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2017年福建省泉州市普通高中高考数学适应性试卷文科1 含解析 精品

2017 年福建省泉州市普通高中高考数学适应性试卷(文科) (1)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={y|y=x2,x∈A},则 A∩B=( A.[﹣1,0] B.[0,2] C.[2,4] D.[﹣1,4] ) )

2.若复数 z 满足 z(2﹣i)=i,则|z|=( A. B. C. D.

3.从含有质地均匀且大小相同的 2 个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球, 若取到红球的概率是 ,则取得白球的概率等于( A. B. C. D. ,其面积等于 D.7 ,则 BC 等于( ) )

4.在△ABC 中, A. B. C.3

5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 的一个焦点为 F(2,0) ,一条渐近线的 倾斜角为 60°,则 C 的标准方程为( A. B. C. ) D. ,则 a3a5=( )

6.若等比数列{an}的前 n 项和 A.4 B.8 C.16 D.32

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的外接球的表面积等于( )

A.

B.3π C.8π D.12π

8.执行如图所示的程序框图,若输入的 k,b,r 的值分别为 2,2,4,则输出 i 的值是( )

A.4

B.3

C.6

D.7 z=x+y+3 与 z=x+ny 取得最大值的最优解相同, , ) D.[1,+∞)

9. y 满足约束条件 若 x, 则实数 n 的取值范围是( A.{1} B. C.

10.函数

的图象大致是(



A.

B



C.

D.

11.已知 2a+2b=2c,则 a+b﹣2c 的最大值等于( A.﹣2 B.﹣1 C. D.



12.若数列{an}的前 n 项和为 A.﹣8 B.﹣6 C.0 D.2

,则 2a1+a100=(



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知| |=2, 是单位向量,且 与 夹角为 60°,则 ?( ﹣ )等于 .

14.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用 符号表示为 a2+b2=c2(a,b,c∈N*) ,我们把 a,b,c 叫做勾股数.下列给出几 组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测 第 5 组股数的三个数依次是 .

15.已知 F1,F2 为椭圆 C 的两个焦点,P 为 C 上一点,若|PF1|,|F1F2|,|PF2| 成等差数列,则 C 的离心率为 . .

16. 关于 x 的方程 kx2﹣2lnx﹣k=0 有两个不等实根, 则实数 k 的取值范围是

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 .

(1)作出函数 y=f(x)在一个周期内的图象,并写出其单调递减区间; (2)当 时,求 f(x)的最大值与最小值.

18.如图 1,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,D,F 分别为 AB,AC 的中点,E 为 AD 的中点.将△BCD 与△AEF 分别沿 CD,EF 同侧折起,使得二面角 A﹣EF﹣D 与二面角 B﹣CD﹣E 的大小都等于 90°,得到如图 2 所示的多面体.

(1)在多面体中,求证:A,B,D,E 四点共同面; (2)求多面体的体积. 19.某公司为评估两套促销活动方案(方案 1 运作费用为 5 元/件;方案 2 的运 作费用为 2 元/件) ,在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种 促销活动方案) ,运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等 高条形图如图所示. (1)请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活 动方案(不必说明理由) ; (2)已知该公司产品的成本为 10 元/件(未包括促销活动运作费用) ,为制定本 年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的 8 组售价 xi(单位:元/件,整数) 和销量 yi(单位:件) (i=1,2,…,8)如下表所示: 售价 x 销量 y 33 840 35 800 37 740 39 695 41 640 43 580 45 525 47 460

①请根据下列数据计算相应的相关指数 R2,并根据计算结果,选择合适的回归

模型进行拟合; ②根据所选回归模型,分析售价 x 定为多少时?利润 z 可以达到最大.

49428.74

11512.43

175.26

124650

(附:相关指数



20.已知 F 为抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两 点,M 为 AB 中点,点 M 到 x 轴的距离为 d,|AB|=2d+1. (1)求 p 的值; (2)过 A,B 分别作 C 的两条切线 l1,l2,l1∩l2=N.请选择 x,y 轴中的一条, 比较 M,N 到该轴的距离. 21.已知函数 的底数. (1)求实数 b 的取值范围; (2)证明:x1+x2>2. 有两个极值点 x1,x2,其中 b 为常数,e 为自然对数

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选

修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C

的方程为 x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 l 的普通方程与 C 的极坐标方程; (2)已知 l 与 C 交于 P,Q,求|PQ|.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+3|+|2x﹣4|. (1)当 x∈[﹣3,3]时,解关于 x 的不等式 f(x)<6; (2)求证:? t∈R,f(x)≥4﹣2t﹣t2.

2017 年福建省泉州市普通高中高考数学适应性试卷(文 科) (1)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={y|y=x2,x∈A},则 A∩B=( A.[﹣1,0] B.[0,2] C.[2,4] D.[﹣1,4] )

【考点】1E:交集及其运算. 【分析】化简集合 B,然后直接利用交集的运算求解. 【解答】解:合 A={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1,2],B={y|y=x2,x∈A}=[0,4], 则 A∩B=[0,2], 故选:B

2.若复数 z 满足 z(2﹣i)=i,则|z|=( A. B. C. D.



【考点】A8:复数求模. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:z(2﹣i)=i,∴z(2﹣i) (2+i)=i(2+i) ,∴5z=2i﹣1.即 z= i. 则|z|= 故选:B. = . +

3.从含有质地均匀且大小相同的 2 个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球, 若取到红球的概率是 ,则取得白球的概率等于( A. B. C. D. )

【考点】CB:古典概型及其概率计算公式. 【分析】利用取到红球的概率是 ,求出 n,即可求出取得白球的概率. 【解答】解:由题意, ∴取得白球的概率等于 , 故选 C. = ,∴n=3,

4.在△ABC 中, A. B. C.3 D.7

,其面积等于

,则 BC 等于(



【考点】HP:正弦定理. 【分析】由已知利用三角形面积公式可求 AC 的值,进而利用余弦定理即可计算 得解. 【解答】解:∵ ∴AC=1, ∴BC= 故选:A. = = . ,面积 S 等于 = AB?AC?sinA= ,

5.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 的一个焦点为 F(2,0) ,一条渐近线的 倾斜角为 60°,则 C 的标准方程为( A. B. C. ) D.

【考点】KC:双曲线的简单性质. 【分析】由题意,c=2, = ,a=1,b= = ,即可求出 C 的标准方程. ,

【解答】解:由题意,c=2, ∴C 的标准方程为 故选:C. =1,

,∴a=1,b=

6.若等比数列{an}的前 n 项和 A.4 B.8 C.16 D.32

,则 a3a5=(



【考点】89:等比数列的前 n 项和. 【分析】利用递推关系可得 an,即可得出. 【解答】解:等比数列{an}的前 n 项和 ,

n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+a﹣(2n﹣2+a) ,化为:an=2n﹣2. 则 a3a5=2×23=16. 故选:C.

7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的外接球的表面积等于( )

A.

B.3π C.8π D.12π

【考点】L!:由三视图求面积、体积. 【分析】作出棱锥的直观图,根据棱锥的结构特征得出外接球的球心位置,再计 算球的表面积. 【解答】解:作出几何体的三视图如图所示: 其中 PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2, ∴PB=2 ,PC=2 ,

∵三棱锥的各侧面均为直角三角形, ∴PC 为棱锥外接球的直径,

∴外接球的表面积 S=4π×( 故选 D.

)2=12π.

8.执行如图所示的程序框图,若输入的 k,b,r 的值分别为 2,2,4,则输出 i 的值是( )

A.4

B.3

C.6

D.7

【考点】EF:程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y,i 的值,当 x=4, y=10 时满足条件,退出循环,输出 i 的值为 3,从而得解. 【解答】解:模拟程序的运行,可得: k=2,b=2,r=4,i=0,x=﹣4 x=﹣3,y=﹣4 不满足条件 x2+y2<r2,不满足条件 x≥r,x=﹣2,y=﹣2

满足条件 x2+y2<r2,i=1,不满足条件 x≥r,x=﹣1,y=0 满足条件 x2+y2<r2,i=2,不满足条件 x≥r,x=0,y=2 满足条件 x2+y2<r2,i=3,不满足条件 x≥r,x=1,y=4 不满足条件 x2+y2<r2,不满足条件 x≥r,x=2,y=6 不满足条件 x2+y2<r2,不满足条件 x≥r,x=3,y=8 不满足条件 x2+y2<r2,不满足条件 x≥r,x=4,y=10 不满足条件 x2+y2<r2,满足条件 x≥r,退出循环,输出 i 的值为 3. 故选:B.

9. y 满足约束条件 若 x, 则实数 n 的取值范围是( A.{1} B. C. )

z=x+y+3 与 z=x+ny 取得最大值的最优解相同, ,

D.[1,+∞)

【考点】7C:简单线性规划. 【分析】利用可行域,判断目标函数的最大值的最优解的位置,然后利用直线的 斜率推出结果即可.

【解答】解:x,y 满足约束条件

的可行域如图:

平移直线 x+y+3=0,当直线经过可行域的 A 时, 目标函数取得最大值,由 解得 A(1,2) ; , (n>0) , 解得 n .

z=x+y+3 与 z=x+ny 取得最大值的最优解相同, 可得, 故选:C.

10.函数

的图象大致是(



A.

B



C.

D.

【考点】3O:函数的图象. 【分析】由于 f(﹣x)=﹣f(x) ,得出 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称, 利用导数研究根据函数的单调性质,得出正确选项. 【解答】解:∵函数 ,可得 f(﹣x)=﹣f(x) ,

∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除 A, 函数的定义域为{x|x≠0,x≠±1},

令 x= ,f(x)=

<0,排除 B,

x>1,f′(x)= 故选 C

>0,函数单调递增,排除 D,

11.已知 2a+2b=2c,则 a+b﹣2c 的最大值等于( A.﹣2 B.﹣1 C. D.



【考点】4H:对数的运算性质. 【分析】根据基本不等式即可求出答案. 【解答】解:2a+2b≥2 ∴2c≥ , = ,当且仅当 a=b 时取等号.

∴c≥a+b+2, ∴a+b﹣2c≤﹣2, 故则 a+b﹣2c 的最大值等于﹣2, 故选:A.

12.若数列{an}的前 n 项和为 A.﹣8 B.﹣6 C.0 D.2

,则 2a1+a100=(



【考点】8E:数列的求和. 【分析】将 S2n=S2n﹣1+a2n 代入条件式化简得出关于 S2n﹣1 的二次方程,根据判别 式等于 0 得出 a2n=0,再令 n=1 计算 a1 即可. 【解答】解:∵S ∴S ∴2S +S =4(a2n﹣2) ,

+(S2n﹣1+a2n)2=4a2n﹣8, +2a2nS2n﹣1+a ﹣4a2n+8=0, +32a2n﹣64=﹣4(a2n﹣4)2=0,

∴△=4a2n2﹣8(a ∴a2n=4,

﹣4a2n+8)=﹣4a

∴a2=a100=4, ∵S +S =4(a2n﹣2) ,

∴当 n=1 时,a12+(a1+4)2=8,解得 a1=﹣2. ∴2a1+a100=0. 故选:C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上 13.已知| |=2, 是单位向量,且 与 夹角为 60°,则 ?( ﹣ )等于 【考点】9R:平面向量数量积的运算. 【分析】依题意,利用平面向量的数量积即可求得 ?( ﹣ )的值. 【解答】解:∵| |=2, 是单位向量,且 与 夹角为 60°, ∴ ?( ﹣ )= 故答案为:3. ﹣ ? =4﹣2×1× =3, 3 .

14.中国古代数学名草《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用 符号表示为 a2+b2=c2(a,b,c∈N*) ,我们把 a,b,c 叫做勾股数.下列给出几 组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测 第 5 组股数的三个数依次是 【考点】F1:归纳推理. 【分析】先找出勾股数的规律:①以上各组数均满足 a2+b2=c2;②最小的数(a) 是奇数, 其余的两个数是连续的正整数;③最小奇数的平方等于另两个连续整数 的和,即可得出结论. 【解答】解:先找出勾股数的规律:①以上各组数均满足 a2+b2=c2;②最小的数 (a)是奇数,其余的两个数是连续的正整数;③最小奇数的平方等于另两个连 续整数的和, 如 32=9=4+5,52=25=12+13,72=49=24+25,92=81=40+41…,由以上特点我们可第 ⑤组勾股数:112=121=60+61, 故答案为 11,60,61. 11,60,61 .

15.已知 F1,F2 为椭圆 C 的两个焦点,P 为 C 上一点,若|PF1|,|F1F2|,|PF2| 成等差数列,则 C 的离心率为 【考点】K4:椭圆的简单性质. 【分析】根据等差中项的定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率. 【解答】解:∵|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a, 即 4c=2a, ∴e= = . 故答案为: . .

16. 关于 x 的方程 kx2﹣2lnx﹣k=0 有两个不等实根, 则实数 k 的取值范围是 (0, 1)∪(1,+∞) .

【考点】54:根的存在性及根的个数判断. 【分析】由题意可得 x=1 为方程的一个根,则方程的另一个根为 x>0 且 x≠1, 若 k=1,推出方程只有一解 x=1;讨论 x>1,0<x<1,分离参数 k,求出右边函 数的范围和单调性,即可得到所求 k 的范围. 【解答】解:关于 x 的方程 kx2﹣2lnx﹣k=0, 显然 x=1,k﹣2ln1﹣k=0 成立; 则方程的另一个根为 x>0 且 x≠1, 若 k=1,则方程为 x2﹣2lnx﹣1=0, 由 y=x2﹣2lnx﹣1,导数为 2x﹣ = 可得 x=1 为极小值点也为最小值点, 则 x2﹣2lnx﹣1=0 只有一解 x=1. 当 x>1 时,方程可化为 k= 由 f(x)= f′(x)= ,x>1, , , ,

令 g(x)=2x﹣ ﹣4xlnx,x>1, 可得 g′(x)=2+ ﹣4(1+lnx)= ﹣2﹣4lnx,

显然 g′(x)在 x>1 递减,即有 g′(x)<g′(1)=0, 则 g(x)在 x>1 递减,即有 g(x)<g(1)=0, 即有 f(x)在(1,+∞)递减; 同样当 0<x<1 时,f(x)递减, 且有 f(x)>0 在 x>0 且 x≠1 恒成立, 则当 k>0 且 k≠1 时,原方程有两个不等实根. 故答案为: (0,1)∪(1,+∞) .

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知函数 .

(1)作出函数 y=f(x)在一个周期内的图象,并写出其单调递减区间; (2)当 时,求 f(x)的最大值与最小值.

【考点】H2:正弦函数的图象. 【分析】 (1)利用三角恒等变换化简函数 f(x)为正弦型函数,按五个关键点列 表,描点并用光滑的曲线连接成图,由图写出 f(x)的单调递减区间; (2)由(1)中所作的函数图象,求出 f(x)在 【解答】解: (1)因为函数 = = = = 所以 按五个关键点列表,得 , , sin2x+ cos2x+cos2x+1 时的最值.

0 x y 1

π



1

1

描点并用光滑的曲线连接起来,得如下图:

由图可知 f(x)的单调递减区间为 (2)由(1)中所作的函数图象,可知 当 当 时,f(x)取得最大值 时,f(x)取得最小值 ; .



18.如图 1,在边长为 4 的正三角形 ABC 中,D,F 分别为 AB,AC 的中点,E 为 AD 的中点.将△BCD 与△AEF 分别沿 CD,EF 同侧折起,使得二面角 A﹣EF﹣D 与二面角 B﹣CD﹣E 的大小都等于 90°,得到如图 2 所示的多面体.

(1)在多面体中,求证:A,B,D,E 四点共同面; (2)求多面体的体积.

【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LX:直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)推导出 AE⊥平面 DEFC,BD⊥平面 DEFC,从而 AE∥BD,由此能证 明 A,B,D,E 四点共同面. (2)求出 AE 是四棱锥 A﹣CDEF 的高,点 A 到平面 BCD 的距离等于点 E 到平面 BCD 的距离,多面体的体积 V=VA﹣CDEF+VA﹣BCD,由此能求出结果. 【解答】证明: (1)因为二面角 A﹣EF﹣D 的大小等于 90°, 所以平面 AEF⊥平面 DEFC, 又 AE⊥EF,AE? 平面 AEF,平面 AEF∩平面 DEFC=EF, 所以 AE⊥平面 DEFC, 同理,可得 BD⊥平面 DEFC, 所以 AE∥BD,故 A,B,D,E 四点共同面. 解: (2)因为 AE⊥平面 DEFC,BD⊥平面 DEFC,EF∥CD,AE∥BD,DE⊥CD, 所以 AE 是四棱锥 A﹣CDEF 的高,点 A 到平面 BCD 的距离等于点 E 到平面 BCD, 又 所以 , , .

19.某公司为评估两套促销活动方案(方案 1 运作费用为 5 元/件;方案 2 的运 作费用为 2 元/件) ,在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种 促销活动方案) ,运作一年后,对比该地区上一年度的销售情况,制作相应的等 高条形图如图所示. (1)请根据等高条形图提供的信息,为该公司今年选择一套较为有利的促销活 动方案(不必说明理由) ; (2)已知该公司产品的成本为 10 元/件(未包括促销活动运作费用) ,为制定本 年度该地区的产品销售价格,统计上一年度的 8 组售价 xi(单位:元/件,整数) 和销量 yi(单位:件) (i=1,2,…,8)如下表所示: 售价 x 销量 y 33 840 35 800 37 740 39 695 41 640 43 580 45 525 47 460

①请根据下列数据计算相应的相关指数 R2,并根据计算结果,选择合适的回归 模型进行拟合;

②根据所选回归模型,分析售价 x 定为多少时?利润 z 可以达到最大.

49428.74

11512.43

175.26

124650

(附:相关指数



【考点】BK:线性回归方程. 【分析】 (1)由等高条形图可知,年度平均销售额与方案 1 的运作相关性强于方 案 2. (2)①求出相关指数,比较可得结论; ②由(1)可知,采用方案 1 的运作效果较方案 2 好,故年利润 ,利用导数的方法,可得结论. 【解答】解: (1)由等高条形图可知,年度平均销售额与方案 1 的运作相关性强 于方案 2. (2) ①由已知数据可知, 回归模型 回归模型 回归模型 对应的相关指数 对应的相关指数 对应的相关指数 ; . ;

因为

,所以采用回归模型

进行拟合最为合适.

②由(1)可知,采用方案 1 的运作效果较方案 2 好, 故年利润 当 x∈(0,40)时, 当 x∈(40,+∞)时, 故当售价 x=40 时,利润达到最大. ,z'=﹣(x+30) (x﹣40) , 单调递增; 单调递减,

20.已知 F 为抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两 点,M 为 AB 中点,点 M 到 x 轴的距离为 d,|AB|=2d+1. (1)求 p 的值; (2)过 A,B 分别作 C 的两条切线 l1,l2,l1∩l2=N.请选择 x,y 轴中的一条, 比较 M,N 到该轴的距离. 【考点】K8:抛物线的简单性质. 【分析】 (1)利用抛物线的定义,建立方程,即可得出结论; (2)判断 xM=xN, ,即可得出结论.

【解答】解: (1)设抛物线 C 的准线为 m,如图,过 A,B,M 分别作直线 m 的 垂线,垂足分别为 A1,B1,M1.

, 所以 ,所以 p=1. , 不 垂 直 于 x 轴 , 可 设

(2)由(1)得,抛物线 因 为 直 线 l





,消去 y 得,x2﹣2kx﹣1=0,

由韦达定理得, 所以 抛物线 C:x2=2y,即

, . ,故 y'=x,

因此,切线 l1 的斜率为 x1,切线 l1 的方程为 y=x1(x﹣x1)+y1, 整理得 同理可得 联立①②并消去 y,得 把 代入①,得 ①, ②, , ,故 , .

因为 xM=xN,

所以 M,N 到 y 轴的距离相等;M 到 x 轴的距离不小于 N 到 x 轴的距离. (注:只需比较 M,N 到 x 轴或 y 轴的距离中的一个即可)

21.已知函数 的底数.

有两个极值点 x1,x2,其中 b 为常数,e 为自然对数

(1)求实数 b 的取值范围; (2)证明:x1+x2>2. 【考点】6D:利用导数研究函数的极值;6B:利用导数研究函数的单调性.

【分析】 (1) 求出函数的导数, 问题转化为关于 x 的方程 令 ,则

有两个不同的解,

,根据函数的单调性求出 b 的范围即可; ,令 h(t)

(2)问题转化为 g(x2)﹣g(2﹣x2)>0,即

=e2t﹣e2t(2﹣t) ,根据函数的单调性得到 h(t)>0,从而证出结论. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域为 R,f'(x)=x+bex. 因为函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,所以 f'(x)=x+bex 有两个变号零点, 故关于 x 的方程 令 ,则 有两个不同的解, ,

当 x∈(﹣∞,1)时 g'(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,g'(x)<0, 所以函数 减, 又当 x→﹣∞时,g(x)→﹣∞;当 x→+∞时,g(x)→0,且 故 ,所以 . , 在区间(﹣∞,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递

(2)不妨设 x1<x2,由(1)可知,x1<1<x2,所以 x1,2﹣x2∈(﹣∞,1) , 因为函数 在区间(﹣∞,1)上单调递增,

若 x1+x2>2 即 x1>2﹣x2 时,g(x1)>g(2﹣x2)即 g(x1)﹣g(2﹣x2)>0. 又 g(x1)=g(x2) ,所以 g(x1)﹣g(2﹣x2)>0 可化为 g(x2)﹣g(2﹣x2)> 0, 即 即 ,

令 h(t)=e2t﹣e2t(2﹣t) ,则 h(1)=0,h'(t)=e2﹣e2t(3﹣2t) , 令 φ(t)=h'(t) ,则 φ(1)=0,φ'(t)=4e2t(t﹣1) , 当 t>1 时,φ'(t)>0,所以 h'(x)在区间(1,+∞)上单调递增,则 h'(t) >h'(1)=0, 所以 h(t)在区间(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=0.证毕.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C

的方程为 x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 l 的普通方程与 C 的极坐标方程; (2)已知 l 与 C 交于 P,Q,求|PQ|. 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QH:参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)圆 C 的方程为 x2+y2﹣4x﹣2y+4=0.曲线 C 的标准方程为(x﹣2)2+ (y﹣1)2=1.把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入,化简得:曲线 C 的极坐标方程. (2)将直线 l 的参数方程 (t 为参数) ,代入曲线 C 的方程,得 t2﹣3

t+4=0,利用|PQ|=|t1﹣t2|=

即可得出.

【解答】解: (1)圆 C 的方程为 x2+y2﹣4x﹣2y+4=0. 曲线 C 的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=1. 把 x=ρcosθ , y=ρsinθ 代入,化简得:曲线 C 的极坐标方程为: ρ2 ﹣ 4ρcosθ ﹣ 2sinθ+4=0. (2)将直线 l 的参数方程 t+4=0, t1+t2=3 ,t1?t2=4, = = . (t 为参数) ,代入曲线 C 的方程,得 t2﹣3

∴|PQ|=|t1﹣t2|=

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+3|+|2x﹣4|. (1)当 x∈[﹣3,3]时,解关于 x 的不等式 f(x)<6; (2)求证:? t∈R,f(x)≥4﹣2t﹣t2.

【考点】R5:绝对值不等式的解法;R4:绝对值三角不等式. 【分析】 (1)通过讨论 a 的范围,求出不等式的解集即可; (2)求出 f(x)的分段函数的形式,求出 f(x)的最小值,得到关于 t 的不等 式,证出即可. 【解答】解: (1)当﹣3≤x≤2 时,f(x)=x+3﹣(2x﹣4)=﹣x+7, 故原不等式可化为﹣x+7<6, 解得:x>1,故 1<x≤2; 当 2<x≤3 时,f(x)=x+3+(2x﹣4)=3x﹣1, 故原不等式可化为 3x﹣1<6,解得 综上,可得原不等式的解集为 ; .

(2)证明:



由图象,可知 f(x)≥5, 又因为 4﹣2t﹣t2=﹣(t+1)2+5≤5, 所以 f(x)≥4﹣2t﹣t2.

2017 年 6 月 3 日
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