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842388com:数列求和知识归纳与习题-经典试题

数列求和 一 、公式求和法 通过分析判断并证明一个数列是等差数列或等比数列后,可直接利用等差、等比数列的求和公式求 和

二、分组求和法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.形如: ① ?a n ? bn ?,其中 ?

??a n ?是等差数列; ??bn ?是等比数列;
n

② an ? ?

? f ?n ?, n ? 2k ? 1, ? g ?n ?, n ? 2k , k ? N
?

例: 已知数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 2 ? 3n ? 1, 求数列 ?a n ?的前 n 项和. 三、错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求和. 例:已知数列 ?a n ?是首项为 a1 ?

1 1 , 公比为 q ? 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3 log 1 an ?n ? N ? ? ,数列 ?cn ? 4 4 4

满足 c n ? a n ? bn . 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

五、裂项相消法

把数列的通项分成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和 .适用于类似

? c ? ? ? (其中 ?a n ?是各项不为 0 的等差数列, c 为常数)的数列,以及部分无理数列和含阶乘的数列 ? a n a n ?1 ?
等.用裂项法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:

?1?
?3?

1 1?1 1 ? 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ?; ?2? ?; ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? n?n ? k ? k ? n n ? k ?
? 1 1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ?; ?4? n?n ? 1??n ? 2? 2 ? n?n ? 1? ?n ? 1??n ? 2?? n?k ? n k

?

n?k ? n .

?

1、数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 A. 470 B. 490

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n ,则 S30 为 3 3
C. 495 D. 510

2、已知数列 {an } 满足: a4 n ?3 ? 1, a4 n ?1 ? 0, a2 n ? an , n ? N , 则 a2009 ? ________; a2014 =_________.

?

3 、 设 等 差 数 列 { an } 的 前 n 项 和 为 sn , 公 比 是 正 数 的 等 比 数 列 { b n } 的 前 n 项 和 为 Tn , 已 知

a1 ? 1,b1 ? 3, 3? b 3? 1 7 , 3 S ? a T ? 3

1求{a n 2,

bn, { } } 的通项公式。

4、已知 ? an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, S n 为 ? an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 S n ; (Ⅱ)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公 式及其前 n 项和 Tn .

5、已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列.(Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)求数列{2an}的前 n 项和 Sn.

6、已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

?a ? (II)求数列 ? nn ? 的前 n 项和. ?1 ?2 ?

7、已知等差数列 ?a n ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?a n ? 的前 n 项和为 S n (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)令 bn ?

2 an

1 * ( n? N ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn 。 ?1

2 8、设数列 ? an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3?
(1) 求数列 ? an ? 的通项公式;

2 n ?1

(2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 S n 。

9、已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2= 1a

an ? an?1 , n ? N* . 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ?an } 的通项公式。

10、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, S n ?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的前 n 项和 S n

11、在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? (I)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 n 项和 S n

12、已知数列 ? an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

13、已知数列 ? an ? 中 a1 ? 2 , an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) , n ? 1 2,…. ,3, (Ⅰ)求 ? an ? 的通项公式;

14、设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0,

1 1 ? ?1 1 ? an ?1 1 ? an

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ? an ?1 n

,记 Sn ?

?b
k ?1

n

k

,证明: S n ? 1 。

15、设 S n 为数列 an ? 的前 n 项和,对任意的 n ?N * ,都有 Sn ? ? m ? 1? ? man (m 为常数,且 m ? 0) . (1)求证:数列 an ? 是等比数列; (2)设数列 an ? 的公比 q ? f ?m? ,数列 ?bn ?满足 b1 ? 2a1 , bn ? f ? bn ?1 ? (n ? 2 ,n ?N * ) ,求数列 ?bn ? 的通项公式;

?

?

?

? 2n ?1 ? (3)在满足(2)的条件下,求数列 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?

16、已知函数 f ( x) ?

x (a, b为常数且a ? 0) 满足 f (2) ? 1 且 f ( x) ? x 有唯一解。 ax ? b

(1)求 f (x) 的表达式 ; (2)记 x n ? f ( x n ?1 )( n ? N且n ? 1) ,且 x1 = f (1) ,求数列 { xn } 的通项公式。 (3)记 y n ? xn ? xn ?1 ,数列{ y n }的前 n 项和为 S n ,求证 S n ?

4 3

17、 已知点 (1, ) 是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1) 的图象上一点, 等比数列 {a n } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,
x

1 3

数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? . bnbn?1 2009


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