福建省南安一中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试卷Word版含答案_图文

高二上学期期中考试数学（理）试题
本试卷考试内容为：人教版选修 2—1，分第 I 卷（选择题）和第 II 卷，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题共 50 分）
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置）
1．命题 p : ?x ? N , x3 ? x2 的否定形式 ? p 为（ ）

A. ?x ? N , x3 ? x2

B. ?x ? N , x3 ? x2

C. ?x ? N , x3 ? x2

D. ?x ? N , x3 ? x2

2．过椭圆

x2 4

?

y2

? 1的一个焦点

F1 的直线与椭圆交于

A

、B

两点，则

A

、B

与椭圆的另

一焦点 F2 构成 ?ABF2 ，那么 ?ABF2 的周长是（ ）

A. 2

B. 4

C. 8

D．10

3．若 a?R，则“a＝ ? 2 ”是“ a2 ＝4”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条

件

4．已知空间向量 a ＝(－1,2,4)， b ＝(x，－1，－2)，并且 a ∥ b ，则 x 的值为（ ）

A．10

B．12

C. －10

D．－12

5．已知平面 α 内有一个点 A(2，－1,2)，α 的一个法向量为 n ＝(3,1,2)，则下列点 P 中，在

平面 α 内的是（ ）

A．(1，－1, 1)

B.??1

，

3

，

3? 2?

C.??1

，

－

3

，

3? 2?

D.

??－

1

，

3

，

－

3? 2?

6．动点 A 在圆 x2＋y2＝1 上移动时，它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是（ ）

A．(x＋3)2＋y2＝4

B. (x－3)2＋y2＝1 C. (2x－3)2＋4y2＝1 D. (x＋32)2＋y2＝12

7． 下列说法正确的是（ ） A．若 p 且 q 为假命题，则 p ， q 均为假命题
B．“ x ? 2 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件

C．若 m ? 1, 则方程 x2 ? 2x ? m ? 0 无实数根

D．命题“若 x ? y ，则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题

8．已知抛物线 y 2

?

8x

的准线与双曲线

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 相交于

A,B

两点，双曲

线的一条渐近线方程是 y ? 2 2x ，点 F 是抛物线的焦点，且△ FAB 是直角三角形，则

双曲线的标准方程是（ ）

A． x 2 ? y 2 ? 1 16 2

B． x2 ? y 2 ? 1 8

C． x 2 ? y 2 ? 1 2 16

D． x 2 ? y 2 ? 1 8

9．设 A、B、C、D 是空间不共面的四个点，且满足 AB ·AC ＝0， AD ·AC ＝0，

AD ·AB ＝0，则△BCD 的形状是（ ）

A．钝角三角形

B．直角三角形 C．锐角三角形

D．无法确定

10．如图，

F1

,

F2

是双曲线

C：

x a

2 2

?

y2 b2

? 1，（a>0,b>0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与

C

的左、右两支分别交于 A、B 两点，若| AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3 : 4 : 5 ,则双曲线的离心率为（ ）

A． 13

B． 15

C．2 D． 3

第Ⅱ卷（非选择题共 100 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在答题卡相应位置）

11． a ? (2,?1,3),b ? (2,0,3),c ? (0,0,2) ，则 a ?(b ? c) ? ____________．

12 ． 已 知 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

?1 的一个焦点为 (

10,0) ， 且 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为

x ? 3y ? 0和x - 3y ? 0 ，则该双曲线的方程为____________．

13．已知“3x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件，则 p 的取值范围是____________．

14．设 P 是曲线 y2 ? 4x 上的一个动点，则点 P 到点 A(?1, 2) 的距离与点 P 到 x ? ?1 的距离
之和的最小值为____________ ．
15．如图，在 45°的二面角 α－l－β 的棱上有两点 A、B，点 C、D 分别在平面 α、β 内，且 AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BD＝AB＝1， 则 CD 的长度为____________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）

16．(本小题满分 13 分) 已知抛物线 E 的顶点在原点，焦点为双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的右焦点， 2
(Ⅰ)求抛物线 E 的方程； (Ⅱ)已知过抛物线 E 的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，且|AB|长为 12，求直线 AB 的方程.
17．(本小题满分 13 分) 已知命题 p：“? x ∈[1,2]，x 2－ a ≥0”，命题 q：“? x 0∈R， x 20＋2 a x 0＋2－ a ＝0”，若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围．
18．(本小题满分 13 分) 如图所示，A1B1C1－ABC 是直三棱柱，∠BCA＝90°，点 D1、F1 分别 是 A1B1 和 A1C1 的中点， BC＝CA＝CC1=2，
(Ⅰ) 求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值；
(Ⅱ) 求直线 AF1 和平面 ABC 所成的角的正弦值.
19．(本小题满分 13 分) 已知命题 p：曲线方程 x2 ? y 2 ? 1表示焦点在 y 轴的双曲线； 2?k 5?k
命题 q：已知a ?（x,?k,1）,b ?（x, x, k ? 3）, 对任意 x ? R, a ?b ? 0 恒成立． (Ⅰ) 写出命题 q 的否定形式 ?q ；
(Ⅱ) 求证：命题 p 成立是命题 q 成立的充分不必要条件.
20.(本小题满分 14 分)
如图，四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形，侧面 PAB 是正 三角形， AB ? 2 ， BC ? 2 ， PC ? 6 ．

(Ⅰ)求证：平面 PAB ⊥平面 ABCD ； (Ⅱ)已知棱 PA 上有一点 E ． （ⅰ）若二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ，求 AE : EP 的值；
（ⅱ）若 Q 为四棱锥 P ? ABCD 内部或表面上的一动点，且

EQ // 平面 PDC ，请你判断满足条件的所有的 Q 点组成的几何图形(或几何体)是怎样
的几 何图形(或几何体).（只需写出结果即可，不必证明）

21．(本小题满分 14 分)

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．

如图，“盾圆 C

”是由椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 与抛物线

y2

?

4x 中两段曲线弧合成，

F1、F2 为椭圆的左、右焦点， F2 (1, 0) ， A 为椭圆与抛物线的一个公共点，

AF2

?

5． 2

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过 F2 的一条直线 l ，与“盾圆 C ”依次交于 M、N、G、H 四点，使得 ?F1MH

与 ?F1NG 的面积比为 6 : 5 ？若存在，求出直线 l 方程；若不存在，说明理由．

y
M A
N

F1 O

F2

x

G

H
第 21 题图

南安一中 2013～2014 上学期高二年期中考数学（理）参考答 案

?由韦达定理得

x1

?

x2

?

3k 2 ? 6 k2

，…………………………8

分

再由抛物线定义知|AB|=

x1

?

x2

+p=

3k 2 k

?
2

6

+3=12…………………………10

分

解得 k ? ?1,…………………………12 分

?所求直线方程为 2x ? 2 y ? 3 ? 0或2x ? 2 y ? 3 ? 0 .…………………………13 分

17．解：由“p 且 q”是真命题，则 p 为真命题，q 也为真命题．…………………………3

分

若 p 为真命题， a ≤x2 恒成立，

∵x∈[1,2]，∴ a ≤1. …………………………7 分 若 q 为真命题，即 x2＋2 a x＋2－ a ＝0 有实根， Δ ＝4 a 2－4(2－ a )≥0，即 a ≥1 或 a ≤－2，…………………………11 分

综上，实数 a 的取值范围为 a ≤－2 或 a ＝1. ……………………13 分 18．解：(Ⅰ)如图所示，以 CA,CB,CC1 分别为 x, y, z 轴的非负半轴建立空间直角坐标
系，…………………………1 分 由 BC＝CA＝CC1＝2，得 A(2,0,0)，B(0,2,0)， C1(0,0,2)， A1(2,0,2)，B1(0,2,2)． ∵D1、F1 为 A1B1、A1C1 的中点， ∴D1(1,1,2)，F1(1,0,2)，………3 分

∴ BD1 ＝(1，－1,2)， AF1 ＝(－1,0,2)， ∴ BD1 · AF1 ＝(1，－1,2)·(－1,0,2)＝3， | BD1 |＝ 1＋1＋22＝ 6，| AF1 |＝ 1＋22＝ 5，

20.解：(Ⅰ)取 AB 中点 H ，连接 PH ， PAB 是正三角形， H 为 AB 中点， AB ? 2 ，

? PH ? AB ，且 PH ? 3 ．…………………………2 分 ABCD 是矩形， AB ? 2 ， BC ? 2 ，
? CH ? 1? 2 ? 3 ．

P

F

E

B

N

C

又 PC ? 6 ，? PC2 ? PH 2 ? CH 2 ，? PH ? CH ．

A

M

D

AB ? CH ? H ，? PH ? 平面 ABCD ．

PH ? 平面 PAB ，?平面 PAB ⊥平面 ABCD ．………………………………4 分

(Ⅱ) （ⅰ）以 H 为原点建立如图所示的空间坐标系 H ? xyz ，设 AE ? ? AP ?0 ? ? ? 1? ，

? ? ? ? 则 BE ? BA ? AE ? 2 ? ?,0, 3? ， BD ? 2, 2 ,0 ．…………………………5 分

? ? 设平面

EBD

的法向量为

n

?

?

x,

y

,

z

?

，由

??n ?

?

BD

?

0,
解得

n

?

?

3? ,

6? ,2 ? ?

，

??n ? BE ? 0,

? ? 即平面 EBD 的一个法向量为 n ? ? 3? , 6? ,2 ? ? ．………………………………………7
分
? ? 又平面 ABD 的一个法向量为 HP ? 0,0, 3 ，

二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ，

? cos 45 ? cos ? n,HP ? ? n ? HP ?

2 3 ? 3?

? 2，

n ? HP 3 ? 10? 2 ? 4? ? 4 2

21．解：（Ⅰ）由 y2 ? 4x 的准线为 x ? ?1，

?

AF2

?

xA

?1

?

5 2

，故记

A(

3 2

,

6)

又 F1(?1,0) ，所以 2a ?

AF1

?

AF2

?

7?5 22

?6，

故椭圆为 x2 ? y2 ? 1 ．………4 分 98

（Ⅱ） 设直线 l 为 x ? my ?1(m ? 0) ， M (xM , yM )、N (xN , yN )、G(xG , yG )、H (xH , yH )

?x ? my ?1

联立

? ?

x

2

y2

，得 (8m2 ? 9) y2 ?16my ? 64 ? 0 ，………………………………6 分

?? 9 ? 8 ? 1

则

?
?? ?
? ??

yM yM

? yH yH ?

?

?16m 8m2 ? 9

?64

8m2 ? 9

① ……………………………………………………… 8 分

联立

? ? ?

x y

? my ? 2 ? 4x

1

，得

y

2

?

4my

?

4

?

0

，则

? ? ?

yN yN

? yG

yG ?

? 4m ?4

②

10 分

?F1MH

与

?F1NG

的面积比

S?F1MH S?F1NG

?

MH NG

?

yM ? yH yN ? yG

?

(16m)2 ? 4 ? 64(8m2 ? 9) 8m2 ? 9 16m2 ?16

整理得 S?F1MH ? 12 ? 6 ? m2 ? 1 ……………………………………………… 12 分

S?F1NG 8m2 ? 9 5

8

若m ?

2 ， 由②知 N、G 坐标为 (2, 2
4

2)、(1 , ? 2

2)

，其中 2

?

xA

?

3 2

，故

N

不在“盾圆 C

”

上；

同理 m ? ? 2 也不满足，故符合题意的直线 l 不存在．………………………………14 分 4