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2012年


河北省保定 2012 届高三下学期第一次模拟考试

数学试题(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上。 3.考试结束后,监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题是 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求) 1.已知集合 A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x || x ? 1|? 1}, 则A ? B = A. (—2,1) 2.已知 i 是虚数单位,若 A.—1 B. (??, ?2] ? [1, ??) C. (0,1] D. (??, ?2) ? (0,1]

a?i 是实数,则实数 a 等于 1? i
B.1 C. 2 D.— 2

3.已知角α 的终边上一点的坐标为 (sin A. ?

?

11? 6

B.

5? 6

, cos ) ,则正角α 的最小值 6 6
C.

?

? 3

D.

? 6

4.已知等比数列 {an } , 有a3 a11 ? 4a7 ,数列 {bn } 是等差数列,且 b7 ? a7 , 则b5 ? b9 等于 中 A.2 B.4 C.6 D.8 5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A.3 B.—6 C.—15 D.10 6.下列所给的四个图象为某同学离开家的距离 y 与所用时间 t 的 函数关系

给出下列三个事件:

(1)该同学离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再去上 学; (2)该同学骑着车一路以匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)该同学出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速, 其中事件(1) (3)与所给图象分别吻合最好的 (2) A.④①② B.③①② C.②①④ D.③②① 7.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b, 且c ? a, 则向量a与b 的夹角为 A.0° B.60° C.120° D.150°

?

?

?

?

?

?

?

? ?

8.已知 a ? 0且a ? 1, b ? 0 ,则“ log a b ? 0 ”是“ (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.一个棱锥的三视图如图(尺寸的长度单位为 m) ,则该棱锥的体积是(单位:m3)

A. 4 ? 2 6

B. 4 ? 6

C.

2 3

D.

10.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

4 3

) 的最小正周期为π ,且

f (? x) ? f ( x) ,则
A. f ( x)在(0,

?

2 ? 3? ) 单调递减 C. f ( x)在( , 4 4

) 单调递增

B. f ( x)在(0,

) 单调递减 2 ? 3? ) 单调递增 D. f ( x)在( , 4 4

?

11.设 P 为直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 上的动点,过点 P 作圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线, 切点分别为 A,B,则四边形 PACB 的面积最小时∠APB= A.60° B.45° C.30° 12.定义域为 R 的函数 f ( x)满足f (1) ? 1, 且f ( x)的导函数f ?( x) ? 的集合为 A. {x | ?1 ? x ? 1} C. {x | x ? ?1或x ? 1} B. {x | x ? 1} D. {x | x ? 1}

D.120°

1 ,则满足 2 f ( x) ? x ? 1 的 x 2

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把最简答案填在答题卡的相应位置上) 13.设α 为△ABC 的内角,且 tanα ?

3 ,则 sin2α 的值为 4



14.设互不相同的直线 l、m、n 和平面α 、β 、γ ,给出下列三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l ? ? ,m ? β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l ? ? ,m ? β ,则 l∥m; ③若 ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l / /? , 则m / / n. 其中真命题的个数为 .
2

15.已知实数 m 是 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x ?

y2 ? 1 的离心率为 m



?0 ? y ? 4 ? 16.随机向区域 ? x ? 0 内投一点,且该点落在区域内的每个位置是等可能的,则坐标原点与该 ? y ? x2 ? ? 点连线的倾斜角不小于 的概率为 。 4
三、解答题(本大题共 6 小题,70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,S3 =14,S6=126. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Tn ?

1 1 1 ,试求 Tn 的表达式。 ? ??? a1a2 a2 a3 an an ?1

18. (本小题满分 12 分) 第七届全国农民运动会将于 2012 年在河南省南阳市举办,某代表队为了在比赛中取得好成绩, 已组织了多次比赛演练.某次演练中,该队共派出甲、乙、丙、丁、戊五位选手进行 100 米短 跑比赛,这五位选手需通过抽签方式决定所占的跑道. (1)求甲、乙两位选手恰好分别占据 1、2 跑道的概率; (2)若甲、乙两位选手之间间隔的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, ABCD 是矩形, PA=AB=1, 直线 PD 与底面 ABCD 所成的角等于 30°,PF=FB,E∈BC,EF∥平面 PAC. (1)试求

BE 的值; EC

(2)求二面角 P-DE-A 的余弦值; (3)求直线 PC 与平面 PDE 所成角的正弦值

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且过点Q(1, ). 2 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,设 P 点在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,且 满足 OA ? OB ? tOP (O 为坐标原点) ,求实数 t 的最小值。

??? ??? ? ?

??? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x) ?

ln( x ? 1) a ? ? 2 x, (a ? 0) 2 x ?1 ( x ? 1)

(1)若函数, f ( x)在x ? 0 处取极值,求 a 的值; (2)如图,设直线 x ? ?1, y ? ?2 x 将坐标平面分成 I、II、III、IV 四个区域(不含边界) ,若函 数 y ? f ( x) 的图象恰好位于其中一个区域内,试判断其所在的区域并求其对应的 a 的取值范 围; (3)试比较 20122011 与 20112012 的大小,并说 明理由。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写 请题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使得 CD=AC,连结 AD 交⊙ O 于点 E,连结 BE。 求证: (1)BE=DE; (2)∠D=∠ACE。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 C1 : ? (1)当 ? ?

? x ? 1 ? t cos ? (t为参数) ,圆 C2:ρ =1.(极坐标轴与 x 轴非负半轴重合) ? y ? t sin ? ,
时,求直线 C1 被圆 C2 所截得的弦长;

?
3

(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,当α 变化时,求 A 点的轨迹的普通方程。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x) ? 1n(| x ? 1| ?m | x ? 2 | ?3)(m ? R). (1)当 m ? 0 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (2)当 0 ? x ? 1 时,是否存在 m 使得 f ( x) ? 0 恒成立,若存在求出实数 m 的取值范围,若不 存在,说明理由。


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