当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学人教A版必修4课件:1.1.1 任意角_图文

第一章 三角函数

§1.1 任意角和弧度制

内容 索引

01

明目标 知重点

填要点 记疑点

02

03

探要点 究所然

当堂测 查疑缺

04

明目标、知重点

明目标、知重点

1.了解角的概念.

2.掌握正角、负角和零角的概念,理解任意角的意义.
3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念,会用集合

符号表示这些角.

明目标、知重点

填要点·记疑点

1.角的概念 (1)角的概念:角可以看成平面内 一条射线 绕着 端点 从一个 位置 旋转 到另一个位置所成的图形.

明目标、知重点

(2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类 类型 正角 定义 按 逆时针方向旋转 形成的角 图示

负角 零角

按 顺时针方向旋转 形成的角
一条射线 没有作任何旋转 ,称它 形成了一个零角
明目标、知重点

2.象限角 角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是 第几象限角 .如果 角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,

3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β 360°,k∈Z },即任一与角α终边相同的角,都可以表示成 = α+k· 角α与 整数个周角 的和.
明目标、知重点

探要点·究所然 情境导学 过去我们学习了0°~360°范围的角,但在实际问题中还会遇

到其他角 . 如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中,常常
听到 “ 转体 1080°” 、 “ 踺子后手翻转体 180°接前直空翻 540°”等这样的解说.因此,仅有0°~360°范围内的角是不够 的,我们必须将角的概念进行推广.
明目标、知重点

探究点一 角的概念的推广
思考 1 我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点出发 的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围,也不能表示具 有相反意义的旋转量.那么,从“旋转”的角度,对角如何重新定义? 正角、负角、零角是怎样规定的? 答 一条射线 OA 绕着端点 O 旋转到 OB 的位置所形成的图形叫做角, 射线OA叫角的始边,OB叫角的终边,O叫角的顶点. 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫

做负角,如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个零角.
明目标、知重点

思考2 如图,已知角α=120°,根据角的定义,则

β、-α、-β、γ分别等于多少度?
答 -240°;-120°;240°;480°. 思考3 经过10小时,分别写出时针和分针各自旋转所形成的角. 答 经过10小时,时针旋转形成的角是-300°,分针旋转形成的角

是-3 600°.

明目标、知重点

探究点二 象限角与终边落在坐标轴上的角 思考1 象限角定义中说:角的始边与 x轴的非负半轴重合,如

果改为与x轴的正半轴重合行不行,为什么? 答 不行,因为始边包括端点(原点).

明目标、知重点

思考2

是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?终边落

在坐标轴上的角经常用到,下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的

角,请完成下表.
答 不是,因为一些特殊角终边可能落在坐标轴上;如果角的终

边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.

明目标、知重点

终边所在的位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴

角的集合 {α|α=k· 360°,k∈Z} {α|α=k· 360°+180°,k∈Z} {α|α=k· 360°+90°,k∈Z} {α|α=k· 360°+270°,k∈Z}

y轴负半轴

明目标、知重点

思考3 下表是终边落在各个象限的角的集合,请补充完整. α终边所在的象限 角α的集合 {α|k· 360°<α<k· 360°+90°,k∈Z} {α|k· 360°+90°<α<k· 360°+180°,k∈Z}

第一象限
第二象限 第三象限

{α|k· 360°+180°<α<k· 360°+270°,k∈Z} {α|k· 360°-90°<α<k· 360°,k∈Z}
明目标、知重点

第四象限

探究点三 终边相同的角

思考1 答

在同一直角坐标系中作出 390°,-330°,30°的角,并观

察这三个角终边之间的关系和角的大小关系.

终边相同,并相差360°的整数倍.
对于任意一个角α,与它终边相同的角的集合应如何表示?

思考2

答 所有与α终边相同的角,连同α在内,可以构成一个集合
S= {β|β = α+k· 360°,k∈Z},即任何一个与角 α 终边相同的角, 都可以表示成角α与整数个周角的和.
明目标、知重点

思考3

集合S={α|α=k· 360°-30°,k∈Z} 表示与角- 30°终边

相同的角,其中最小的正角是多少度?已知集合S= {α|α=45°
+k· 180°,k∈Z},则角α的终边落在坐标系中的什么位置?

答 330°;第一或第三象限的角平分线上.

明目标、知重点

例1

在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它

们是第几象限角.

(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.
解 (1)因为- 150°=-360°+ 210°,所以在 0°~ 360°范围内,与-

150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.
(2) 因为 650°= 360°+ 290°,所以在 0°~ 360°范围内,与 650°角终边

相同的角是290°角,它是第四象限角.
(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°~360°范围内, 与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.
明目标、知重点

反思与感悟

解答本题可先利用终边相同的角的关系β=α+

k· 360°,k∈Z,把所给的角化归到 0°~360°范围内,然后利

用0°~360°范围内的角分析该角是第几象限角.

明目标、知重点

跟踪训练1 判断下列角的终边落在第几象限内: (1)1 400°; (2)-2 016°. 解 (1)1 400°=3×360°+320°,∵320°是第四象限角, ∴1 400°也是第四象限角.

(2)-2 016°=-6×360°+144°,∴-2 016°与144°终边相同.
∴-2 016°是第二象限角.
明目标、知重点

例2 写出终边在y轴上的角的集合.
解 所有与90°终边相同的角构成集合

S1={β|β=90°+k· 360°,k∈Z}.
所有与270°角终边相同的角构成集合 S2={β|β=270°+k· 360°,k∈Z}. 于是,终边在y轴上的角的集合S=S1∪S2 ={β|β=90°+k· 360°,k∈Z}∪{β|β=270°+k· 360°,k∈Z} ={β|β=90°+2k· 180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)· 180°,k∈Z} ={β|β=90°+n· 180°,n∈Z}.
明目标、知重点

反思与感悟

利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合,

如果集合能化简的还要化成最简. 跟踪训练2 写出终边落在x轴上的角的集合S.
解 S={α|α=k· 360°,k∈Z}∪{α|α=k· 360°+180°,k∈Z}

={α|α=2k· 180°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)· 180°,k∈Z}
={α|α=n· 180°,n∈Z}.

明目标、知重点

例3 解

写出终边落在直线 y=x上的角的集合S,并把S中 直线y=x与x轴的夹角是45°,在0°~360°范围内,

适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 终边在直线y=x上的角有两个:45°,225°.因此,终边 在直线y=x上的角的集合:

S = {β|β = 45°+ k· 360°, k∈Z}∪{β|β = 225°+ k· 360°,
k∈Z}
明目标、知重点

= {β|β = 45° + 2k· 180° , k∈Z}∪{β|β = 45° + (2k + 1)· 180°,k∈Z}={β|β=45°+n· 180°,n∈Z}. ∴S中适合-360°≤β<720°的元素是: 45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°;

45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°;
45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°.
明目标、知重点

反思与感悟

当角的集合的表达式分两种或两种以上

情形时,能合并的尽量合并,注意把最后角的集合化 成最简的形式.

明目标、知重点

跟踪训练3 求终边在直线y=-x上的角的集合S. 解 由于直线 y =- x 是第二、四象限的角平分线,在 0°~

360°间所对应的两个角分别是135°和315°,
从而S={α|α=k· 360°+135°,k∈Z}∪{α|α=k· 360°+315°, k∈Z} = {α|α = 2k· 180°+ 135°, k∈Z}∪{α|α = (2k + 1)· 180°

+135°,k∈Z}={α|α=n· 180°+135°,n∈Z}.
明目标、知重点

当堂测·查疑缺

1 2 3 4

1.-361°的终边落在( D )
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

明目标、知重点

1 2 3 4

2.下列各角中与330°角终边相同的角是( D )

A.510°

B.150°

C.-150°

D.-390°

明目标、知重点

1 2 3 4

3.若角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同 270° 的终边,那么角α=________. 解析 由于5α与α的始边和终边相同,所以这两角的差应是360° 的整数倍,即 5α - α = 4α = k· 360°(k∈Z). 又 180°<α<360°,所以 2<k<4,又k∈Z,所以k=3,所以α=270°.

明目标、知重点

1 2 3 4

4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S. 解 终边落在x轴上的角的集合: S1={β|β=k· 180°,k∈Z};

终边落在y轴上的角的集合:
S2={β|β=k· 180°+90°,k∈Z};

∴终边落在坐标轴上的角的集合:
S = S1∪S2 = {β|β = k· 180°, k∈Z}∪{β|β = k· 180°+ 90°, k∈Z} = {β|β =2k· 90°,k∈Z}∪{β|β=(2k+1)· 90°,k∈Z}={β|β=n· 90°,n∈Z}.
明目标、知重点

呈重点、现规律
1. 对角的理解,初中阶段是以 “ 静止 ” 的眼光看,高中阶段应用

“ 运动” 的观点下定义,理解这一概念时,要注意“ 旋转方向” 决
定角的“正负”,“旋转量”决定角的“绝对值大小”.

2.关于终边相同的角的认识
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个

集合S={β|β=α+k· 360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,
都可以表示成角α与整数个周角的和.
明目标、知重点

注意:(1)α为任意角; (2)k· 360°与α之间是“+”号,k· 360°-α可理解为k· 360°+(-α); (3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相 同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍; (4)k∈Z这一条件不能少.

明目标、知重点


以下是今天幸运会员获奖名单

dingding|6627.com|www.bet4731.com|mmzz2013|zhaopeikai|hg4031com|js8831com|hg5357.com|www.48284444.com|www.ggc199.com|gdn222|www.jsc9988.com

WWW471414|long1890|www292888com|6468.vip|www.hg899.com|pk35.cc|1475369|3596com|www.787728.com|www.4569nncomwww.|www.soti110.com|www.uuu746.com|bet1640com|WWW.JR2277.COM|k88918.cc|528706|https://s.aaacdb|wwwk58158com|57365f.net|m.agm8383.com|www.gxlsq com|www.231tv.com|226688f.cc|zh2013|77822.com|porno韩国|610969935|www.88tata.com|www.8577.com|www263525com|www.078.cc|www755msccom|25222com|www.xexo.com|32689v.net|liguang2|ks8413.vip|www.c20029.com|zf6840|1515hh最新网址|www028ktwxcom|475517983|ks938.vip|c123456hxq|dxp2013888|bifu10com|WWW.4444KK.COM|www9988vn77com|bbs.117jy.com|89589.com|www.707se.com|97wz小说下载|lksy7c.cc|dafa888.org|www.h29h|syj.21food.cn|www997tycom|www807779com|807077com|WWW.5868.LA|www193131com|hg97net|WWW.22216.COM|5627s|69tangdizhi69堂在线|wwwwww830810com|kuaijing22|qinsoygu.com|www998811c0m|t22288.com|51992.com|www15suncitycom|www.76886l.com|www.9928444.com|www.2394 hu.com|www.22007158.com|www.p77188.com|wwwa0168com|xg6678|X59999.COM|www.xb88gg.com|hg7788.com|www.21365333.com|5504ycom|888999Su|www.882387.com|m.kb8836.com|www.zr000.cc|hg1228com|www.bm87.cc|sbapp17.com|www258988com|847267com|gangqin.51240.com|xml.agoda.com|dan88dan88|www.911zy.cc|www.js353535.com|www1662849com|wwwdgzxglasscom|lqww1991.com|892734com|hewei333|2453cc|www.5278.cc|youfa9016com|fetg5t75|postgresql int|mki951|www.665776.com|www.2223.h.com|agent.252674.com|www.x88881.com|www.1089msc.com|www24766COM|WWW.52260.COM|www480306com|k2474.com|www.ccc724.com|www.js00158.co|www.pidai68.com|hg2025.com|www.61164.com|WWW.258168.COM|www.2019.xxx|www.www.tyc159.com|WWW.YM6888.COM|www.34239.com|www.16ckck.com|d245759744|www.ammgm6.com|12596.com|www.8866.jj.com|cc55cc.com|www.jyxdjs.cn|wwwhc6614com|jileboxnet|hj5599com|ccii369|www.tt656.net|www.1699.com|wwwtyc106com|www.40003855.com|36500000.com|www11446ccom|www.7262.com|biying980vip|www.71577.com|www.426022.com|www.83511.com|www.8989cf. com|syz004|www.bwin801.com|www.88888dvd.con|tyc838com|www880167com|www.ocheng365.com|jiosbqk84|www.57549.com|www.706693.com|www525336com|www.yehualu.us|wwwsg7pw|zzz12355|www8845com|dcyyh.com|qaws123|youfa8496com|

www.5751.com|www802828com|365y3com|wwwks1386com|41755.com|js1507com|www.9666.cn|www.luhu004.com|wwwfun144com|xpj19588.com|www.2687.cc|wwwvns0117com|wwwcom305555com|w5366836|www.665007.com|www55527mmmmcom|www.70228888.com|o2824.net|www1806aacom|www iii98 com|www.399880.com|www.78977a.com|www.886789.com|6388282|a7202117|bxy8688|www.799msc.com|www.2222op.com|www165.com|wwwg5474com|wwwkk55kkcocn|wwwmxfh22com|jie660964|www.0942poem.com|www.69229.com|zjg759221|sys57903333|www103suncitycom|www701848com|wwwyinlian333com|www.66031.com|1715.com|hg88800.com|mcolin11|www.avtb123.com|秋欲浓手机版在线播放器|1c11c11111111111a1111111111111111111111111111a111111v1x11zz1rt4wf7cn/soft/CESU_WS_API_v212pdf|永久seba5|www.bbboo.net|www.hg08.com|yb2830com|cq257867040|nainaidi|khb33con|m.918et.com|bet7988.com|335dabao.com|jdlalgx3zqc|0018972.com|www.3658888x.com|www.021.com|www.9724.com|yemao985最新地址|www.cheng555.com|WWW.HS997.COM|rtt004.com|wwwwxc983com|www57800kkcom|yl333.com|hj89akj|agks3815com|670916617@qq.com|wwwjs3502com|www.hk20.com|yabovip0559com|www.8088h.com|www.2274hu. http|wwwkoudai8com|www.622hh.com|WWW.KKJJSS.COM|www.66889.bz|8rb069com|qin16888|qy6561com|mkcv789|www.89257.com|www.80878hh.bet|www.ww.26138.cn|WWWJSDD77COM|www.451r.com|baren12.com|www.990090.com|www.cmw8822.com|www.406q.com|wwwa22365com|2289.qg786.com|336688x|4455hhgz|www.tt23488.com|www.vip6677.com|www.x5gs.com|lyq88888|www882110055com|www.bbb356.com|747539273@qq.com|yh8082.com|www.412333.com|www.6hc6.com|www4022ddcom|as7834|www.991133.com|m.lwxop.cn|tgo7777|as2588|www.789hk.com|hg5848.com|44899.com|n09.com|www.222lu.com|89555a.com|2294222931@qq.com|6688---55977.cc|wwwxh8701com|sbdg.vip|wh7483963|www776776tcom|ag85291|WWW.5978.COM|9m128com|wwwhg21123com|www208608com|1429h90com|wwwxpj7095com|www.387399.com|www.76566.com|wwwhg1215com|www329abc|www,bibizyz9.com|2014818084@qq.com|chdpqmwm|ag7837vip|wwwjsdc690com|wzy888|www.888300.com|www.912910.com|www.d92776.com|21jiba.xyz|www.t66y.com|151280com|p8355.com|peng118|cajaj.com|7380l|kj137.com|www.damnbikers.com|gay69bj|yxy888|www.87808.com|www.jiahe222.com|wwwhg4754com|www.2266cb.com|www17780002com|ahws9999.com|tuⅰche30、COm|fg321|wx2345|wwwhonghai20com|www.sb9889.com|

g6hentai|www.181yu.com|pu1155com|www.717577.COM|9926h.com|h55724348|帐号|www2078wnscom|www8797aavvcom|www.h3131.com|www.09619.com|1665|www.pj7746.com|www.BBB655. com|www.588.cn|un8833.com|m.tiaoflm.com|928530912@qq.com|www.ttepp.com|yaya0324|www.anluye.com|www.11171100.com|106k8.com|www.330bet77.com|xiaokang|mg5590.com|888593.com|www1111bmwcom|https://vip.aqd2.xyz:966/?f=m.weibotu.com|www.025pao.com|quanquan2|绵竹吧|vnsr54688com|www22gcgc. 8x5.biz|hg8432.com|www.hd9222.com|www.wzjs.com|www.576msc.com|wwwbm5630com|bls8|cjm1164|www.361888e.com|www.371490.com|www.69655i.com|826230com|www.xpj1658.com|13539475082@139.com|hg00328.com|www673888fco|lilixu|41s113221c.rt4wf7.cn/?p=465'|www.444234.com|www121com|www.98kk.org|wodecaipiao|zw1538|www.bjqidi.com|ssw333|www3488222com|g4732.com|678fff.com|1hjdc|zlbzlb|www.123789.me|www.js1992.com|www898865com|www.7777244.com|www2932com|wuwei123|xin679|2006.COM|www.234000.com|www.69111.net|www.szzycxs.com|mzc198567|www.37838.com|http:videocdn2quweikmcom:8091201|www.erazoom.com|ggg13888@163.com|119wei|wwwpj3399com|luguoyong|yazi123|459.com|www.yun978.com|pgb.zkdg666.com|www2583813com|www8825200com|www.664225.com|WWW978PJCOM|www.8998.com|zhouenzhi|meal.ga|5296kk.com|weiyeli626|WWW.339777.COM|ssspp8.comhttps|009959.com|wwwmi168168com|login.aspx|www.705456.com|www015707com|62gan.com|www.sasa22.com|amh999com|wwwxpj8264com|http://http//:d.oo14.com/77hl|893843com|www.pg616.com|laowai5111|1639|www.33eee.com|www.91bbee.com|5252kan.net|www80666scom|ll6242|www7878suncom|henhengan.com|51133mmmcom|k96.net|lawlee|www5988181|www.99ff076.com|18k dianyin|www.clubs33.com|222yyy.com|61805f.com|111|www.168123.com|WWW.JUDONG.CN|www.cbngo.review|dajiawang01com|www.ben88888.com|13701886|765699772@qq.com|www.kkk755|www.7006868.com|long5900com|3844ii.cc|bbs520|www3517pjcom|asbn33|qyy5355com|www.meb78.space|kk6263免费事情|www.f2dzy.com|www.3236522.com|www.7700.com|88907878com|tycw888|zhaopeiyuan|www.44ql.com|www757099com|405060|www.jh25.com|888suncity.com|1133H.COM|362286084|www.qy111.vip|hg4828.com|wy.6711.com|www.r70088.com|www.8344999.com|js0517com|www.99szs.com|64602d.com|733msc.com|jasonthebest|

ag6424com|www.uss123.com|www.da0066.com|www.22w.com|www.6084.com|poetryinstone.in|xpfaaa11|741852|www.80000nn.com|61666d.com|www.k588888.com|WWW.728.COM|1966|www.liuzichen123.com|wwwhg1125com|3188.com|wwwdj1333com|pj9860.com|c1947297261|yxx360.com|www.fk444.com|66888vip.com|924543.com|www.49979.com|www.58333.com|www.blr326.com|421789com|wwwhg4552com|5252hh国内地址|m.918ua.com|553456.com|www03877com|www067876com|555196.com|wwwxpj5710com|www.g5.com|www.328529.com|wwwhaodiaoyincom|3999ggg.com|WWW.068.CC|zl9267com|se. haoav03.com|www.8716666.com|157264066@qq.com|w0777.xyz|13036|jbb740.cc|60080606.com|www.p198.com|www.byt303.com|www.111-563.com|WWW.AG.33568877.COM|cry111|www275tyccom|www.5555be.com|wwwm9611com|m8882.com|wwwciti222com|5124com|yb5767com|sheses1121|zhang358|www.xuejiani.info|tq121|www63416666com|wwwhg8592com|www.c9844.com|youle704.com|hg8013.com|wwwxpj0400com|www.pj3073.com|nn655.cn|wxc798com|www.153509.com|tff51111|wwwrt222com|www.js376.com|www.ssc0505.com|www.141sp.com|www.bw8877.com|www.56606j.com|www.882293.com|cui1259|wwwyha828com|www.3738456.com|www.mng99.com|wwwag2020acom|wwwdhy472com|845888.com|688hh.com|wanhao6688.com|wwws1014com|www.tysun2828.com|www.kkxpj.com|www.1188093.com|xiaowei11|www.75506e.com|www.11018.com|www.2709966.com|1141yl|hg0270.com|www.uuu9.vom|www.hhgz6600.com|www.2229hg.com|836635com|zht56789|www424com|wwwhg0583com|xilixili.cn|www.964hu|www.yn677.com|997755zfcom|828zzz.com|4866c41.com|WWW.LH3689.COM|www.67ax.com|q79805468|manna|www.929945.com|www.ks9995.com|513067com|pj477777.com|www.caipiao038.com|4809u|www.298654.com|WWW.YRZX2.COM|www.723838.com|www.76543e.com|www.80700.com|wwwag6969gcom|690309com|hg14888.com|88789455|56256.com|a199304|aazz133|www.555257.com|wwwyfc001cc|changpei00|qwjt3vr0|www.ty5566.net|005598.com|0373.com|kx747.com|www.55403x.com|www53833com|tanjian1999|wwws785com|09569w|wwwbet365a2com|www.rf0688.com|WWW.65660.COM|wwwiegn55com|389188.com|www.ask3355.com|www.9sesese.com|c31q.vip|13145202com|www.hg9845.com|www.f6888.com|www.121suncity.com|606007com|kbl789com|13827788.com|www4353248com|www.895145.com|www.hg495.com|www.jg666888.com|

以上会员名单排名不分前后