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【数学】山东省新课标学业水平考试样卷四


山东省新课标学业水平考试样题四(高中数学) 1.已知集合 M ? { x | x ? a ? 0} , N ? { x | a x ? 1 ? 0} ,若 M ? N ? N ,则实数 a 等于 A、 1 2.三个数 a ? 3
0 .7

B、 ? 1
3

C、 1 或 ? 1

D、 1 或 ? 1 或 0

、 b ? 0 .7 、c= c ? lo g 3 0 .7 的大小顺序为 B. b ? a ? c
1

A. b ? c ? a

C. c ? a ? b
2 3

D. c ? b ? a
1

3.在下列函数中:① f ( x ) ? x 2 , ② f ( x ) ? x 3 ,③ f ( x ) ? x 4 ,④ f ( x ) ? x 3 ,其中偶函数的个数是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4

2 2 4.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 9 交于E、F 两点,则 ? EOF(O 为原点)的面积为

A、

3 2

B、

3 4

C、

2 5

D、

6 5 5

5.棱台上、下底面面积之比为 1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是 A 、 1∶7 B 、2∶7 C、 7∶19 D、 5∶ 16 6、如图,大正方形的面积是 13,四个全等的直角三角形围成一个小正方形.直角三角形的较短边长为 2。向大正方形内投一飞镖,则飞镖落在小正方形内的概率为 A.
1 13

B.

2 13

C.

3 13

D.

4 13

8、对于任意实数 a、b、c、d,命题 ① 若 a ? b , c ? 0 , 则 ac ? bc ;② 若 a ? b , 则 ac ? bc
2 2

③ 若 ac ? bc , 则 a ? b ;④ 若 a ? b , 则
2 2

1 a

?

1 b

;⑤ 若 a ? b ? 0 , c ? d , 则 ac ? bd . 2 C 3 D 4

其中真命题的个数是
0

A

1
0

B

0 9、若│ a │=2sin15 ,│ b │=4cos15 , a 与 b 的夹角为 30 ,则 a ? b 的值是

(A)

3 2

(B) 3
4? 3

(C)2 3

(D)

1 2

10、把函数 y ? cos( x ? 值为( ) (A)
?
6

) 的图象向右平移 ? ( ? >0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 ? 的最小

(B)

?
3

(C)

2? 3

(D)

4? 3

( 11、已知 O 为原点,点 A 、 B 的坐标分别为 a , 0), ( 0 , a ) 其中常数 a ? 0 ,点 P 在线段 AB 上,且

AP = t AB ( 0 ? t ? 1 ),则 OA · OP 的最大值为

(A) a

(B)2 a

(C)3 a

(D) a

2

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1

12、某厂生产甲、乙两种产品,产量分别为 45 个、50 个,所用原料为 A、B 两种规格的金属板,每张 2 2 面积分别为 2m 、3 m ,用 A 种金属板可造甲产品 3 个,乙产品 5 个,用 B 种金属板可造甲、乙产品各 6 个,则 A、B 两种金属板各取多少张时,能完成计划并能使总用料面积最省? (A) A 用 3 张,B 用 6 张 (B)A 用 4 张,B 用 5 张 (C)A 用 2 张,B 用 6 张 (D)A 用 3 张,B 用 5 张 13、 在△ABC 中, B ? 1 2 0 ? , a ? 3, c ? 5, 则 sin A ? sin C 的值为
8 3 7 4 3 7 112 3 3 56 3 3

A.

B.

C.

D.

14、某种细胞开始有两个,1 小时后分裂成四个并死去一个,2 个小时后分裂成 6 个并死去一个,3 小 时后分裂成 10 个并死去一个。按此规律,6 小时后细胞存活的个数是 A 71 B 67 C 65 D 63 15、当 0 ? a ? 1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a . y y 1 o 1 x
?x

与 y ? log

a

x 的图象是

y 1 o 1 x

y

1 o

x 1

1 o 1

x

A B C D 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16.已知点 M(a,b)在直线 3 x ? 4 y ? 15 上,则 a ? b
2 2

的最小值为

17、从 56 名男教师和 42 名女教师中,采用分层抽样的方法,抽出一个容量为 28 的样本。那么这个样 本中的男、女教师的比是 . 18、函数 y ? sin x ? cos x 的图象可以看成是由函数 y ? sin x ? cos x 的图象向右平移得到的,则平移 的最小长度为_____________. 19、已知 ? a n ? 是等差数列,且公差 d ? 0 ,又 a 1 , a 2 , a 4 依次成等比数列,则
a1 ? a 4 ? a1 0 a2 ? a4 ? a7

=_____.

20.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f (a ) ? f (? a ) ? 0 ; ③ f (b ) ? f ( ? b ) ? 0 ; 其中正确的是 ② f ( a ) ? f (b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) ; ④ f ( a ) ? f (b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) . (把你认为正确的不等式的序号全写上) .

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三、解答题(本大题共 5 小题,共 35 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 21、(6 分)已知三条直线 L1: X ? 2 Y ? 0 L2: Y ? 1 ? 0 L3: 2 X ? Y ? 1 ? 0 两两相交,先画出图 形,再求过这三个交点的圆的方程

22、 分)已知实数 a , b , c 成等差数列,a ? 1 ,b ? 1 ,c ? 4 成等比数列, a ? b ? c ? 1 5 , a , b , c . (6 且 求

23、(7 分已知:平面 ? ? 平面 ? = a ,平面 ? ? 平面 ? = b ,平面 ? ? 平面 ? = c 且 a 、 b 、 c 不重合. 求证: a 、 b 、 c 交于一点或两两平行.

24、(8 分)已知 M (1 ? cos 2 x ,1), N (1, 3 sin 2 x ? a ) ( x ? R , a ? R , a 是常数) ,且 y ? OM ? ON ( O 为坐标原点). (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x ) ; (2)若 x ? [ 0 ,
?
2 ] 时, f ( x ) 的最大值为 4,求 a 的值;

(3)在满足(2)的条件下,说明 f ( x ) 的图象可由 y ? sin x 的图象如何变化而得到?

25、(8 分)已知函数 f ( x ) ?

1 a

?

1 x

,x ? 0 ,a ? 0 .

⑴讨论 f ( x ) 在定义域上的单调性,并给予证明; ⑵若 f ( x ) 在 [ m , n ] 上的值域是 [ m , n ] , (0 ? m ? n ) ,求 a 的取值范围和相应的 m , n 的值.

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3

山东省新课标学业水平考试样题四(高中数学)
参考答案 一、选择题 DDACC ABABB DABCC 二、填空题 16、3;17、4:3;18、
?
2

;19、

15 13

;20、①④

三、解答题 21、解:如图:通过计算斜率可得 L1 ? L3,经过 A,B,C 三点的圆就是以 AB 为直径的圆 解方程组 ?
?x ? 2 y ? 0 ?y ?1 ? 0

得?

? x ? ?2 ? y ? ?1

所以点 A 的坐标(-2,-1)

解方程组 ?

?2 x ? y ? 1 ? 0 ?y ?1 ? 0
1 2 1 2

得?

?x ? 1 ? y ? ?1

所以点 B 的坐标(1,-1)

线段 AB 的中点坐标是 ( ? 所以圆的方程是 ( x ? 22、解:由题意,得

, ? 1 ) ,又 AB ? ) ? ( y ? 1)
2 2

( ? 2 ? 1) ? ( ? 1 ? 1)
2

2

? 3

?

9 4

?a ? b ? c ? 15 ? ? ? a ? c ? 2b ? 2 ?? a ? 1? ? c ? 4 ? ? ? b ? 1? ?

?1 ? ?2? ?3?
?5

由(1) (2)两式,解得 b 将c
2

? 10 ? a

代入(3) ,整理得

a ? 13a ? 22 ? 0 解 得 a ? 2 或 a ? 1 1, 故 a ? 2, b ? 5, c ? 8 或 a ? 1 1, b ? 5, c ? ? 1 . 经验算,上述两组数符合题意。

23、解: (1) y ? OM ? ON ? 1 ? cos 2 x ?
f ( x ) ? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? a ,所以

3 sin 2 x ? 1 ? a

(2) f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?
?
6 ? 2x ?

?
6

) ? 1 ? a ,因为 0 ? x ?

?
2

, 所以

?
6

?

7? 6

, 当2x ?

?
6

?

?
2

即x ?

?
6

时 f ( x ) 取最大值 3+ a ,

所以 3+ a =4, a =1

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4

(3)①将 y ? sin x 的图象向左平移 ②将函数 f ( x ) ? sin( x ?
f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

个单位得到函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
6

) 的图象;
1 2

?
6

) 的图象保持纵坐标不变,横坐标缩短为原来的

得到函数

?
6

) 的图象;

③将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?
f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的图象保持横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的 2 倍得到函数

?
6

) 的图象;

④ 将 函 数 f ( x ) ? 2 s i n2 (x ?
f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的 图 象 向 上 平 移

2 个单 位, 得 到 函数

?
6

) +2 的图象

24、证明:(1)若三直线中有两条相交,不妨设 a 、 b 交于 A . 因为, a ? ? ,故 A ? ? , 同理, A ? ? , 故A?c. 所以 a 、 b 、 c 交于一点. (2)略 25、解: (1) f ( x ) 在定义域上单调递增. 任取 x1 ? x 2 ? 0
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) =
1 x2 ? 1 x1 ? x1 ? x 2 x1 x 2

∵ x1 ? x 2 ? 0

∴ x1 ? x 2 ? 0 , x1 x 2 ? 0



x1 ? x 2 x1 x 2

? 0

f ( x1 ) ? f ( x 2 )

∴ f ( x ) 在定义域上单调递增. (2)由(1)知 f ( x ) 在[m,n]上单调递增, ∴ f ( x ) 在[m,n]上的值域是 [ f ( m ), f ( n )] 即 f (m ) ?
1 a ? 1 m
2

? m , f (n) ?

1 a

?

1 n

? n

∴ m , n 为方程 a x ? x ? a ? 0 的两实根, ∴△=1 ? 4 a >0,且 a ? 0 可得 a ? ( 0 , )
2

1

2

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5

m ?

1?

1 ? 4a 2a

2

,n ?

1?

1 ? 4a 2a

2

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