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高中数学必修4知识点总结2013.1.4


huanyingjiazai

高中数学

必修 4 知识点

第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象 限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?
l . r

? 180 ? ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?
?
?

?

?

7、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? ,半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则 l ? r ? , C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2

8、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y P T v O M A x

1

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11










2









: ;

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1
? 2?
sin ? ? tan ? cos ?

? sin

? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?



? 6 ? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 13、①的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的 图象;再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的 图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.
②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 不变) ,得到函数
y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移
1

?

倍(纵坐标

? 个单 ?

位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所 有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) 得到函数 ,

y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.

2

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14、函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ? 相: ? . 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得 最大值为 ymax ,则 ? ?
1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2 2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初 ? 2?

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数 y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时 , ymax ? 1 ; 当
x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;当 x ? 2k? ? ?

?
2

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2?

既无最大值也无最小 值

? k ??? 时, ymin ? ?1.
2? 周 期 性 奇 奇函数 偶 性 单 ? ?? ? 调 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ? 性

?

偶函数

奇函数



?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

上 是 增 函 数 ; 在

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

3

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? k ??? 上是增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?
? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心 对 ? k? ,0?? k ??? 称 对 称 性 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2 对 称 中 心



? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

第二章 平面向量 16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶ 三 角 形 不 等 式 : ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ? b .

? ? ? ? ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a .

?

?

?

?

C
2

? ? ? ? ⑸坐标运算: a ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , a ? ? x ?x y ,1? 设 则 b ? 1 2 y b

?.
?

? a

18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ? ? ? ? ⑵坐标运算: a ? ? x1, y1 ? , ? ? x2 , y2 ? , a ? ? x ?x y ,1? 2 设 则 b ? 1 2 y b 设 ? 、 ? 两 点 的 坐 标 分 别 为

? b

?

?.

? x1 , y1 ?



? x2 , y2 ?

, 则

? ? ? ? ???? ??? ??? a ? b ? ?C ? ?? ? ?C

? ? ?? ? ? ? x1 ?

x, y1 ? 2

?. ? y2

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ? ? ① ?a ? ? a ;

4

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? ? ? ? ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相 ? ? 反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 .

? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑵运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b .

?

?

? ? ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ?a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .
? ? ? ? 20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使

?

?

? ? b ? ?a .

? ? ? ? ? 设 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、
? ? ? b b ? 0 共线.

?

?

?? ?? ? 21、平面向量基本定理:如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于 ? ? ?? ? ? ? 这一平面内的任意向量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . (不共 ?? ?? ? 线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底)
22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点, ?1 、 ?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,

? x2 , y2 ?

??? ? ???? ? x ? ?x 2 y ? ? y ? 2 , 当 ?1? ? ???2 时 , 点 ? 的 坐 标 是 ? 1 , 1 ? .( 当 1? ? ? ? 1? ?

? ? 1时,就为中点公式。)
23、平面向量的数量积: ? ? ? ? ? ? ? ? ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0? ? ? ? 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 .

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a 2 ? a 或 a ? a ? a .③
? ? ? ? a ?b ? a b . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑶运算律: a ? b ? b ? a ; ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ; a ? b ? c ? a ? c ? b ? c . ① ② ③

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1x2 ? y1 y2 . ? ? ?2 ? ? 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x 2 ? y 2 ,或 a ? x 2 ? y 2 . 设 a ? ? x1, y1 ? ,b ? ? x2 , y2 ? ,则
? ? a ? b ? x 1 2 ? y 1y 2 ? 0 . x
5

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? ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则 ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b c o s? ? ? ? ? . 2 2 a b x12 ? y 12 x 2 ? y 2
第三章 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ? ⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴
sin 2? ? 2sin ? cos ? .? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2

⑵ cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

⑶ tan 2? ? 26、

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

半角公式 : α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?(后两个不用判断符号,更加好用)

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
6

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27、合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次 方”的 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 形式。 ? sin ? ? ? cos ? ? ?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中
? . ? 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会 创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想 方法技巧如下: tan ? ?

(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟 通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15o ? 45o ? 30o ? 60o ? 45o ?
cos

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4


? 30o ; 问 : sin ? 12 2

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?(

?
4

??);

? ? ) ;等等 4 4 (2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角 函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?

??) ? (

?

(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角 函数值,例如常数“1”的代换变形有:
1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般 采 用 降 幂 处 理 的 方 法 。 常 用 降 幂 公 式 有: ; 。 降幂并非绝对, 有时需要升幂, 如对无理式 有:

1? cos? 常 用 升 幂 化 为 有 理 式 , 常 用 升 幂 公 式
; ;

(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及 变形应用。 1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 如: 1 ? tan ? 1 ? tan ?
7

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tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _ tan? ? tan ? ? __________ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ ; __ _
2 tan ? ?

; 1 ? tan2 ? ? ; =



tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?



=
1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ?

; (其中 tan ? ?

; ) ;



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化 低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ?
tan ? ? cot ? ?

; 。

8


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