 平面 BB1C1 , (9 分) 设 m 与 n 的夹角为 ? ,所以依 m? n ?| m | ? | n | ? cos? ,
?
?

? ?

?

?

? 2 ? 2 ? cos ? ? 1 ? cos ? ?
?
?

1 ? ? ? 60 0 ,??????11 分 2
0

m ? 平面 BB1C1 , n ? 平面 A1 BC1 ,
因此平面 A1 BC1 与平面 B1 BC1 所成的锐二面角的大小为 60 。????12 分

20.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗
(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请根据上表提供的数据,求出

关于 的线性回归方程



(2)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程, 预测:生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

21. 第 12 届全国人大五次会议于 2015 年 3 月 5 日至 3 月 14 日在北京召开, 为了搞好对外宣传工
作,会务组选聘了 16 名男记者和 14 名记者担任对外翻译工作,调查发现,男、女记者中分别有 10 人和 6 人会俄语。 (I)根据以上数据完成以下 2X2 列联表:并回答能否在犯错的概率不超过 0.10 的前提下认为性 别与会俄语有关? (II)若从会俄语的记者中随机抽取 3 人成立一个小组,则小组中既有男又有女的概率是多少?

(III)若从 14 名女记者中随机抽取 2 人担任翻译工作,记会俄语的人数为 ,求 的期望。

四、选做题(以下试题同学们只需从中任选一题即可,多做则按答题顺序的第一题记分,本 题满分 10 分)
1、 (本小题 10 分)已知等腰梯形 OABC 的顶点

A,B 在复平面上对应的复数分别为 1 ? 2 i 、 ?2 ? 6 i ,

且 O 是坐标原点, OA ∥ BC .求顶点 C 所对应的复数 z .

2、甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ 和η ,且ξ 、η 分布列为

η P ξ P 1 a 2 0.1 3 0.6

1 0.3

2 b

3 0.3

(1) 求 a、b 的值; (2) 计算ξ 、η 的期望和方差,并以此分析甲、乙的技术状况. 解: (1) 由离散型随机变量的分布列性质可知 a+0.1+0.6=1, 即 a=0.3, 同理 0.3+b+0.3=1, b=0.4. (2) E(ξ )=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,E(η )=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2.V(ξ )=0.81, V(η )=0.6. 由计算结果 E(ξ )>E(η ),说明在一次射击中甲的平均得分比乙高,但 V(ξ )>V(η ),说明甲得分 的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术都不够全面.

3、设 p :指数函数

y ? c x 在 R 上是减函数;q:1 ? 2c ? 0 。若 p∨q 是真命题,p∧q 是假命

题,求 c 的取值范围。


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