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福建省南安一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案_图文

高二上学期期中考试数学(理)试题
本试卷考试内容为:人教版选修 2—1,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置)
1.命题 p : ?x ? N , x3 ? x2 的否定形式 ? p 为( )

A. ?x ? N , x3 ? x2

B. ?x ? N , x3 ? x2

C. ?x ? N , x3 ? x2

D. ?x ? N , x3 ? x2

2.过椭圆

x2 4

?

y2

? 1的一个焦点

F1 的直线与椭圆交于

A

、B

两点,则

A

、B

与椭圆的另

一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是( )

A. 2

B. 4

C. 8

D.10

3.若 a?R,则“a= ? 2 ”是“ a2 =4”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条



4.已知空间向量 a =(-1,2,4), b =(x,-1,-2),并且 a ∥ b ,则 x 的值为( )

A.10

B.12

C. -10

D.-12

5.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n =(3,1,2),则下列点 P 中,在

平面 α 内的是( )

A.(1,-1, 1)

B.??1



3



3? 2?

C.??1





3



3? 2?

D.

??-

1



3





3? 2?

6.动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )

A.(x+3)2+y2=4

B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+32)2+y2=12

7. 下列说法正确的是( ) A.若 p 且 q 为假命题,则 p , q 均为假命题
B.“ x ? 2 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件

C.若 m ? 1, 则方程 x2 ? 2x ? m ? 0 无实数根

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

8.已知抛物线 y 2

?

8x

的准线与双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 相交于

A,B

两点,双曲

线的一条渐近线方程是 y ? 2 2x ,点 F 是抛物线的焦点,且△ FAB 是直角三角形,则

双曲线的标准方程是( )

A. x 2 ? y 2 ? 1 16 2

B. x2 ? y 2 ? 1 8

C. x 2 ? y 2 ? 1 2 16

D. x 2 ? y 2 ? 1 8

9.设 A、B、C、D 是空间不共面的四个点,且满足 AB ·AC =0, AD ·AC =0,

AD ·AB =0,则△BCD 的形状是( )

A.钝角三角形

B.直角三角形 C.锐角三角形

D.无法确定

10.如图,

F1

,

F2

是双曲线

C:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1,(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与

C

的左、右两支分别交于 A、B 两点,若| AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3 : 4 : 5 ,则双曲线的离心率为( )

A. 13

B. 15

C.2 D. 3

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置)

11. a ? (2,?1,3),b ? (2,0,3),c ? (0,0,2) ,则 a ?(b ? c) ? ____________.

12 . 已 知 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

?1 的一个焦点为 (

10,0) , 且 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为

x ? 3y ? 0和x - 3y ? 0 ,则该双曲线的方程为____________.

13.已知“3x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件,则 p 的取值范围是____________.

14.设 P 是曲线 y2 ? 4x 上的一个动点,则点 P 到点 A(?1, 2) 的距离与点 P 到 x ? ?1 的距离
之和的最小值为____________ .
15.如图,在 45°的二面角 α-l-β 的棱上有两点 A、B,点 C、D 分别在平面 α、β 内,且 AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BD=AB=1, 则 CD 的长度为____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)

16.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 E 的顶点在原点,焦点为双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的右焦点, 2
(Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知过抛物线 E 的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,且|AB|长为 12,求直线 AB 的方程.
17.(本小题满分 13 分) 已知命题 p:“? x ∈[1,2],x 2- a ≥0”,命题 q:“? x 0∈R, x 20+2 a x 0+2- a =0”,若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.
18.(本小题满分 13 分) 如图所示,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别 是 A1B1 和 A1C1 的中点, BC=CA=CC1=2,
(Ⅰ) 求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值;
(Ⅱ) 求直线 AF1 和平面 ABC 所成的角的正弦值.
19.(本小题满分 13 分) 已知命题 p:曲线方程 x2 ? y 2 ? 1表示焦点在 y 轴的双曲线; 2?k 5?k
命题 q:已知a ?(x,?k,1),b ?(x, x, k ? 3), 对任意 x ? R, a ?b ? 0 恒成立. (Ⅰ) 写出命题 q 的否定形式 ?q ;
(Ⅱ) 求证:命题 p 成立是命题 q 成立的充分不必要条件.
20.(本小题满分 14 分)
如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形,侧面 PAB 是正 三角形, AB ? 2 , BC ? 2 , PC ? 6 .

(Ⅰ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ)已知棱 PA 上有一点 E . (ⅰ)若二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ,求 AE : EP 的值;
(ⅱ)若 Q 为四棱锥 P ? ABCD 内部或表面上的一动点,且

EQ // 平面 PDC ,请你判断满足条件的所有的 Q 点组成的几何图形(或几何体)是怎样
的几 何图形(或几何体).(只需写出结果即可,不必证明)

21.(本小题满分 14 分)

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.

如图,“盾圆 C

”是由椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 与抛物线

y2

?

4x 中两段曲线弧合成,

F1、F2 为椭圆的左、右焦点, F2 (1, 0) , A 为椭圆与抛物线的一个公共点,

AF2

?

5. 2

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过 F2 的一条直线 l ,与“盾圆 C ”依次交于 M、N、G、H 四点,使得 ?F1MH

与 ?F1NG 的面积比为 6 : 5 ?若存在,求出直线 l 方程;若不存在,说明理由.

y
M A
N

F1 O

F2

x

G

H
第 21 题图

南安一中 2013~2014 上学期高二年期中考数学(理)参考答 案

?由韦达定理得

x1

?

x2

?

3k 2 ? 6 k2

,…………………………8



再由抛物线定义知|AB|=

x1

?

x2

+p=

3k 2 k

?
2

6

+3=12…………………………10



解得 k ? ?1,…………………………12 分

?所求直线方程为 2x ? 2 y ? 3 ? 0或2x ? 2 y ? 3 ? 0 .…………………………13 分

17.解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题.…………………………3



若 p 为真命题, a ≤x2 恒成立,

∵x∈[1,2],∴ a ≤1. …………………………7 分 若 q 为真命题,即 x2+2 a x+2- a =0 有实根, Δ =4 a 2-4(2- a )≥0,即 a ≥1 或 a ≤-2,…………………………11 分

综上,实数 a 的取值范围为 a ≤-2 或 a =1. ……………………13 分 18.解:(Ⅰ)如图所示,以 CA,CB,CC1 分别为 x, y, z 轴的非负半轴建立空间直角坐标
系,…………………………1 分 由 BC=CA=CC1=2,得 A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2), A1(2,0,2),B1(0,2,2). ∵D1、F1 为 A1B1、A1C1 的中点, ∴D1(1,1,2),F1(1,0,2),………3 分

∴ BD1 =(1,-1,2), AF1 =(-1,0,2), ∴ BD1 · AF1 =(1,-1,2)·(-1,0,2)=3, | BD1 |= 1+1+22= 6,| AF1 |= 1+22= 5,

20.解:(Ⅰ)取 AB 中点 H ,连接 PH , PAB 是正三角形, H 为 AB 中点, AB ? 2 ,

? PH ? AB ,且 PH ? 3 .…………………………2 分 ABCD 是矩形, AB ? 2 , BC ? 2 ,
? CH ? 1? 2 ? 3 .

P

F

E

B

N

C

又 PC ? 6 ,? PC2 ? PH 2 ? CH 2 ,? PH ? CH .

A

M

D

AB ? CH ? H ,? PH ? 平面 ABCD .

PH ? 平面 PAB ,?平面 PAB ⊥平面 ABCD .………………………………4 分

(Ⅱ) (ⅰ)以 H 为原点建立如图所示的空间坐标系 H ? xyz ,设 AE ? ? AP ?0 ? ? ? 1? ,

? ? ? ? 则 BE ? BA ? AE ? 2 ? ?,0, 3? , BD ? 2, 2 ,0 .…………………………5 分

? ? 设平面

EBD

的法向量为

n

?

?

x,

y

,

z

?

,由

??n ?

?

BD

?

0,
解得

n

?

?

3? ,

6? ,2 ? ?



??n ? BE ? 0,

? ? 即平面 EBD 的一个法向量为 n ? ? 3? , 6? ,2 ? ? .………………………………………7

? ? 又平面 ABD 的一个法向量为 HP ? 0,0, 3 ,

二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ,

? cos 45 ? cos ? n,HP ? ? n ? HP ?

2 3 ? 3?

? 2,

n ? HP 3 ? 10? 2 ? 4? ? 4 2

21.解:(Ⅰ)由 y2 ? 4x 的准线为 x ? ?1,

?

AF2

?

xA

?1

?

5 2

,故记

A(

3 2

,

6)

又 F1(?1,0) ,所以 2a ?

AF1

?

AF2

?

7?5 22

?6,

故椭圆为 x2 ? y2 ? 1 .………4 分 98

(Ⅱ) 设直线 l 为 x ? my ?1(m ? 0) , M (xM , yM )、N (xN , yN )、G(xG , yG )、H (xH , yH )

?x ? my ?1

联立

? ?

x

2

y2

,得 (8m2 ? 9) y2 ?16my ? 64 ? 0 ,………………………………6 分

?? 9 ? 8 ? 1



?
?? ?
? ??

yM yM

? yH yH ?

?

?16m 8m2 ? 9

?64

8m2 ? 9

① ……………………………………………………… 8 分

联立

? ? ?

x y

? my ? 2 ? 4x

1

,得

y

2

?

4my

?

4

?

0

,则

? ? ?

yN yN

? yG

yG ?

? 4m ?4



10 分

?F1MH



?F1NG

的面积比

S?F1MH S?F1NG

?

MH NG

?

yM ? yH yN ? yG

?

(16m)2 ? 4 ? 64(8m2 ? 9) 8m2 ? 9 16m2 ?16

整理得 S?F1MH ? 12 ? 6 ? m2 ? 1 ……………………………………………… 12 分

S?F1NG 8m2 ? 9 5

8

若m ?

2 , 由②知 N、G 坐标为 (2, 2
4

2)、(1 , ? 2

2)

,其中 2

?

xA

?

3 2

,故

N

不在“盾圆 C



上;

同理 m ? ? 2 也不满足,故符合题意的直线 l 不存在.………………………………14 分 4