高二上学期期中考试数学(理)试题
本试卷考试内容为:人教版选修 2—1,分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置)
1.命题 p : ?x ? N , x3 ? x2 的否定形式 ? p 为( )
A. ?x ? N , x3 ? x2
B. ?x ? N , x3 ? x2
C. ?x ? N , x3 ? x2
D. ?x ? N , x3 ? x2
2.过椭圆
x2 4
?
y2
? 1的一个焦点
F1 的直线与椭圆交于
A
、B
两点,则
A
、B
与椭圆的另
一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是( )
A. 2
B. 4
C. 8
D.10
3.若 a?R,则“a= ? 2 ”是“ a2 =4”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条
件
4.已知空间向量 a =(-1,2,4), b =(x,-1,-2),并且 a ∥ b ,则 x 的值为( )
A.10
B.12
C. -10
D.-12
5.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n =(3,1,2),则下列点 P 中,在
平面 α 内的是( )
A.(1,-1, 1)
B.??1
,
3
,
3? 2?
C.??1
,
-
3
,
3? 2?
D.
??-
1
,
3
,
-
3? 2?
6.动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动时,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4
B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+32)2+y2=12
7. 下列说法正确的是( ) A.若 p 且 q 为假命题,则 p , q 均为假命题
B.“ x ? 2 ”是“ x2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件
C.若 m ? 1, 则方程 x2 ? 2x ? m ? 0 无实数根
D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题
8.已知抛物线 y 2
?
8x
的准线与双曲线
x a
2 2
?
y2 b2
? 1(a
? 0,b ? 0) 相交于
A,B
两点,双曲
线的一条渐近线方程是 y ? 2 2x ,点 F 是抛物线的焦点,且△ FAB 是直角三角形,则
双曲线的标准方程是( )
A. x 2 ? y 2 ? 1 16 2
B. x2 ? y 2 ? 1 8
C. x 2 ? y 2 ? 1 2 16
D. x 2 ? y 2 ? 1 8
9.设 A、B、C、D 是空间不共面的四个点,且满足 AB ·AC =0, AD ·AC =0,
AD ·AB =0,则△BCD 的形状是( )
A.钝角三角形
B.直角三角形 C.锐角三角形
D.无法确定
10.如图,
F1
,
F2
是双曲线
C:
x a
2 2
?
y2 b2
? 1,(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与
C
的左、右两支分别交于 A、B 两点,若| AB |:| BF2 |:| AF2 |? 3 : 4 : 5 ,则双曲线的离心率为( )
A. 13
B. 15
C.2 D. 3
第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置)
11. a ? (2,?1,3),b ? (2,0,3),c ? (0,0,2) ,则 a ?(b ? c) ? ____________.
12 . 已 知 双 曲 线
x2 a2
?
y2 b2
?1 的一个焦点为 (
10,0) , 且 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为
x ? 3y ? 0和x - 3y ? 0 ,则该双曲线的方程为____________.
13.已知“3x+p<0”是“x2-x-2>0”的充分条件,则 p 的取值范围是____________.
14.设 P 是曲线 y2 ? 4x 上的一个动点,则点 P 到点 A(?1, 2) 的距离与点 P 到 x ? ?1 的距离
之和的最小值为____________ .
15.如图,在 45°的二面角 α-l-β 的棱上有两点 A、B,点 C、D 分别在平面 α、β 内,且 AC⊥AB,DB⊥AB,AC=BD=AB=1, 则 CD 的长度为____________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤)
16.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 E 的顶点在原点,焦点为双曲线 x2 ? 4 y 2 ? 1的右焦点, 2
(Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知过抛物线 E 的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,且|AB|长为 12,求直线 AB 的方程.
17.(本小题满分 13 分) 已知命题 p:“? x ∈[1,2],x 2- a ≥0”,命题 q:“? x 0∈R, x 20+2 a x 0+2- a =0”,若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.
18.(本小题满分 13 分) 如图所示,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别 是 A1B1 和 A1C1 的中点, BC=CA=CC1=2,
(Ⅰ) 求 BD1 与 AF1 所成角的余弦值;
(Ⅱ) 求直线 AF1 和平面 ABC 所成的角的正弦值.
19.(本小题满分 13 分) 已知命题 p:曲线方程 x2 ? y 2 ? 1表示焦点在 y 轴的双曲线; 2?k 5?k
命题 q:已知a ?(x,?k,1),b ?(x, x, k ? 3), 对任意 x ? R, a ?b ? 0 恒成立. (Ⅰ) 写出命题 q 的否定形式 ?q ;
(Ⅱ) 求证:命题 p 成立是命题 q 成立的充分不必要条件.
20.(本小题满分 14 分)
如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是矩形,侧面 PAB 是正 三角形, AB ? 2 , BC ? 2 , PC ? 6 .
(Ⅰ)求证:平面 PAB ⊥平面 ABCD ; (Ⅱ)已知棱 PA 上有一点 E . (ⅰ)若二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ,求 AE : EP 的值;
(ⅱ)若 Q 为四棱锥 P ? ABCD 内部或表面上的一动点,且
EQ // 平面 PDC ,请你判断满足条件的所有的 Q 点组成的几何图形(或几何体)是怎样
的几 何图形(或几何体).(只需写出结果即可,不必证明)
21.(本小题满分 14 分)
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
如图,“盾圆 C
”是由椭圆
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?b
?
0) 与抛物线
y2
?
4x 中两段曲线弧合成,
F1、F2 为椭圆的左、右焦点, F2 (1, 0) , A 为椭圆与抛物线的一个公共点,
AF2
?
5. 2
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在过 F2 的一条直线 l ,与“盾圆 C ”依次交于 M、N、G、H 四点,使得 ?F1MH
与 ?F1NG 的面积比为 6 : 5 ?若存在,求出直线 l 方程;若不存在,说明理由.
y
M A
N
F1 O
F2
x
G
H
第 21 题图
南安一中 2013~2014 上学期高二年期中考数学(理)参考答 案
?由韦达定理得
x1
?
x2
?
3k 2 ? 6 k2
,…………………………8
分
再由抛物线定义知|AB|=
x1
?
x2
+p=
3k 2 k
?
2
6
+3=12…………………………10
分
解得 k ? ?1,…………………………12 分
?所求直线方程为 2x ? 2 y ? 3 ? 0或2x ? 2 y ? 3 ? 0 .…………………………13 分
17.解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题.…………………………3
分
若 p 为真命题, a ≤x2 恒成立,
∵x∈[1,2],∴ a ≤1. …………………………7 分 若 q 为真命题,即 x2+2 a x+2- a =0 有实根, Δ =4 a 2-4(2- a )≥0,即 a ≥1 或 a ≤-2,…………………………11 分
综上,实数 a 的取值范围为 a ≤-2 或 a =1. ……………………13 分 18.解:(Ⅰ)如图所示,以 CA,CB,CC1 分别为 x, y, z 轴的非负半轴建立空间直角坐标
系,…………………………1 分 由 BC=CA=CC1=2,得 A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2), A1(2,0,2),B1(0,2,2). ∵D1、F1 为 A1B1、A1C1 的中点, ∴D1(1,1,2),F1(1,0,2),………3 分
∴ BD1 =(1,-1,2), AF1 =(-1,0,2), ∴ BD1 · AF1 =(1,-1,2)·(-1,0,2)=3, | BD1 |= 1+1+22= 6,| AF1 |= 1+22= 5,
20.解:(Ⅰ)取 AB 中点 H ,连接 PH , PAB 是正三角形, H 为 AB 中点, AB ? 2 ,
? PH ? AB ,且 PH ? 3 .…………………………2 分 ABCD 是矩形, AB ? 2 , BC ? 2 ,
? CH ? 1? 2 ? 3 .
P
F
E
B
N
C
又 PC ? 6 ,? PC2 ? PH 2 ? CH 2 ,? PH ? CH .
A
M
D
AB ? CH ? H ,? PH ? 平面 ABCD .
PH ? 平面 PAB ,?平面 PAB ⊥平面 ABCD .………………………………4 分
(Ⅱ) (ⅰ)以 H 为原点建立如图所示的空间坐标系 H ? xyz ,设 AE ? ? AP ?0 ? ? ? 1? ,
? ? ? ? 则 BE ? BA ? AE ? 2 ? ?,0, 3? , BD ? 2, 2 ,0 .…………………………5 分
? ? 设平面
EBD
的法向量为
n
?
?
x,
y
,
z
?
,由
??n ?
?
BD
?
0,
解得
n
?
?
3? ,
6? ,2 ? ?
,
??n ? BE ? 0,
? ? 即平面 EBD 的一个法向量为 n ? ? 3? , 6? ,2 ? ? .………………………………………7
分
? ? 又平面 ABD 的一个法向量为 HP ? 0,0, 3 ,
二面角 E ? BD ? A 的大小为 45 ,
? cos 45 ? cos ? n,HP ? ? n ? HP ?
2 3 ? 3?
? 2,
n ? HP 3 ? 10? 2 ? 4? ? 4 2
21.解:(Ⅰ)由 y2 ? 4x 的准线为 x ? ?1,
?
AF2
?
xA
?1
?
5 2
,故记
A(
3 2
,
6)
又 F1(?1,0) ,所以 2a ?
AF1
?
AF2
?
7?5 22
?6,
故椭圆为 x2 ? y2 ? 1 .………4 分 98
(Ⅱ) 设直线 l 为 x ? my ?1(m ? 0) , M (xM , yM )、N (xN , yN )、G(xG , yG )、H (xH , yH )
?x ? my ?1
联立
? ?
x
2
y2
,得 (8m2 ? 9) y2 ?16my ? 64 ? 0 ,………………………………6 分
?? 9 ? 8 ? 1
则
?
?? ?
? ??
yM yM
? yH yH ?
?
?16m 8m2 ? 9
?64
8m2 ? 9
① ……………………………………………………… 8 分
联立
? ? ?
x y
? my ? 2 ? 4x
1
,得
y
2
?
4my
?
4
?
0
,则
? ? ?
yN yN
? yG
yG ?
? 4m ?4
②
10 分
?F1MH
与
?F1NG
的面积比
S?F1MH S?F1NG
?
MH NG
?
yM ? yH yN ? yG
?
(16m)2 ? 4 ? 64(8m2 ? 9) 8m2 ? 9 16m2 ?16
整理得 S?F1MH ? 12 ? 6 ? m2 ? 1 ……………………………………………… 12 分
S?F1NG 8m2 ? 9 5
8
若m ?
2 , 由②知 N、G 坐标为 (2, 2
4
2)、(1 , ? 2
2)
,其中 2
?
xA
?
3 2
,故
N
不在“盾圆 C
”
上;
同理 m ? ? 2 也不满足,故符合题意的直线 l 不存在.………………………………14 分 4