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安徽省各地2015届高三数学上学期最新考试试题分类汇编 数列 理(含解析)


安徽省各地 2015 届高三上最新考试数学理试题分类汇编 数列
一、选择题 1、(蚌埠市 2015 届高三第一次质量检测)数列 ?an ? 是等差数列,若 a2 , a4 ? 3 , a6 ? 6 构成公比 为 q 的等比数列,则 q ? ( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4

2 、(淮北市、亳州市 2015 届高三第一次模拟)等差数列 ?an ? 有两项 am 和 ak (m ? k ) ,满足

am ?

1 1 , ak ? ,则该数列前 mk 项之和为 ( k m mk mk ?1 A. B C 2 2
2015

)

mk ? 1 2

D

mk ?1 2
三 点 共 线 ,

3 、 ( 淮 南 市

届 高 三 第 一 次 模 拟 ) 已 知

A,B,C

{an }为等差数列,且 OC ? a2 OA ? a12 OB ,则 a3 ? a15 ? a11的值为 1 1 A. 1 B. -1 C. D. ? 2 2

1 ? 2 a , ( 0 ? a ? ) n n ? 3 ? 2 4、 (黄山市 2015 届高三上学期第一次质量检测) 数列{an}满足 a n?1 = ? , 若 a1= , 5 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?
则 a 2015 =( A. ) B.

1 5

2 5

C.

3 5

D.

4 5

5、 (江南十校 2015 届高三上学期期末大联考)设{ an }是首项为 ? 列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数列,则 d= A、-1 B、-

1 ,公差为 d( d ? 0)的等差数 2

1 2

C、

1 8

D、

1 2

6、 (宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测) 设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和, 若 a1 ? 2, a5 ? 3a3 , 则 S9 ? (A) ? 72 (B) ? 54 (C) 54 (D) 90 2 7、(江淮名校 2015 届高三第二次联考)已知数列{an}的前 n 项之和是 Sn,且 4Sn=(an+1) ,则下 列说法正确的是 A.数列{an}为等差数列 B.数列{an}为等差或等比数列 C.数列{an}为等比数列 D.数列{an}可能既不是等差数列也不是等比数列 二、填空题
1

1 、(合肥市 2015 届高三第一次教学质量检测)已知 8 个非零实数 a1 , a2 , a3 ,…, a8 ,向量

???? OA 学科网 , 1 ? (a 1 , a2 ) ???? ? ???? ? ???? ? OA2 ? (a3 , a4 ), OA3 ? (a5 , a6 ), OA4 ? (a7 , a8 ) ,对于下列命题:① a1 , a2 , a3 ,…, a8 为等差数列,
则存在 i, j (1 ? i, j ? 8, i ? j, i, j ? N ? ) ,使

? OA
k ?1

4

???? ?
k

与向量 n ? (ai , a j ) 共线;②若 a1 , a2 , a3 ,…,a8

?

为公差不为 0 的等差数列,n ? (ai , a j ) (i ? j, i, j ? N ? ,1 ? i, j ? 8) ,q ? (1,1), M ? {y | y ? n ? q} , 则集合 M 中元素有 13 个; ③若 a1 , a2 , a3 , …,a8 为等比数列, 则对任意 i, j (1 ? i ? j ? 4, i, j ? N ? ) , 都有 OAi // OAj ;④若 a1 , a 2, a 3 ,…, a8 为等比数列,则存在 i, j (1 ? i ? j ? 4, i, j ? N ) ,使

?

?

? ?

???? ???? ?

?

?? ???? ???? ? ?? ???? ???? ? OAi ? OAj ? 0 ;⑤若 m ? OAi ? OAj i, j(1 ? i ? j ? 4, i, j ? N ? ) ,则 m 的值中至少有一个不小于 0,
上述命题正确的是______(填上所有正确命题的序号) 2、(淮南市 2015 届高三第一次模拟)已知Δ ABC 三条边 a,b,c 成公比大于 1 的等比数列,则

sin A ? cos A tan C 的范围 sin B ? cos B tan C
3、(滁州市高级中学联谊会 2015 届高三上学期期末联考)设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且

a2 ? 2a4 ? 5a6 ? 32 ,则 S9 ?
4 、 ( 合 肥 八 中 2015 届 高 三 第 四 次 段 考 ) 若 斜 ?ABC 的 内 角 A, B, C 成 等 差 数 列 , 则

tan A ? tan C ? tan A tan B tan C ?
5、 (江淮名校 2015 届高三第二次联考)已知正项等比数列{an}满足 a2015=2a2013+a2014,若存在两项 am、 an 使得 am an ? 4a1 则

n ? 4m 的最小值为 nm

6、(皖江名校 2015 届高三 1 月联考)等差数列{ an }中,Sn 为其前 n 项和,若 ___

S S4 2 ? ,则 5 ? _ S6 3 S8

三、解答题

2

1、(合肥市 2015 届高三第一次教学质量检测)设正项数列 {an } 的前 n 项和是 Sn ,且对 n ? N ,
2 都有 2Sn ? an ? an 。

?

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)对任意给定的不小于 2 的正整数 n ,数列 {bk } 满足 b1 ? n, 求 b1 ? b2 ? … ?bn .

bk ?1 an ? k ? (k ? 1, 2 ,… n ? 1 ), bk k ?1

2、 (淮北市、 亳州市 2015 届高三第一次模拟) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n ? (?1) n (n ? N * ) . (1)若 bn ? a2 n ?1 ?

1 ,求证:数列 {bn } 是等比数列并求其通项公式; 3

(2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)求证:

1 1 1 ? 3. + +…+ a1 a 2 an
n a n ?1 ( n ? N * ),数 2

3、(淮南市 2015 届高三第一次模拟)已知数列 {an } 满足 a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? 列 {bn } 为等比数列, a1 ? b1 ? 2, a2 ? b2 (I)求{

an }、{ bn }的 通项公式。 cn }。设 T 是数列{ cn } n

(II)若对每个正整数 k,在 bk 和 bk ?1 之间插入 ak 个 2,得到一个新数列{ 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m.

4、(黄山市 2015 届高三上学期第一次质量检测)已知函数 f(x)=lnx+cosx-( 为 f ? (x),且数列{an}满足 a n ?1 ? a n ? nf ?( ) ? 3(n ? N ) 。
*

6

?

?

?

9 )x 的导数 2

6

(1)若数列{an}是等差数列,求 a1 的值: * 2 (2)若对任意 n∈N' ,都有 an+ 2n ≥0 成立,求 a1 的取值范围.

5、(江南十校 2015 届高三上学期期末大联考)设数列{ an }各项均为正数,且满足 an?1 ? an ? an

2

3

(I)求证:对一切 (II)已知{

an }前 n 项和为 Sn,求证:对一切
an 1 ? ,( n ? N ? ). 2 an

6、(宿州市 2015 届高三第一次教学质量检测)设数列 {an } 满足 a n ?1 ? (Ⅰ)若 a1 ?

2 ,证明:数列 {an } 单调递减; 1 (Ⅱ)若 a1 ? 2 ,证明: 2 ? a n ? 2 ? . n
7、(宣城市 2015 届高三上学期期末考试)已知数列{ an }中, a1 ? 1, an ?1 ?

an (n ? N *) an ? 3

(1)求证: {

1 1 ? }是等比数列,并求{ an }的通项公式 an 。 an 2
n

(2) 数列{ bn }满足 bn ? (3 ? 1) ?

n n n ?an , 数列{ bn }的前 n 项和为 Tn, 若不等式 (?1) ? ? Tn ? n ?1 对 n 2 2

一切 n ? N * 恒成立,求 ? 的取值范围。 8、 (滁州市高级中学联谊会 2015 届高三上学期期末联考)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ?
2 ? 的前 n 项和为 ?n ,且 2?n ? 4 S n ? n ? n , n ? ? .

?

?

? ? ? 证明:数列 ?an ?1? 为等比数列; ? ?? ? 设 bn ?
n ?1 ,证明: b1 ? b2 ???? ? bn ? 3 . an ? 1

9、 (合肥八中 2015 届高三第四次段考)已知数列 {dn } 满足 dn ? n ,等比数列 {an } 为递增数列,且满
2 足 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1, n ? N *.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 令 cn ? 1 ? (?1)n an , 不 等 式 ck ? 2 0 1 5 ? (k 1 ?
* 1k0? 0 N , 的解集 ) 为 M ,求所有

dk ? ak (k ? M ) 的和.

10、 (江淮名校 2015 届高三第二次联考)已知{an}的前 n 项和 S n ? ?

1 2 n ? kn ? 1(其中 k ? N * ), 2
4

且 Sn 的最大值为 9。 (1)确定常数 k 的值,并求数列{an}的通项公式; (2)求数列 ?

? 9 ? 2an ? ? 的前 n 项和 Tn 。 n ? 2 ?

11、 (江淮名校 2015 届高三第二次联考)已知数列{an}满足 an ?1 ? (1)求 a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项 an; (2)设数列 {bn } 满足 bn ?

1 2 n an ? an ? 1(n ? N * ) 且 a1=3。 2 2

7 13 2an ? 1 ? Sn ? ,Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和,求证: 。 60 24 an (an ? 1)(an ? 2)

12、(皖江名校 2015 届高三 1 月联考)已知数列{ an }满足 a1 ? 1,4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 。 (I)计算 a2 , a3 , a4 ,猜想求数列{ an }的通项公式,并给予证明; (II)证明:

2

1 1 1 ? ??? ? 2 a1 a2 an

参考答案 一、选择题

5

1、A 2、C 3、C 二、填空题

4、B

5、A

6、B

1、①②③⑤ 2、

3、36

4、 ? 3

5、

3 2

6、0

三、解答题 1、

2、解:(1) a2 n ?1 ? 2a2 n ? (?1) 2 n ? 2[2a2 n ?1 ? ( ?1) 2 n ?1 ] ? 1 ? 4a2 n ?1 ? 1,

1 4 a2 n?1 ? 4a2 n?1 ? bn?1 3? 3 ? 4, 又 b ? a ? 1 ? 2 . ? 1 1 1 1 bn 3 3 a2 n?1 ? a2 n?1 ? 3 3 2 2 所以 ?bn ? 是首项为 ,公比为 4 的等比数列,且 bn ? ? 4n?1. ……………5 分 3 3 1 2 1 1 (2)由(Ⅰ)可知 a2 n?1 ? bn ? ? ? 4n?1 ? ? (22 n?1 ? 1) ,……………………7 分 3 3 3 3
6

2 1 a2 n ? 2a2 n?1 ? (?1) 2 n?1 ? (22 n?1 ? 1) ? 1 ? (22 n ? 1). ………………8 分 3 3

?1 n (2 ? 1);(n ? 2k ) ? 1 n ?3 n ?1 所以 an ? (2 ? (?1) ) ,或 an ? ? ………………9 分 3 ? 1 (2n ? 1).(n ? 2k ? 1) ? ?3
(3) ∴ a2 n ?

1 2n 1 2 1 ? 2 ? , a2 n?1 ? ? 22 n?1 ? . 3 3 3 3 1 1 3 3 ? ? 2 n ?1 ? 2n a2 n ?1 a2 n 2 ?1 2 ?1

3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) ? 2 n ?1 2 n 2 ? 2 ? 22 n ? 22 n ?1 ? 1 3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) 3 ? (22 n ? 22 n ?1 ) ? 2 n ?1 2 n ? 2 ? 2 ? 22 n ?1 ? 1 22 n ?1 ? 22 n
1 ? ? 1 ? 3 ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? ?2
当 n=2k 时, …………………………………11 分

? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ? a2 k ?1 a2 k ?
1 ?1 1 1 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? 2k 2 ?2 2 2
当 n=2k-1 时,

1 1 (1 ? 2 k ) 3 ? 2 2 ? 3 ? 2k ? 3 ? ? 3? 1 2 ? 1? 2

? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ? a2 k ?3 a2 k ?2 ? a2 k ?1
<? ∴ 1

? 1 ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? a1 a2 ? ? a3 a4 ? ? a2 k ?1 a2 k
+ 1

? ? <3 ?

a1

a2

+…+

1

an

<3.…………13 分

3、解(Ⅰ)由 a1 ? a 2 ? ... ? a n ?

a1 ? a 2 ? ... ? a n ?1
①-②得: a n ? ∴

n n ?1 a n ?1 ? a n , nan?1 ? (n ? 1)an 2 2

n a n ?1 ……①得[ 2 n ?1 ? a n ……② 2

(n ? 2) ………………2 分

an?1 n ? 1 a 1 ? (n ? 2), 又当 a1 ? a 2 , a2 ? 4 , 2 ? 2 也满足 2 a1 an n
7



a n?1 n ? 1 a a a 2 3 n ? (n ? N ? ) ,从而 2 ? 3 ...... n ? ? ...... ? n ……….4 分 an n a1 a2 an?1 1 2 n ?1

即 an ? 2n, b1 ? 2, b2 ? a1 ? 4, bn ? 2 n ………………6 分

从而

cm?1 必是数列 {b } 中的某一项 b ,则 n k ?1
a11 a2 ak

Tm ? b1 ?2 ? 2 ? b2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? b3 ? ? ? bk ? 2 ? 2 ?? ?2 ? ? ?? ? ?? ? ?? ?
= 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 k ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak )

? 2(2k ? 1) ? 2 ?
.........11 分

(2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 2 ,..........................................

又 2cm?1 ? 2bk ?1 ? 2 ? 2 k ?1 所以 2
2 k ?1

? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1) ,因为 2k ? 1(k ? N ? ) 为奇数,

而 k ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解. 即 当 m?3 时 ,

1 ? ? 1 ? 3 ? 2 n?1 ? 2 n ? 学科网 . 综 上 所 述 , 满 足 题 意 得 正 数 仅 有 2 ? ?2

m ? 2 .....................13 分
4、

8

5、

9

6、证明:(Ⅰ)因为 a1 ? 当 n ? 1 时, a n ?1 ?

2 ,所以 an ? 0 ,

an 1 a 1 ? ?2 n ? ? 2. 2 an 2 an
?

所以,对一切 n ? N ,都有 an ? 因为 an?1 ? an ?
2 n

2.

…………3 分

1 an 2 ? a ? ? ? 0, an 2 2an
…………6 分 …………8 分

所以数列 {an } 单调递减. (Ⅱ)因为 a1 ? 2 ?

2 ,由(Ⅰ)中可知 an ? 2 . 1 下面用数学归纳法证明 a n ? 2 ? n 1 ①当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 2 ? 显然成立. n
②假设 n ? k ( k ? 1 )时,命题成立,即 a k ? 那么当 n ? k ? 1 时,

2?

1 成立 k

1 2? ak 1 k ? 1 ? 2? 1 ? 2? 1 ? ? 有 a k ?1 ? 2 ak 2 2k k ?1 2 所以当 n ? k ? 1 时,上述命题也成立 1 ? 综合①②可得对于任意 n ? N ,有 a n ? 2 ? . n 1 因此, 2 ? a n ? 2 ? . n
7、

…………13 分

10

8、解析:(Ⅰ)当 n=1 时,T1=S1=a1,则 2a1=4a1-2,a1=1. 当 n=2 时,2T2=2(a1+a1+a2)=4(a1+a2)-6,a2=3. 当 n≥2 时,2Tn-1=4Sn-1-[(n-1) +(n-1)], 2Sn=2Tn-2Tn-1=4Sn-(n +n)-4Sn-1+(n-1) +(n-1), ∴Sn=2Sn-1+n,则 Sn+1=2Sn+(n+1),
2 2 2

an+1=Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),
当 n=1 时也符合,故数列{an+1}是等比数列.(7 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an+1=(a1+1)·2
n-1

=2 , bn ?
n

n ?1 , 2n

2 3 4 n+1 b1+b2+…+bn= + 2+ 3+…+ n , 2 2 2 2 2 3 4 n+1 1 2 3 n+1 令 T= + 2+ 3+…+ n ,则 T= 2+ 3+…+ n+1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n+1 3 n+3 3 两式相减得 T=1+ 2+ 3+…+ n- n+1 = - n+1 < ,T<3, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴b1+b2+…+bn<3.(13 分) 9、解: (Ⅰ)设 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q ,所以 (a1q4 )2 ? a1q9 ,解得 a1 ? q …2 分 又因为 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,所以 2(an ? an q2 ) ? 5an q
11

则 2(1 ? q2 ) ? 5q , 2q2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 所以 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n

1 (舍)或 q ? 2 2

…………4 分

…………6 分

(Ⅱ)则 cn ? 1 ? (?1) n an ? 1 ? ( ?2) n , dn ? n 当 n 为偶数, cn ? 1 ? 2n ? 2014 ,即 2 ? ?2013 ,不成立
n

当 n 为奇数, cn ? 1+2n ? 2014 ,即 2 ? 2013 ,
n

2 =2048 ,所以 n ? 2m ? 1,5 ? m ? 49 因为 2 =1024,
10 11

…………9 分
11

则 {dk } 组成首项为 11,公差为 2 的等差数列; {ak }(k ? M ) 组成首项为 2 ,公比为 4 的等比数列则 所有 dk ? ak (k ? M ) 的和为

45(11+99) 211 (1 ? 445 ) 2101 ? 2048 2101 ? 5377 ? ? 2475 ? ? …………13 分 2 1? 4 3 3
17.10、【解析】:(1)当 n ? k ? N * 时, S n ? ? 即 k ? 4 ,.............................2 分

1 2 1 n ? kn ? 1 取最大值,即 9 ? ? k 2 ? k 2 ? 1 , 2 2

1 S n ? ? n 2 ? 4n ? 1 , 2 9 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? , 2
当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ?n ?
, n ?1 ?9 2 a ? ? ?n ? 9 ,n?2 综上: n ? 2

9 , 2

............................6 分

9 ? 2a n ? ? 0,n ?1 ? ? 2 n ,n? 2 (2) 2n ? ? 2n
Tn ? 4 ? 1 1 1 ? 6 ? 3 ? ... ? 2n ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 4 ? 3 ? 6 ? 4 ? ... ? 2(n ? 1) ? n ? 2n ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? 4 ? 2 ? 2( 3 ? 4 ? ... ? n ) ? 2n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 n?2 Tn ? 6 ? n ? 2 .............................................................12 分 2
12

11、解(1) a1 ? 3, a2 ? 4, a3 ? 5, a4 ? 6 ,猜想 an ? n ? 2, n ? N ? .......................3 分 下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1 , a1 ? 3, 猜想成立。 ?假设当 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时,猜想成立,即 ak ? k ? 2, 则当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ?

1 2 1 1 1 ak ? ka k ? 1 ? (k ? 2) 2 ? k (k ? 2) ? 1 ? k ? 3 ? (k ? 1) ? 2 ,即当 n ? k ? 1 时,猜想 2 2 2 2

成立,由??得, an ? n ? 2, n ? N ? ...................................7 分 (2) bn ?

2n ? 5 1 1 ? ? (n ? 2)(n ? 3)(n ? 4) (n ? 2)(n ? 4) (n ? 3)(n ? 4)

1 1 1 1 1 ( ? )? ? 2 n?2 n?4 n?3 n?4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? )+ Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn = ( ? ? ? ? ... ? 2 3 5 4 6 n ?1 n ? 3 n ? 2 n ? 4 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ... ? ) 4 5 5 6 n?3 n?4 ?
=

1 7 1 1 1 1 13 1 3 ( ? ? )? ? ? ? ? 2 12 n ? 3 n ? 4 4 n ? 4 24 2(n ? 3) 2(n ? 4)
7 13 ? Sn ? ...............................................14 分 60 24
2

所以

12、【解】(1)由 a1 ? 1,4an ?1 ? 5an ? 9an ? 16 , 得 a2 ? , a3 ?

5 21 85 .………………………………………………3 分 , a4 ? 2 4 8 1 1? 4 1 ? 4 ? 42 1 ? 4 ? 4 2 ? 43 , a3 ? , a4 ? 由 a1 ? , a2 ? 1 2 4 8
1 ? 4 ? 4 2 ? ? ? 4 n?1 2 ? n 1 ? ? ?2 ? n ? 3? 2n?1 2 ?
………………………5 分

猜想 an ?

下面用数学归纳法证明 当 n=1 时,结论显然成立! 若 n=k 时结论成立,即 ak ?

2? k 1 ? ?2 ? k ? 3? 2 ?
2

10 ? 1 ? 1 ? ? 则 5ak ? 9ak ? 16 ? ? 2 k ? k ? ? 4? 2 k ? k ? ? 16 3? 2 ? 2 ? ?
2

?

10 ? k 1 ? ? k 1 ? 8 ? k ?1 1 ? ? 2 ? k ? ? 2? 2 ? k ? ? ? 2 ? k ?1 ? ? 4ak ?1 3? 2 ? ? 2 ? 3? 2 ?

13

得 ak ?1 ?

2 ? k ?1 1 ? ? 2 ? k ?1 ? 3? 2 ? 2? n 1 ? ? 2 ? n ? (n∈N*).…………9 分 3? 2 ?

由归纳法原理知结论正确,即 an ? (2)(方法一) 因为 2n ?

1 1 ? ? 1 ? ? ? 2? 2n ?1 ? n ?1 ? ? 2? 2n ?1 ? n ?1 ? n 2 2 ? ? 2 ? ? 1 1 ? an 2an ?1
………………………………………11 分

所以 an ? 2an ?1 ,即

记 Sn ?

1 1 1 ? ??? a1 a2 an

则 Sn ?

1 1 1 1 1? 1 1 1 ? 1 1? 1? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S ? n ? a1 a2 an a1 2 ? an ?1 ? an ? ? a1 a2 ? a1 2 ? ?
2? n 1 ? ?2 ? n ? ? 0 3? 2 ?

由于 an ?

所以 S n ?

1 1? 1? 1 1 ? ? Sn ? ? ? ? Sn ,即 Sn ? 2 .……………………14 分 ? a1 2 ? an ? ? a1 2

(方法二) 先证明当 n≥2 时,

2? 1 ? 1 1 ? ,即 ? 2 n ? n ? ? 2 n ?1 3? an 2n ?1 2 ?

上式等价于 2n ? 2n ?1 ? 故当 n≥2 时,

1 2
n ?1

,即 2n ?1 ?

1 2
n ?1

,此时显然成立,

1 1 ? n ?1 ………………………………………………12 分 an 2

从而

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ? 2?1 ? n ? ? 2 . ………14 分 a1 a2 an 2 2 2 ? 2 ?

14


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