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【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮复习课件:1-4-1第1讲 立体几何的基本问题(计算与位置关系)._图文

第1讲 立体几何的基本问题(计算与位置关系)
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高考定位 1.通过对近几年高考试题的分析可看出,空间几何体 的命题形式比较稳定,多为选择题或填空题,有时也出现在解 答题的某一问中,此类问题多为考查三视图的还原问题,且常 与空间几何体的表面积、体积等问题交汇,是每年的必考内 容.2.有关线线、线面、面面平行与垂直的证明.试题以解答题 为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推 理论证能力.
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[真题感悟]

1.(2014·辽宁卷)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下

列说法正确的是

( ).

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊥α,n?α,则m⊥n

C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α

D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α

解析 由线面垂直的定义知,若m⊥α,n?α,则m⊥n,故选

B. 答案 B

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2.(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此

几何体的表面积是

( ).

A.90 cm2

B.129 cm2

C.132 cm2

D.138 cm2

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解析 该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm, 3 cm,直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,所以表面积 S = (2×4×6 + 2×3×4 + 3×6 + 3×3) + ???3×4+3×5+2×12×3×4???=138(cm2),故选 D.
答案 D
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3.(2014·陕西卷)已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正四棱柱的

各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为

( ).

32π A. 3

B.4π

C.2π

4π D. 3

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解析 如图:连接 AC,BD 相交于 O1,连接 A1C1,B1D1,相交

于 O2 并连接 O1O2,则线段 O1O2 的中点 O 为球心.

∴半径 R=|OB|= |OO1|2+|O1B|2



?? ??

22????2+????

22????2=1,

∴V 球=43πR3=43π,故选 D.

答案 D

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4.(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则 该几何体的体积为________m3.
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解析 由几何体的三视图知,该几何体由两部分组成,一部分是

底面半径为 1 m,高为 4 m 的圆柱,另一部分是底面半径为 2 m,

高为 2 m 的圆锥.

∴V=V 柱+V 锥=π×12×4+13π×22×2=203π(m3).

答案

20π 3

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[考点整合] 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平
行六面体、长方体之间的关系.
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2.用斜二测画法画出的水平放置的平面图形直观图的面积是原 图形面积的 42倍.
3.几何体的摆放位置不同,其三视图也不同,需要注意长对正, 高平齐,宽相等.
4.空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式: ①S 柱侧=ch(c 为底面周长,h 为高); ②S 锥侧=12ch′(c 为底面周长,h′为斜高);
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③S 台侧=12(c+c′)h′(c′,c 分别为上下底面的周长,h′为斜 高); ④S 球表=4πR2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和球的体积公式: ①V 柱体=Sh(S 为底面面积,h 为高); ②V 锥体=13Sh(S 为底面面积,h 为高); ③V 台=13(S+ SS′+S′)h(不要求记忆); ④V 球=43πR3.
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5.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α. (2)线面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b. (3) 面 面 平 行 的 判 定定理: a?β , b?β , a∩b= P,a∥α, b∥α?α∥β. (4)面面平行的性质定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b? a∥b.
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6.直线、平面垂直的判定及其性质 (1) 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 : m?α , n?α , m∩n = P , l⊥m , l⊥n?l⊥α. (2)线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α?a∥b. (3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?α⊥β. (4)面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.
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热点一 空间几何体的表面积和体积的求解

[微题型1] 以三视图为载体求几何体的表面积

【例1-1】 (2014·咸阳一模)某几何体的三视图如图(其中侧视

图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为

( ).

A.92+14π

B.82+14π

C.92+24π

D.82+24π

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解析 由三视图可知:原几何体为一个长方体上面放着半个圆 柱,其中长方体的长宽高分别为 5,4,4,圆柱的底面半径为 2,高 为 5,所以该几何体的表面积为:S=5×4+2×4×4+2×5×4 +π×22+12π×2×5×2=92+14π. 答案 A
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规律方法 (1)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的 三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数 量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.(2)多面体 的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部 分的处理.
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[微题型 2] 以三视图为载体求几何体的体积

【例 1-2】 (2014·辽宁卷)某几何体三视图如图所示,则该几何

体的体积为

( ).

A.8-2π

B.8-π

C.8-π2

D.8-π4

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解析 这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体,且该几 何体的高为 2,V=23-12×π×1×2=8-π,故选 B. 答案 B 探究提高 若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图 得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
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[微题型3] 以空间几何体为载体求其体积 【例1-3】 (2014·南阳联考)如图所示,ABCD是正方形,PA⊥
平面ABCD,E,F分别是AC,PC的中点,PA=2,AB=1, 求三棱锥C-PED的体积.
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解 ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA 是三棱锥 P-CED 的高,PA=2. ∵ABCD 是正方形,E 是 AC 的中点, ∴△CED 是等腰直角三角形. AB=1,故 CE=ED= 22, S△CED=12CE·ED=12·22·22=14. 故 VC-PED=VP-CED=13·S△CED·PA=13·14·2=16.
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规律方法 (1)求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转 换原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.(2)若所 给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、 分割法、补形法等方法进行求解.
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【训练1】 (2014·新课标全国卷Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格 的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为3 cm,高为6 cm的圆柱体毛坯切削 得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( ).
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17

5

A.27

B.9

C.1207

D.13

解析 ∵加工前零件半径为3 cm,高为6 cm; ∴体积V1=π·32·6=54π (cm3), 由三视图知:加工后的零件,左边为小圆柱,半径为2 cm,高 为4 cm,

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右边为大圆柱,半径为 3 cm,高为 2 cm, ∴体积 V2=π·22·4+π·32·2=34π (cm3), ∴削掉部分的体积为 54π-34π=20π (cm3), ∴所求体积之比为2504ππ=1207.故选 C. 答案 C
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热点二 点、线、面的位置关系

[微题型1] 空间中线面位置关系的组合判断

【例2-1】 已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平

面,下列命题中真命题的个数是

( ).

①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;

②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;

③若m∥α,α∩β=n,则m∥n;

④若m⊥α,m?β,则α⊥β.

A.1

B.2

C.3

D.4

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解析 对于①,由于垂直于同一条直线的两个平面互相平行, 故①为真命题;对于②,两条平行直线中的一条直线垂直于一 个平面,则另一条直线也垂直于这个平面,故②为真命题;对 于③,直线m与直线n可能异面,也可能平行,故③为假命题; 对于④,可根据面面垂直的判定定理得④为真命题,故选C. 答案 C
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探究提高 空间中线面位置关系问题主要考查空间中线面位置 关系的概念、定理,考查特例和反例,特别是在空间线面位置 关系的相关定理中抽掉一些条件的命题,目的是考查学生对这 些定理掌握的程度,在解题时只要对各个选项逐个进行判断即 可找到正确的结论.
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[微题型 2] 空间中平行、垂直关系的证明 【例 2-2】(2013·广东卷)如图 1,在边长为 1 的等边三角形 ABC
中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中 点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 2 所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= 22.
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(1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD=23时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. (1)证明 在等边△ABC 中,AD=AE, ∴ADDB=EACE在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立. ∴DE∥BC, 又 DE?平面 BCF,BC?平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF.
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(2)证明 在等边△ABC 中,F 是 BC 的中点,∴AF⊥CF. ∵在三棱锥 A-BCF 中,BC= 22,BF=CF=12, ∴BC2=BF2+CF2,∴CF⊥BF. 又 BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)解 VF-DEG=VE-DFG=13×12×DG×FG×GE =13×12×13×????13× 23????×13=3234.
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规律方法 (1)解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关 系和数量关系改变,哪些不变,抓住翻折前后不变的量,充分 利用原平面图形的信息是解决问题的突破口.(2)把平面图形翻 折后,经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥,从而把问题转 化到我们熟悉的几何体中解决.
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【训练2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA, AB∥CD , AB = 2CD , E , F , G , M , N 分 别 为 PB , AB , BC,PD,PC的中点. (1)求证:CE∥平面PAD; (2)求证:平面EFG⊥平面EMN.
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证明 (1)法一 如图 1,取 PA 的中点 H,连接 EH,DH. 又因为 E 为 PB 的中点, 所以 EH∥AB,EH=12AB. 又 AB∥CD,CD=12AB, 所以 EH∥CD,EH=CD. 所以四边形 DCEH 是平行四边形. 所以 CE∥DH. 又 DH?平面 PAD,CE?平面 PAD, 所以 CE∥平面 PAD.
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法二 如图 2,连接 CF. 因为 F 为 AB 的中点, 所以 AF=12AB. 又 CD=12AB,所以 AF=CD. 又 AF∥CD, 所以四边形 AFCD 为平行四边形. 所以 CF∥AD.
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又CF?平面PAD,AD?平面PAD, 所以CF∥平面PAD. 因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA. 又EF?平面PAD,PA?平面PAD, 所以EF∥平面PAD. 因为CF∩EF=F, 故平面CEF∥平面PAD. 又CE?平面CEF,所以CE∥平面PAD.
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(2)因为E,F分别为PB,AB的中点, 所以EF∥PA.又AB⊥PA,所以AB⊥EF. 同理可证AB⊥FG. 又EF∩FG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG, 因此AB⊥平面EFG. 又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥DC. 又AB∥DC,所以MN∥AB, 所以MN⊥平面EFG. 又MN?平面EMN, 所以平面EFG⊥平面EMN.
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1.注意几何体的表面积与侧面积的区别,侧面积只是表面积的 一部分,不包括底面积,而表面积包括底面积和侧面积.
2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系不清,如棱长为 a 的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为 23a,a2, 2 2 a.
3.锥体体积公式为 V=13Sh,在求解锥体体积时,不能漏掉13.
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4.垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行,常用方法如 下: (1)证明线线平行常用的方法:一是利用平行公理,即证两直 线同时和第三条直线平行;二是利用平行四边形进行平行转 换;三是利用三角形的中位线定理证线线平行;四是利用线 面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边中线即 高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:即要证两线 垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,l⊥α, a?α?l⊥a.
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5.在应用直线和平面平行的性质定理时,要防止出现“一条直 线平行于一个平面就平行于这个平面内的所有直线”的错 误.
6.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的 不变“性”与“量”,即两条直线的平行与垂直关系以及相 关线段的长度、角度等.
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