当前位置:首页 >> 理学 >>

二次函数在闭区间上的最值


二次函数在 二次函数在闭区间上的最值
知识要点: 一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般 分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三种情况.
2 上的最大值与最小值。 设 f ( x ) = ax + bx + c(a ≠ 0) ,求 f ( x ) 在 x ∈[ m,n] 上的最大值与最小值。

分析:将 f ( x ) 配方,得顶点为 ? ?

? b 4ac ? b 2 ? b , ? 、对称轴为 x = ? 4a ? 2a ? 2a

当 a > 0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在[m,n]上 f ( x ) 的最值: (1)当 ?
2 b ? b ? 4ac ? b ∈ m,n 时 , f ( x ) 的 最 小 值 是 f ? ? ? = ,f ( x ) 的 最 大 值 是 ? 2a ? 2a 4a

[

]

f ( m) 、f ( n) 中的较大者。
(2)当 ?

b ? m,n 时 2a b 若? < m ,由 f ( x ) 在 m,n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f ( m) ,最大值是 f ( n) 2a b 若n < ? ,由 f ( x ) 在 m,n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f ( m) ,最小值是 f ( n) 2a 当 a < 0 时,可类比得结论。

[

]

[

]

[

]

二、例题分析归类: 例题分析归类: (一)、正向型 )、正向型 是指已知二次函数和定义域区间, 求其最值。 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形:(1)轴定,区间定;(2)轴定,区 间变;(3)轴变,区间定;(4)轴变,区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值” 。
2 例 1. 函数 y = ? x + 4 x ? 2 在区间[0,3]上的最大值是_________,最小值是_______。

解:函数 y = ? x 2 + 4 x ? 2 = ? ( x ? 2) 2 + 2 是定义在区间[0,3]上的二次函数,其对称轴方 ,且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上, 程是 x = 2 ,顶点坐标为(2,2) 如图 1 所示。函数的最大值为 f ( 2) = 2 ,最小值为 f ( 0) = ?2 。

图1 练习. 练习 已知 2 x ≤ 3x ,求函数 f ( x ) = x + x + 1 的最值。
2 2

第 1 页(共 9 页)

解: 由已知 2 x ≤ 3x , 可得 0 ≤ x ≤
2 2

3? 3 ? , 即函数 f ( x ) 是定义在区间 ?0, ? 上的二次函数。 2 2? ?

1 1? 3 ? ? 1 3? 将二次函数配方得 f ( x ) = ? x + ? + ,其对称轴方程 x = ? ,顶点坐标 ? ? , ? ,且 ? ? 2 4? 2 2? 4
图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 ?0, ? 内,如图 2 所示。函数 f ( x ) 的最小值为 2

? ?

3? ?

? 3 ? 19 f ( 0) = 1 ,最大值为 f ? ? = 。 ? 2? 4

图2 2、轴定区间变 、 二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值” 。
2 例 2. 如果函数 f ( x ) = ( x ? 1) + 1 定义在区间 t,t + 1 上,求 f ( x ) 的最小值。

[

]

解:函数 f ( x ) = ( x ? 1) 2 + 1 ,其对称轴方程为 x = 1 ,顶点坐标为(1,1) ,图象开口向上。 如图 1 所示,若顶点横坐标在区间 t,t + 1 左侧时,有 1 < t ,此时,当 x = t 时,函数取 得最小值 f ( x ) min = f ( t ) = ( t ? 1) 2 + 1 。

[

]

如图 2 所示,若顶点横坐标在区间 t,t + 1 上时,有 t ≤ 1 ≤ t + 1 ,即 0 ≤ t ≤ 1 。当 x = 1 时,函数取得最小值 f ( x ) min = f (1) = 1 。

[

]

图1

有 即 当 如图 3 所示, 若顶点横坐标在区间 t,t + 1 右侧时, t + 1 < 1 , t < 0 。 x = t + 1 时,

[

]

图2

第 2 页(共 9 页)

函数取得最小值 f ( x ) min = f ( t + 1) = t + 1
2

综上讨论, f ( x ) min

?(t ? 1) 2 + 1, t > 1 ? = ?1, 0 ≤ t ≤ 1 ?2 ?t + 1 t < 0

图8 例 3. 已知 f ( x ) = x ? 2 x + 3 ,当 x ∈ [t,t + 1](t ∈ R ) 时,求 f ( x ) 的最大值.
2

解:由已知可求对称轴为 x = 1 .

∴ f ( x) min = f(1)当 t?> 1 + 3,f ( x) max = f (t + 1) = t 2 + 2 . (t ) = t 2 2t 时, (2)当 t ≤ 1 ≤ t + 1 ,即 0 ≤ t ≤ 1 时, .

1 t + t +1 1 0≤t ≤ 2 f ( x) max = f (t ) = t 2 ? 2t + 3 根据对称性, 若 ≤ 即 时, . 2 2 t + t +1 1 1 > < t ≤1 f ( x) max = f (t + 1) = t 2 + 2 2 2即2 若 时, .
f ( x) max = f (t ) = t ? 2t + 3 . (3)当 t + 1 < 1 即 t < 0 时,
2

综上, f ( x ) max

1 ?2 ?t + 2, t > 2 ? =? ? t 2 ? 2t + 3,t ≤ 1 ? ? 2

观察前两题的解法,为什么最值有时候分两种情况讨论,而有时候又分三种情况讨论呢? 这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中,这个二次函数是开口向上的,在闭区间上,它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情况讨 论;而它的最大值不可能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到,当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个 理解,不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下: 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:

b 1 ? ? 1 ? f (m), 2a ≥ 2 (m + n)(如图 ) ? f ( x) min 当 a > 0 时 f ( x) max = ? ? f (n), b < 1 (m + n)(如图2) ? ? 2a 2 ?

b ? ? ? f (n), 2a > n(如图3) ? b b ? = ? f (? ),m ≤ ? ≤ n(如图4) 2a 2a ? b ? ? ? f (m), 2a < m(如图5) ?

第 3 页(共 9 页)

当 a < 0 时 f ( x) max

b ? ? ? f (n), 2a > n(如图6) b 1 ? ? ? f (m), ? 2a ≥ 2 (m + n)(如图9) ? b b ? = ? f (? ),m ≤ ? ≤ n(如图7) f ( x) min = ? 2a 2a ? f (n), ? b < 1 (m + n)(如图10) ? ? b ? 2a 2 ? f (m), ? < m(如图8) ? 2a ?

3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这 种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 例 4. 已知 x ≤ 1 ,且 a ? 2 ≥ 0 ,求函数 f ( x ) = x + ax + 3 的最值。
2 2

解:由已知有 ?1 ≤ x ≤ 1,a ≥ 2 ,于是函数 f ( x ) 是定义在区间 ?1,1 上的二次函数,

[

]

a? a2 ? 将 f ( x ) 配方得: f ( x ) = ? x + ? + 3 ? ? 2? 4
二次函数 f ( x ) 的对称轴方程是 x = ? 由 a ≥ 2 可得 x = ?

2

? a a a2 ? 顶点坐标为 ? ? , 3 ? ? ,图象开口向上 2 4? ? 2

a ≤ ?1 ,显然其顶点横坐标在区间 ?1,1 的左侧或左端点上。 2 函数的最小值是 f ( ?1) = 4 ? a ,最大值是 f (1) = 4 + a 。

[

]

图3 例 5. (1) 求 f ( x ) = x + 2ax + 1 在区间[-1,2]上的最大值。
2

(2) 求函数 y = ? x ( x ? a ) 在 x ∈ [ ?1 , 1] 上的最大值。

第 4 页(共 9 页)

解:(1)二次函数的对称轴方程为 x = ? a ,

1 1 即 a > ? 时, f ( x )max = f ( 2 ) = 4a + 5 ; 2 2 1 1 当 ? a ≥ 即 a ≤ ? 时, f ( x )max = f ( ?1 ) = 2a + 2 。 2 2
当 ?a <

综上所述: f ( x )max

1 ? ??2a + 2,a ≤ ? 2 ? =? 。 ? 4a + 5,a > ? 1 ? ? 2

(2)函数 y = ?( x ?

a 2 a2 a a a a ) + 图象的对称轴方程为 x = ,应分 ? 1 ≤ ≤ 1 , < ?1 , > 1 即 2 4 2 2 2 2 ? 2 ≤ a ≤ 2 , a < ?2 和 a > 2 这三种情形讨论,下列三图分别为
a 2

(1) a < ?2 ;由图可知 f ( x ) max = f ( ?1) (2) ? 2 ≤ a ≤ 2 ;由图可知 f ( x ) max = f ( ) (3) a > 2 时;由图可知 f ( x ) max = f (1)

∴ y最大

?? (a + 1) , a < ?2 ? f (?1) , a < ?2 ? 2 ? a ?a ? = ? f ( ) , ? 2 ≤ a ≤ 2 ;即 y最大 = ? , ? 2 ≤ a ≤ 2 ? 2 ?4 ? f (1) , a > 2 ?a ? 1 , a > 2 ? ?

4. 轴变区间变 二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情况是“动二次函数在 动区间上的最值” 。
2 2 2 例 6. 已知 y = 4a ( x ? a )( a > 0), ,求 u = ( x ? 3) + y 的最小值。 2 解:将 y = 4a ( x ? a ) 代入 u 中,得

① ②

,即 ,即

时, 时,

第 5 页(共 9 页)

所以

(二)、逆向型 )、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值。 例 7. 已知函数 f ( x) = ax + 2ax + 1 在区间 [ ?3, 2] 上的最大值为 4,求实数 a 的值。
2

解: f ( x) = a ( x + 1) 2 + 1 ? a, x ∈ [ ?3, 2] (1)若 a = 0, f ( x ) = 1, ,不符合题意。 (2)若 a > 0, 则 f ( x ) max = f (2) = 8a + 1 由 8a + 1 = 4 ,得 a =

3 8

(3)若 a < 0 时,则 f ( x ) max = f ( ?1) = 1 ? a 由 1 ? a = 4 ,得 a = ?3 综上知 a =

3 或 a = ?3 8 x2 + x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值。 2
中 1 与 m,

例 8.已知函数 f ( x ) = ?

解法 1:讨论对称轴

m+n , n 的位置关系。 2

①若

,则 ?

? f ( x) max = f (n) = 3n ? f ( x) min = f (m) = 3m

解得

②若

? f ( x) max = f (1) = 3n m+n ≤ 1 < n ,则 ? ,无解 2 ? f ( x) min = f (m) = 3m ? f ( x)max = f (1) = 3n m+n ,则 ? ,无解 2 ? f ( x) min = f (n) = 3m

③若 m ≤ 1 <

第 6 页(共 9 页)

④若

,则 ?

? f ( x) max = f (m) = 3n ,无解 ? f ( x)min = f (n) = 3m

综上, m = ?4, n = 0 解析 2:由 f ( x ) = ?

1 1 1 1 ( x ? 1)2 + ,知 3n ≤ , n ≤ , ,则 [m, n] ? (?∞,1] , 2 2 2 6

又∵在 [ m, n] 上当 x 增大时 f (x ) 也增大所以 ? 解得 m = ?4, n = 0

? f ( x) max = f (n) = 3n ? f ( x) min = f (m) = 3m

评注:解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m , n 的取值范围,避 开了繁难的分类讨论,解题过程简洁、明了。
2 例 9. 已知二次函数 f ( x ) = ax + ( 2a ? 1 )x + 1 在区间 ? ?

? 3 ? 求实数 a 的值。 ,2 上的最大值为 3, ? 2 ? ? 这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分 a > 0 与 a < 0 两大类五种情形讨论,过程繁
琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函

数值,再检验其真假,过程就简明多了。 具体解法为: (1)令 f ( ?

2a ? 1 1 ) = 3 ,得 a = ? 2a 2 1 ? 3 ? ,2 ? ,故 ? 不合题意; 2 ? 2 ?

此时抛物线开口向下,对称轴方程为 x = ?2 ,且 ?2 ? ? ? (2)令 f ( 2 ) = 3 ,得 a =

1 2 1 符合题意; 2

此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a = (3)若 f ( ?

3 2 ) = 3 ,得 a = ? 2 3 2 符合题意。 3

此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a = ? 综上, a =

1 2 或a = ? 2 3

解后反思:若函数图象的开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参 数一致,可采用先斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍,从而避开繁难的分类讨论,使解题过程 简洁、明了。 三、巩固训练 1.函数 y = x + x + 1 在 [ ?1,1] 上的最小值和最大值分别是
2





第 7 页(共 9 页)

(A) 1 ,3
2

(B )

3 ,3 4

(C) ?

1 ,3 2

(D) ?

1 ,3 4
( )

2.函数 y = ? x + 4 x ? 2 在区间 [1,4] 上的最小值是

(A) ? 7
3.函数 y =
2

( B) ? 4

(C ) ? 2

( D) 2
( )

8 的最值为 x ? 4x + 5
(B ) 不存在最小值,最大值为 8 (D ) 不存在最小值,也不存在最大值

( A) 最大值为 8,最小值为 0
(C)最小值为 0, 不存在最大值 4.若函数 y = 2 ?

? x 2 + 4 x , x ∈ [0,4] 的取值范围是______________________
2

5.已知函数 f ( x ) = ax + ( 2a ? 1) x ? 3( a≠ 0) 在区间[ ? 值为

3 , 2] 上的最大值是 1,则实数 a 的 2
( )

6.如果实数 x, y 满足 x 2 + y 2 = 1 ,那么 (1 ? xy )(1 + xy ) 有 (A)最大值为 1 , 最小值为

1 2

(C))最大值为 1, 无最小值

3 4 3 (D)最大值为 1,最小值为 4
(B)无最大值,最小值为 ( )

7.已知函数 y = x 2 ? 2 x + 3 在闭区间 [0, m] 上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是 (A) [1,+∞) (B) [0,2] (C) [1,2] (D) ( ?∞,2]

8.若 x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2 y = 1 ,那么 2 x + 3 y 2 的最小值为__________________
2 2 9.设 m ∈ R, x1 , x 2 是方程 x ? 2mx + 1 ? m = 0 的两个实根,则 x1 + x 2 的最小值______ 2 2

10.设 f ( x ) = x 2 ? 4 x ? 4, x ∈ [t , t + 1](t ∈ R ), 求函数 f (x ) 的最小值 g (t ) 的解析式。 11.已知 f (x ) = x ? ax +
2

a ,在区间 [0,1] 上的最大值为 g (a ) ,求 g (a ) 的最小值。 2

12.(2009 江苏卷)设 a 为实数,函数 f ( x) = 2 x 2 + ( x ? a ) | x ? a | . (1)若 f (0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值;
(3)设函数 h(x) = f (x), x ∈(a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 的解集. ....

【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活 运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。

?a < 0 (1)若 f (0) ≥ 1 ,则 ? a | a |≥ 1 ? ? ? a ≤ ?1 2 ?a ≥ 1
(2)当 x ≥ a 时, f ( x ) = 3 x 2 ? 2ax + a 2 ,
2 ? f ( a ), a ≥ 0 ? 2a , a ≥ 0 ? ? f ( x ) min = ? a = ? 2a 2 ,a < 0 ? f ( 3 ), a < 0 ? ? ? 3

第 8 页(共 9 页)

2 2 2 ? f (? a ), a ≥ 0 ??2a , a ≥ 0 ? 当 x ≤ a 时, f ( x) = x + 2ax ? a , f ( x ) min = ? =? 2 ?2a , a < 0 ? f (a ), a < 0 ?

综上 f ( x) min

??2a 2 , a ≥ 0 ? = ? 2a 2 ,a < 0 ? ? 3
2 2

(3) x ∈ ( a, +∞) 时, h( x ) ≥ 1 得 3 x ? 2ax + a ? 1 ≥ 0 , ? = 4a 2 ? 12(a 2 ? 1) = 12 ? 8a 2 当a ≤ ?

6 6 时, ? ≤ 0, x ∈ ( a, +∞) ; 或a ≥ 2 2
2
? ?x > a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 )( x ? )≥0 3 3

当 ? 6 < a < 6 时,△>0,得: ?( x ? a ? ?
2

讨论得:当 a ∈ ( 2 , 6 ) 时,解集为 ( a, +∞ ) ;
2 2
2 2 当 a ∈ ( ? 6 , ? 2 ) 时,解集为 (a, a ? 3 ? 2a ] ∪ [ a + 3 ? 2a , +∞) ;

2

2

3

3

当 a ∈ [? 2 , 2 ] 时,解集为 [ a + 3 ? 2a , +∞) .
2

2

2

3

第 9 页(共 9 页)


相关文章:
二次函数在闭区间上的最值.doc
二次函数在闭区间上的最值 - 第 1 页共 1 页 二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上的最值(详解).doc
二次函数在闭区间上的最值(详解) - 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点:
二次函数在闭区间上的最值.doc
二次函数在闭区间上的最值 - 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点: 一元二
二次函数在闭区间上的最值教案.doc
二次函数在闭区间上的最值教案 - 专题课:二次函数在闭区间上的最值 授课人:高一
高中数学《二次函数在闭区间上的最值问题》_图文.ppt
高中数学《二次函数在闭区间上的最值问题》 - 二次函数在闭区间上的最值问题 潼关
二次函数在闭区间上的最值_图文.ppt
二次函数在闭区间上的最值 - 二次函数在闭区间上的最值1 y 预习检测 求下列函
高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题.doc
高一数学《二次函数在闭区间上的最值》练习题 - 基础过关 第1课 二次函数在闭区间上的最值 一元二次函数的区 间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对...
二次函数在闭区间上最值问题研究.doc
二次函数在闭区间上最值问题研究 - 两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略 黄石三中 郝海滨 影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开 口...
补讲:二次函数在闭区间的最值.ppt
补讲:二次函数在闭区间的最值 - 二次函数在闭区间上的值域 例 1 、f ( x
二次函数在闭区间上的最值.doc
二次函数在 二次函数在闭区间上的最值知识要点: 一、 知识要点: 一元二次函数的
二次函数在闭区间上最值.doc
二次函数在闭区间上的最值 1、已知函数 f(x)= x -2x-3.求函数在以下
二次函数闭区间上的最值问题.doc
一般分为:对称轴在区间的左边,中间,右边三 种情况. 二次函数闭区间上的最值问题与根的分布 一、二次函数闭区间上的最值问题 一元二次函数的区间最值问题,...
第18讲二次函数在限制区间上最值.doc
第18 讲 二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点: 一元二次函数的区间最值问题
二次函数在给定区间的最值_图文.ppt
二次函数在给定区间的最值 - 闭区间上二次函数的最值 导航: 能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间 上二次函数最值 练习、分别在下列各范围上求函数 y=x2+...
两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略.doc
两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略_广告/传媒_人文社科_专业资料。两类二次函数在闭区间上最值问题的求解策略黄石三中 郝海滨 影响二次函数在闭区间上...
2018年高三最新 闭区间上二次函数的最值问题 精品.doc
闭区间上二次函数的最值问题 聂文喜 二次函数问题是近几年高考的热点,很受命题者的青睐,二次函数在闭区间上的 最值问题是二次函数的重要题型之一。 本文系统...
二次函数在闭区间上的最值问题学案.doc
二次函数在闭区间上的最值问题学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。二次函数在闭区间上的最值问题(学案) 二次函数在闭区间上的最值问题(学案) 学习目标:...
闭区间上二次函数的最值问题.doc
闭区间上二次函数的最值问题《试题调研》网站免费精品资料下载: http:/www.tesoon.com/stdy/ 二次函数是最简单的非线性函数之一, 自身性质活跃, 同时经常作为其...
二次函数在闭区间上的最值问题学习教材PPT课件_图文.ppt
二次函数在闭区间上的最值 一。教学内容: 二次函数在高考中占有重要的地位,而二次函数在闭区间上 的最值在各个方面都有重要的应用。这节课我们主要学会应用 ...
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳.doc
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 - 一元二次方程 ax ? bx