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155246.com:精品高中数学苏教版选修2-3课件:2.1 随机变量及其概率分布_图文

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数学精品课件
苏科版

1.在一块地里种下 10 颗树苗,成活的树苗棵树为 X. 问题 1:X 取什么数字? 提示:X=0,1,2,…,10.

2.掷一枚硬币,可能出现正面向上,反面向上两种结果. 问题 2:这种试验的结果能用数字表示吗? 提示:可以,用数 1 和 0 分别表示正面向上和反面向上. 3.一个袋中装有 10 个红球,5 个白球,从中任取 4 个球. 问题 3:若用 X 表示所含红球个数,则 X 的取值是什么? 提示:X=0,1,2,3,4.

1.随机变量的定义 一般地,如果 随机试验 的结果,可以用一个 变量 来表 示,那么这样的变量叫做 随机变量 . 2.随机变量的表示方法 (1)随机变量通常用大写拉丁字母 X,Y,Z(或小写希腊 字母 ξ,η,ζ)等表示. (2)随机变量取的可能值常用小写拉丁字母 x,y,z (加 上适当下标)等表示.

1.抛掷一个骰子,用 X 表示骰子向上一面的点数. 问题 1:X 的可能取值是什么? 提示:X=1,2,3,4,5,6. 问题 2:X 取不同值时,其概率分别是多少? 提示:都等于16.

2.一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5,在袋中同时取 3 只,以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码.
问题 3:随机变量的可能取值是什么? 提示:X=3,4,5. 问题 4:试求 X 取不同值的概率.
提示:P(X=3)=CC5333=110;P(X=4)=CC2335=130; P(X=5)=CC5324=160=35.

问题 5:试用表格表示 X 和 P 的对应关系. 提示:

X3 4 5

P

1 10

3 10

6 10

问题 6:试求概率和. 提示:其和等于 1.

1.随机变量 X 的分布列 一般地,假定随机变量 X 有 n 个不同的取值,它们分别是 x1, x2,…,xn,且 P(X=xi)= pi , i=1,2,3,…,n,① 则称①为随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列,也可 以用下表表示:
X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn

通常将上表称为随机变量 X 的概率分布表,它和①都叫做随机 变量 X 的概率分布.显然,这里的 pi(i=1,2,…,n)满足条件 pi ≥ 0, p1+p2+…+pn= 1 .
2.0-1 分布(或两点分布) 随机变量 X 只取两个可能值 0 和 1,这一类概率分布称为 0-1 分布或两点分布,并记为 X~0-1 分布或 X~两点分布 ,此处 “~”表示“ 服从 ”.

1.随机变量是将随机试验的结果数量化; 2.随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系,这 种对应是人为的,但又是客观存在的; 3.随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能 取值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了 随机变量在随机试验中取值的分布情况; 4.由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥,因此,随机 变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率 之和.

[例 1] 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量, 并说明理由.
(1)某天山东天成书业信息台接到咨询电话的个数; (2)新赛季,某运动员在某场比赛中(48 分钟),上场比赛的时间; (3)在一次绘画作品评比中,设一、二、三等奖,你的一件作品获 得的奖次; (4)体积为 64 cm3 的正方体的棱长.

[思路点拨] 要根据随机变量的定义考虑所有情况. [精解详析] (1)接到咨询电话的个数可能是 0,1,2…出现哪一 个结果都是随机的,因此是随机变量. (2)该运动员在某场比赛的上场时间在[0,48]内,是随机的,故 是随机变量. (3)获得的奖次可能是 1,2,3,出现哪一个结果都是随机的,因 此是随机变量. (4)体积为 64 cm3 的正方体棱长为 4 cm 为定值,不是随机变量.

[一点通] (1)判断一个变量是否为随机变量,关键看其试验结果是否可 变,是否能用一个变量来表示. (2)随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为 自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结果对应的 数,但这些数是预先知道所有可能的值,而不知道究竟是哪一个值.

1.判断下列变量中是否是随机变量. (1)一只小猫从出生(400 g)到长大(2000 g)中间某个时刻的体 重; (2)解答高考数学Ⅰ卷所用的时间; (3)某手机一天内收到短信的次数; (4)1 000 mL 水的质量.

解:(1)体重在[400,2 000]范围内,出现哪一个结果都是随机的, 是随机变量. (2)做Ⅰ卷的时间在(0,120]的范围之内,是随机变量. (3)短信的次数可能是 0,1,2,…,出现哪一个结果都是随机的, 是随机变量. (4)此时水的质量为定值,不是随机变量.

2.指出下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并 说明理由. (1)某人射击一次命中的环数; (2)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中 的最小值; (3)某个人的属相.

解:(1)某人射击一次,可能命中的环数是 0 环、1 环、…、10 环结果中的一个而且出现哪一个结果是随机的,因此是随机变 量. (2)一颗骰子投掷两次,所得点数的最小值可以是 1,2,3,4,5,6,因 此是随机变量. (3)属相是人出生时便确定的,不是随机变量.

[例 2] 写出下列各随机变量的可能取值,并说明随机变量所取 的值表示的随机试验的结果.
(1)抛掷甲、乙两枚骰子,所得点数之和 Y. (2)设一汽车在开往目的地的道路上需经过 5 盏信号灯,Y 表示 汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数,写出 Y 所有可能取值并说 明这些值所表示的试验结果. [思路点拨] 分析随机变量 写出随机变量 得出具体随机 的实际背景 ―→ 的可能取值 ―→ 试验的结果

[精解详析] (1)Y 的可能取值为 2,3,4,…,12.若以(i,j)表示 抛掷甲、乙两枚骰子后,骰子甲得 i 点且骰子乙得 j 点,则{Y=2} 表示(1,1);{Y=3}表示(1,2),(2,1);{Y=4}表示(1,3),(2,2),(3,1);…; {Y=12}表示(6,6).
(2)Y 的可能取值为 0,1,2,3,4,5. {Y=0}表示在遇到第 1 盏信号灯时首次停下. {Y=1}表示在遇到第 2 盏信号灯时首次停下. {Y=2}表示在遇到第 3 盏信号灯时首次停下. {Y=3}表示在遇到第 4 盏信号灯时首次停下. {Y=4}表示在遇到第 5 盏信号灯时首次停下. {Y=5}表示在途中没有停下,直达目的地.

[一点通] 此类问题的解决关键在于明确随机变量的所有可能 的取值,以及其取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值 可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试 验结果.

3.在 8 件产品中,有 3 件次品,5 件正品,从中任取一件, 取到次品就停止,抽取次数为 X,则“X=3”表示的试验结 果是________. 解析:X=3 表示前 2 次均是正品,第 3 次是次品. 答案:共抽取 3 次,前 2 次均是正品,第 3 次是次品

4.写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示 的随机试验的结果. (1)盒中装有 6 支白粉笔和 8 支红粉笔,从中任意取出 3 支,其 中所含白粉笔的支数为 X; (2)从 4 张已编号(1-4 号)的卡片中任意取出 2 张,被取出的卡 号数之和为 X.

解:(1)X 的所有可能的取值为 0,1,2,其中, X=0 表示取出的 3 支粉笔中有 0 支白粉笔,3 支红粉笔; X=1 表示取出的 3 支粉笔中有 1 支白粉笔,2 支红粉笔; X=2 表示取出的 3 支粉笔中有 2 支白粉笔,1 支红粉笔; X=3 表示取出的 3 支粉笔中有 3 支白粉笔,0 支红粉笔; (2)X 可取 3,4,5,6,7.其中, X=3 表示取出分别标有 1,2 的两张卡片; X=4 表示取出分别标有 1,3 的两张卡片; X=5 表示取出分别标有 1,4 或 2,3 的两张卡片; X=6 表示取出分别标有 2,4 的两张卡片; X=7 表示取出分别标有 3,4 的两张卡片.

[例 3] 袋中有相同的 5 个球,其中 3 个红球,2 个黄球,现从 中随机且不放回地摸球,每次摸 1 个,当两种颜色的球都被摸到时, 即停止摸球,记随机变量 X 为此时已摸球的次数,求随机变量 X 的 概率分布列.
[思路点拨] 解答本题先确定 X 的所有可能的取值,然后分别求 概率,最后列表即可.

[精解详析] 随机变量 X 可取的值为 2,3,4, P(X=2)=CC12C51C13C14 21=35; P(X=3)=A22CC5113C+14AC2313C12=130; P(X=4)=C51CA3314CC1213C12 =110; 所以随机变量 X 的概率分布列为:

X2 3 4

P

3 5

3 10

1 10

[一点通] 随机变量的分布列的作用 对于随机变量 X 的研究,需要了解随机变量将取哪些值以及取 这些值时的概率,它的分布列正是指出了随机变量 X 的取值范围以 及取这些值的概率.

5.已知随机变量 X 的分布列为

X123…n

P

k n

k n

k n



k n

则 k 的值为________.

解析:由nk+nk+…+nk=1,得 k=1.
答案:1

6.设随机变量 X 概率分布 P???X=k5???=ak(k=1,2,3,4, 5). (1)求常数 a 的值; (2)求 P???X≥35???; (3)求 P???110<X<170???.

解:由题意知随机变量 X 的概率分布如下表:

X

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

P a 2a 3a 4a 5a

(1)由 a+2a+3a+4a+5a=1,得 a=115.

(2)P???X≥35???=P???X=35???+P???X=45???+P???X=55??? =135+145+155=45, 或 P???X≥35???=1-P???X≤25???=1-???115+125???=45. (3)因为110<X<170,所以 X=15,25,35. 故 P???110<X<170???=P???X=15???+P???X=25???+P???X=35???=115+125+135=25.

7.一个盒子中装有 5 个白色玻璃球和 6 个红色玻璃球,从中摸出

两球,记 X=?????01??两两球球全非红全红?,?. 求 X 的分布列. 解:因为 X 服从两点分布,P(X=0)=CC21261=131,
P(X=1)=1-131=181.
所以 X 的概率分布为

X0 1

P

3 11

8 11

8.如图所示,A,B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的 最大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内 通过的最大信息总量为 X,求 X 的分布列.

解:由已知 X 的取值为 7,8,9,10,

∵P(X=7)=CC22C35 12=15,P(X=8)=C22C11C+53C22C21=130, P(X=9)=C12CC1235C11=25,P(X=10)=CC22C53 11=110, ∴X 的概率分布列为

X 7 8 9 10

P

1 5

3 10

2 5

1 10

1.随机变量的三个特征 (1)可用数来表示; (2)试验之前可以判断其可能出现的所有值; (3)在试验之前不能确定取值. 2.求随机变量的分布列应注意的几个问题. (1)随机变量 X 的分布列实质上就是随机变量 X 与这一变量所对应 的概率 P 的分布表,它从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的 大小,反映了随机变量取值的规律. (2)在处理随机变量的分布列时,先根据随机变量的实际意义,利 用试验结果找出随机变量的取值,再求相应的概率是常用的方法. (3)求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是 否正确.


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