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高考数学基础题强化训练


高三数学单元过关检测试卷(数列)
一、选择题 1.在首项为 81,公差为-7 的等差数列{an}中,最接近零的是第 A.11 项 A.q>1
2

( D.14 项

) )

B.12 项 B.q<1

C.13 项 C.0<q<1

2.在等比数列{an}中,首项 a1<0,则{an}是递增数列的充要条件是公比 q 满足( D.q<0 3.b =ac 是实数 a,b,c 成等比数列的什么条件 A.充分但不必要条件 C.充要条件 A.18 B.36
2

B.必要但不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( D.72 ( ) ) C.54

4.已知等差数列{an}的前 n 项和分别为 Sn,若 a4=18-a 5,则 S8 等于 5.在等比数列{an}中,若 a3,a9 是方程 3x -11x+9=0 的两根,则 a6 的值是 A.3 B. ± 3 C. ±

3

D.以上答案都不对. ( D. )

6.直角三角形的三条边长成等差数列,则其最小内角的正弦值为 A.

3 5

B.

4 5

C.

5 ?1 2

5 +1 4
( ) ( )

7.等差数列{an}中,a1=-5,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项的平 均值是 4,则抽取的是 A.a11 A.p B.a10 B.12p C.a9 C.(1+p)
12

D.a8 D.(1+p) -1 ( )
12

8.设某工厂生产总值月平均增长率为 p,则年平均增长率为

9.等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且

a Sn 2n ,则 5 = b5 Tn 3n + 1
D.

A.

2 3

B.

7 9

C.

20 31

9 14
( )

10.若正项等差数列{an}和正项等比数列{bn},且 a1 =b1,a2=b2,公差 d>0,则 an 与 bn (n≥3)的大小关系是 A.an>bn 二、填空题 11.等差数列{an}中,若 a1 +a4+a7=15,a3+a6+a9=3,则 S9= 12.数列 . . B.an≥bn C.an<bn D.an≤bn

1 1 1 , , , L 的前 n 项之和为 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4

第 1 页

13.在 1,2 之间依次插入个正数 a1,a2,a3,…,an ,使这 n+2 个数成等比数列, 则 a1a2a3…an=

14.设{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项的和,若{Sn}是等差数列,则公比 q= 三、解答题 15.设{an}为等差数列,{bn }为等比数列,且 a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3 分别求出{an}及{bn}的前 10 项的和 S10 及 T10. .

16.已知等差数列{an}的前项和为 Sn,且 S13>S6>S 14,a2=24. (1)求公差 d 的取值范围; (2)问数列{Sn}是否成存在最大项,若存在求,出最大时的 n,若 不存在,请说明理由.

第 2 页

17.设首项为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,前 2n 项的为 6560,且前 n 项中数值 最大的项为 54,求此数列的首项和公比.

18.设正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且存在正数 t,使得对所有正整数 n,t 与 an 的等差 中项和 t 与 Sn 的等比中项相等,求证数列{ S n }为等差数列,并求{an}通项公式及前 n 项 和.

19.某地今年年初有居民住房面积为 a m2 ,其中需要拆除的旧房面积占了一半.当地有关部 门决定每年以当年年初住房面积的 10%的住房增长率建设新住房, 同时每年拆除 x m2 的旧
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住房,又知该地区人口年增长率为 4.9‰. (1)如果 10 年后该地的人均住房面积正好比目前翻一番,那么每年应拆除的旧住房面积 x 是多少? (2)依照(1)拆房速度,共需多少年能拆除所有需要拆除的旧住房? 下列数据供计算时参考: 1.19=2.38 1.110=2.60 1.111=2.85 1.00499=1.04 1.004910=1.05 1.004911=1.06

20. 已知函数 f(x)=a1x+a2x2+…+anxn(n∈N *), a1 , 2, 3, 且 a a …, n 构成数列{an}, f(1)=n2. a 又 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: f ( ) < 1 .

1 3

第 4 页

参考答案:
一、选择题 1.C 7.A 2.C 8.D 3.B 9.D 4.D 10.C 5.C 6.A

二、填空题 11.27 12.

n n+2

n

13. 2 2

14.1

三、解答题 15.解:设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,则:

?2(1 + 2d ) = q 2 3 2 解得: d = ? , q = ± ? 4 8 2 ? 1 + 2d = q
∴ S10 = 10a1 + 45d = ?

55 1 ? q 10 31(2 ± 2 ) , T10 = b1 = 8 1? q 32

16.解:(1)由题意: ?

? a2 + 8d > 0 ? S13 ?S6 = a7 +a8 +L+a13 =7a10 >0 48 ? d ∈(?3,? ) ∴? 17 ?S14 ?S6 = a7 +a8 +L+a14 = 4(a10 +a11) <0 ?2a2 +17d < 0

(2)由(1)知,a10>0,a10+a11<0,∴a10>0>a11,又公差小于零,数列{an}递减, 所以{an}的前 10 项为正,从第 11 项起为负,加完正项达最大值。 ∴n=10 时,Sn 最大。 17.解:设该等比数列为{an},且公比为 q 若 q=1,则 Sn=na1,S2n=2na1,与题意不符,故 q≠1。

? 1? qn = 80 S n = a1 ? a ? 1? q 两式相除,得 1+qn=82,qn=81,∴ 1 = 1 ? 2n q ?1 ?S 2 n = a1 1 ? q = 6560 ? 1? q ?
q=a1+1>1,数列{an}为递增数列,前 n 项中最大的项为 an=a1qn-1= 解得:a1=2,q=3 18.证明:由题意:

a1 ? 81 = 54 q

t + an = tS n 即 2 tS n = t + a n 2
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当 n=1 时, 2 tS1 = t + a1 = t + S1 ,∴ ( S1 ? t ) = 0, S1 = t
2

当 n≥2 时, 2 tS n = t + a n = t + S n ? S n ?1 ∴ ( S n ? t ) ? ( S n ?1 ) = 0
2 2

( S n + S n ?1 ? t )( S n ? S n?1 ? t ) = 0 。
因为{an}为正项数列,故 Sn 递增, ( Sn + Sn?1 ? t ) = 0 不能对正整数 n 恒成立, ∴ Sn ?

S n ?1 = t 即数列{ S n }为等差数列。公差为 t

S n = S1 + (n ? 1) t = n t ,∴ S n = tn 2 , a n + t = 2 tS n = 2nt ,∴ a n = (2n ? 1)t
所以数列{ S n }为等差数列,{an}通项公式为 an=(2n-1)t 及前 n 项和 Sn=tn2。

19.解: (1)设今年人口为 b 人,则 10 年后人口为 b(1+4.9‰)10=1.05b, 由题设可知,1 年后的住房面积为 a × (1 + 10%) ? x = 1.1a ? x . 2 年后的住房面积为 (1.1a ? x) × (1 + 10%) ? x = 1.12 a ? 1.1x ? x = 1.12 a ? x (1 + 1.1) . 3 年后的住房面积为 (1.12 a ?1.1x ? x)×(1+10%) ? x =1.13a ?1.12 x ?1.1x ? x =1.13a ? x(1+1.1+1.12) …… 10 年后的住房面积为

a ×1.110 ? x(1 + 1.1 + 1.12 + L + 1.19 ) 1× (1 ? 1.110 ) 1 ? 1.1 = 2.6a ? 16 x. = 2.6a ? x ×
2.6a ? 16 x a 1 = 2 × ,解得 x = a . 1.05b b 32 1 a (2)全部拆除旧住房还需 a ÷ = 16 . 2 32 1 答: (1)每年拆除的旧住房面积为 a m2 . (2)按此速度全部拆除旧住房还需 16 年 . 16
由题设得 另外:设今年为第一年,第 n 年年底的住房面积为 an, 由题意知 a1=1.1a-x, 当 n≥2 时 an=1.1an-1 -x,an -10x=1.1(a n-1 -10x) ,∴{an -10x}为等比数列。
第 6 页

a10 -10x=(a1 -10x)1.1 9,同样可以求解此题。 20. (1)由题意:f(1)=a1 +a2+…+an=n2,(n∈N*) n=1 时,a1=1 n≥2 时,an=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+…+an-1 )=n2 -(n-1)2 =2n-1 ∴对 n∈N*总有 an=2n-1,即数列{an}的通项公式为 an=2n-1. (2) f ( ) = 1 ?

1 1 1 + 3 2 + L + (2n ? 1) n 3 3 3 1 1 1 1 1 f( )= 1 ? 2 + L + (2n ? 3) n + (2n ? 1) n +1 3 3 3 3 3

1 3

1 1 ? n?1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ∴ f ( ) = 1 ? + 2( 2 + 3 L + n ) ? (2n ? 1) n+1 = + ? 3 ? (2n ? 1) n+1 1 3 3 3 3 9 3 3 3 3 3 1? 3 2 2n + 2 1 n +1 = ? n+1 ,∴ f ( ) = 1 ? n < 1 3 3 3 3

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