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第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)


分类加法计数原理与分步乘法计数原理[理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. .理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理 . 解决一些简单的实际问题. 解决一些简单的实际问题.

[理 要 点] 理 一、分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 类方案中有 类方案中有m种不 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有 种不 同的方法,在第 类方案中有 种不同的方法. 类方案中有n种不同的方法 同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法.那么完 成这件事共有N= m+n 种不同的方法. 成这件事共有 = + 种不同的方法. 二、分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第 步有 种不同的方法, 步有m种不同的方法 完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法, 做第2步有 种不同的方法 那么完成这件事共有N= 做第 步有n种不同的方法,那么完成这件事共有 = 步有 种不同的方法, m×n种不同的方法. × 种不同的方法.

[究 疑 点] 究 计数问题中如何判定是分类加法计数原理还是分步乘 法计数原理? 法计数原理? 提示: 提示:如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件 事,应该用分类加法计数原理;如果每类办法中的每一种 应该用分类加法计数原理; 方法只能完成事件的一部分就用分步乘法计数原理. 方法只能完成事件的一部分就用分步乘法计数原理.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数 .在所有的两位数中, 共有 A.24个 . 个 C.36个 . 个 B.28个 . 个 D.48个 . 个 ( )

解析:法一:按十位数字分别是 的情况分成8 解析:法一:按十位数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成 的情况分成 类,在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6 在每一类中满足题目条件的两位数分别有 个 个 个,5个,4个,3个,2个,1个,由分类加法计数原理知, 个 个 个 个 个 由分类加法计数原理知, 符合条件的两位数共有8+ + + + + + + = 个 符合条件的两位数共有 +7+6+5+4+3+2+1=36个. 法二:按个位数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9的情况分成 类,在 的情况分成8类 法二:按个位数字分别是 的情况分成 每一类中满足题目条件的两位数分别有1个 每一类中满足题目条件的两位数分别有 个,2个,3个,4 个 个 个,5个,6个,7个,8个,由分类加法计数原理知,符合 个 个 个 个 由分类加法计数原理知, 条件的两位数共有1+ + + + + + + = 个 条件的两位数共有 +2+3+4+5+6+7+8=36个. 答案: 答案:C

2.一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看, .一生产过程有 道工序 每道工序需要安排一人照看, 道工序, 现从甲、 名工人中安排4人分别照看一道工序 现从甲、乙、丙等6名工人中安排 人分别照看一道工序, 丙等 名工人中安排 人分别照看一道工序, 第一道工序只能从甲、乙两工人中安排 人 第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工 序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案 序只能从甲、丙两工人中安排 人 共有 A.24种 . 种 C.48种 . 种 B.36种 . 种 D.72种 . 种 ( )

解析:分两类: 解析:分两类: (1)第一道工序安排甲时有 ×1×4×3=12种; 第一道工序安排甲时有1× × × = 种 第一道工序安排甲时有 (2)第一道工序不安排甲有 ×2×4×3=24种. 第一道工序不安排甲有1× × × = 种 第一道工序不安排甲有 ∴共有12+24=36种. 共有 + = 种 答案: 答案: B

3.(2010·重庆高考 单位拟安排 位员工在今年 月14日至 . 重庆高考)单位拟安排 位员工在今年6月 日至 重庆高考 单位拟安排6位员工在今年 16日(端午节假期 值班,每天安排 人,每人值班 日 端午节假期 值班,每天安排2人 每人值班1 端午节假期)值班 位员工中的甲不值14日 乙不值16日 天.若6位员工中的甲不值 日,乙不值 日,则不同 位员工中的甲不值 的安排方法共有 A.30种 . 种 C.42种 . 种 B.36种 . 种 D.48种 . 种 ( )

解析:依题意,就乙是否值 日分类 第一类,乙值14 日分类: 解析:依题意,就乙是否值14日分类:第一类,乙值 日,则满足题意的方法共有C 1 ·C 4 =24种(注:C 1 表示从除 则满足题意的方法共有 4 2 种注 4 甲、乙外的4人中任选一人参与 日的值班的方法数;C 乙外的 人中任选一人参与14日的值班的方法数; 人中任选一人参与 日的值班的方法数 表示从余下的4人中任选两人参与 日的值班的方法数 表示从余下的 人中任选两人参与15日的值班的方法数 ; 人中任选两人参与 日的值班的方法数); 第二类,乙不值 日 则满足题意的方法共有C4 3 第二类,乙不值14日,则满足题意的方法共有 2·C1=18种 种
2 (注:C 4 表示从除甲、乙外的4人中任选两人参与 日的值 注 表示从除甲、乙外的 人中任选两人参与14日的值 人中任选两人参与 2 4

班的方法数; 班的方法数;C

1 3

表示从余下的3人中任选一人与乙共同参 表示从余下的 人中任选一人与乙共同参

日的值班的方法数). 与15日的值班的方法数 .因此,满足题意的方法共有 + 日的值班的方法数 因此,满足题意的方法共有24+ 18=42种. = 种

答案: 答案: C

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 利用分类加法原理解题时要注意: 利用分类加法原理解题时要注意: 1.根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标 .根据问题的特点确定一个合适的分类标准, 准要统一,不能遗漏. 准要统一,不能遗漏. 2.分类时注意完成这件事情的任何一种方法必须属于 . 某一类,不能重复. 某一类,不能重复.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须 . 三个数字组成一个四位数, 三个数字组成一个四位数 同时使用,且同一数字不能相邻出现, 同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数 有 A.6个 . 个 C.18个 . 个 B.9个 . 个 D.36个 . 个 ( )

解析:由题意知, 中必有某一个数字重复使用2 解析:由题意知,1,2,3中必有某一个数字重复使用 中必有某一个数字重复使用 次.第一步确定谁被使用2次,有3种方法;第二步把这2 第一步确定谁被使用 次 种方法;第二步把这 种方法 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有 种方 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上,也有3种方 个数放在四位数余下的2个位置上 法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的 个位置上, 第三步将余下的 个数放在四位数余下的 个位置上, 种方法. 个不同的四位数. 有2种方法.故共可组成 ×3×2=18个不同的四位数. 种方法 故共可组成3× × = 个不同的四位数 答案: 答案:C

2.从6个人中选 个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科 . 个人中选4个人分别到巴黎 个人中选 个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、 四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览, 四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览,每人 只游览一个城市,且这 个人中 个人中, 只游览一个城市,且这6个人中,甲、乙两人不去巴 黎游览, 黎游览,则不同的选择方案共有 .

解析:能去巴黎的有 个人 个人, 解析:能去巴黎的有4个人,能去剩下三个城市的依次 个人, 有5个、4个、3个人,所以不同的选择方案有 个 个 个人 4×5×4×3=240(种). × × × = 种. 答案: 答案:240

3.有0、1、2、…、8这9个数字. . 个数字. 、 、 、 这 个数字 (1)用这 个数字组成四位数,共有多少个不同的四位数? 用这9个数字组成四位数 共有多少个不同的四位数? 用这 个数字组成四位数, (2)用这 个数字组成四位密码,共有多少个不同的四位 用这9个数字组成四位密码 用这 个数字组成四位密码, 密码? 密码? 解:(1)未强调四位数的各位数字不重复,只需首位不为 未强调四位数的各位数字不重复, 未强调四位数的各位数字不重复 0,依次确定千、百、十、个位,各有8、9、9、9种方法, ,依次确定千、 种方法, 个位,各有 、 、 、 种方法 个不同的四位数. ∴共能组成8×93=5832个不同的四位数. 共能组成 × 个不同的四位数 (2)每一位上的数字都有 种方法, 每一位上的数字都有9种方法 每一位上的数字都有 种方法, 个不同的四位密码. ∴共能组成94=6561个不同的四位密码. 共能组成 个不同的四位密码

[归纳领悟 归纳领悟] 归纳领悟 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意: 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意: 1.要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺 .要按事件发生的过程合理分步, 序的. 序的. 2.各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都 .各步中的方法互相依存,缺一不可, 完成才算完成这件事. 完成才算完成这件事.

[题组自测 题组自测] 题组自测 1.(2010·天津高考 如图,用四种不 . 天津高考)如图 天津高考 如图, 同颜色给图中的A, , , , 同颜色给图中的 ,B,C,D, E,F六个点涂色,要求每个点涂 , 六个点涂色 六个点涂色, 一种颜色, 一种颜色,且图中每条线段的两 个端点涂不同颜色. 个端点涂不同颜色.则不同的涂 色方法共有 A.288种 . 种 C.240种 . 种 ( B.264种 . 种 D.168种 . 种 )

解析:先涂 、 、 三个点 共有4× × = 种涂法 三个点, 种涂法, 解析:先涂A、D、E三个点,共有 ×3×2=24种涂法,然后 再按B、 、 的顺序涂色 分为两类: 的顺序涂色, 再按 、C、F的顺序涂色,分为两类: 一类是B与 或 同色 共有2× × + × = 种涂法 同色, 种涂法; 一类是 与E或D同色,共有 ×(2×1+1×2)=8种涂法; 另一类是B与E或D不同色,共有 ×(1×1+1×2)=3种涂法. 不同色, 种涂法. 另一类是 与 或 不同色 共有1× × + × = 种涂法 所以涂色方法共有24× + = 所以涂色方法共有 ×(8+3)=264种. 种 答案: 答案:B

2.(2011·淮阴模拟 已知集合 ∈{1,- . 淮阴模拟)已知集合 ,-2,3},N∈{- 淮阴模拟 已知集合M∈ ,- , ∈- 4,5,6,- ,从两个集合中各取一个元素作为点的坐 ,-7}, ,- 标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、 限内不同的点的个数是 .

解析: 中的元素作点的横坐标 中的元素作点的横坐标, 中的元素作点的纵坐标 中的元素作点的纵坐标, 解析:M中的元素作点的横坐标,N中的元素作点的纵坐标, 在第一象限的点共有2× 个 在第二象限的点共有1 在第一象限的点共有 ×2个,在第二象限的点共有 中的元素作点的横坐标, 中的元素作点的纵坐标 中的元素作点的纵坐标, ×2个.N中的元素作点的横坐标,M中的元素作点的纵坐标, 个 中的元素作点的横坐标 在第一象限的点共有2× 个 在第二象限的点共有2 在第一象限的点共有 ×2个,在第二象限的点共有 ×2个.所求不同的点的个数是 ×2+1×2+2×2+2×2 个 所求不同的点的个数是2× + × + × + × =14(个). 个. 答案: 答案:14

3.某电视台连续播放6个广告,其中有 个不同的商业广告、 .某电视台连续播放 个广告 其中有3个不同的商业广告 个广告, 个不同的商业广告、 两个不同的世博会宣传广告、一个公益广告, 两个不同的世博会宣传广告、一个公益广告,要求最后播 放的不能是商业广告,且世博会宣传广告与公益广告不能 放的不能是商业广告, 连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放, 连续播放,两个世博会宣传广告也不能连续播放,则有多 少种不同的播放方式? 少种不同的播放方式?

表示广告的播放顺序, 解:用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序,则完成这 、 、 、 、 、 表示广告的播放顺序 件事有3类方法. 件事有 类方法. 类方法 第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 、 、 分 第一类:宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6 步完成这件事共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方 步完成这件事共有 × × × × × = 种不同的播放方 式. 第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 、 、 , 第二类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6,分6 步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放 步完成这件事,共有 × × × × × = 种不同的播放 方式. 方式.

第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 、 、 , 第三类:宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6,同 样分6步完成这件事,共有 × × × × × = 种不同 样分 步完成这件事,共有3×3×2×2×1×1=36种不同 步完成这件事 的播放方式. 的播放方式. 由分类加法计数原理得: 由分类加法计数原理得: 6个广告不同的播放方式有 +36+36=108种. 个广告不同的播放方式有36+ + = 种 个广告不同的播放方式有

[归纳领悟] 归纳领悟] 1.在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类”还 在处理具体的应用题时,首先必须弄清是“分类” 是“分步”,其次要搞清“分类”或“分步”的具体 分步” 其次要搞清“分类” 分步” 标准是什么,选择合理的标准处理事件, 标准是什么,选择合理的标准处理事件,可以避免计 数的重复或遗漏. 数的重复或遗漏. 2.对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要 运用分步乘法计数原理的问题, 运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出 示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰. 示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.

一、把脉考情 从近两年的高考试题来看, 从近两年的高考试题来看,两个计数原理在高考中单 独命题较少,一般与排列组合问题相结合,多为选择、填 独命题较少,一般与排列组合问题相结合,多为选择、 空题. 空题. 重点考查学生分析问题解决问题的能力及分类讨论思 想的应用. 想的应用.

二、考题诊断 1.(2010·湖北高考 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参 . 湖北高考)现安排甲 湖北高考 现安排甲、 名同学参 加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、 加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、 礼仪、司机四项工作之一, 礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参 加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、 乙不会开车但能从事其他三项工作, 戊都能胜任四项工作, 戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 ( A.152 . C.90 . B.126 . D.54 . )

解析:依题意得,这四项工作中必有一项工作有2人参与, 解析:依题意得,这四项工作中必有一项工作有 人参与, 人参与 就司机这项工作的实际参与人数进行分类: 就司机这项工作的实际参与人数进行分类: 第一类,司机这项工作的实际参与人数恰有 人 第一类,司机这项工作的实际参与人数恰有1人,满足题意
1 的方法有C3 1 4 1 表示从除甲、 的方法有 1·C3·C2·C2=108(种)(注:C3表示从除甲、乙外的 种 注

3人中任选 人从事司机工作的方法数;C3 ·C 2 表示从除司机 人中任选1人从事司机工作的方法数 人中任选 人从事司机工作的方法数; 1 4 工作外的其余3项工作中任选定 项 让该项工作有2人从事 工作外的其余 项工作中任选定1项,让该项工作有 人从事 项工作中任选定 的方法数; 2 表示从余下的2人中选 人中选1人从事余下的两项工 的方法数;C 1 表示从余下的 人中选 人从事余下的两项工 作之一的方法数); 作之一的方法数 ;

第二类,司机这项工作的实际参与人数恰有 个 第二类,司机这项工作的实际参与人数恰有2个,满足题 意的方法有C 3 3 意的方法有 2 ·A 3 =18(种)(注:C 2 表示从除甲、乙外的 种 注 3 表示从除甲、乙外的3 人中任选2人从事司机工作的方法数; 人中任选 人从事司机工作的方法数;A 人从事司机工作的方法数 分别从事另外3项不同工作的方法数 . 分别从事另外 项不同工作的方法数). 项不同工作的方法数 因此,满足题意的方法有 因此,满足题意的方法有108+18=126(种). + = 种.
3 3

表示余下的3人 表示余下的 人

答案: 答案:B

2.(2010·山东高考 某台小型晚会由 个节目组成,演出 . 山东高考)某台小型晚会由 个节目组成, 山东高考 某台小型晚会由6个节目组成 顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位, 顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能 排在第一位,节目丙必须排在最后一位. 排在第一位,节目丙必须排在最后一位.该台晚会节目 演出顺序的编排方案共有 A.36种 . 种 C.48种 . 种 B.42种 . 种 D.54种 . 种 ( )

解析:由题可知,可以考虑分成两类计算, 解析:由题可知,可以考虑分成两类计算,若甲排在第一 位则有A 4 种方案,若甲排在第二位则有C 3 3 种方案, 位则有 4 种方案,若甲排在第二位则有 1 A 3 种方案,所以
1 按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A 4 +C 3 A 3 按照要求该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 4 3

=42(种). 种.

答案: 答案:B

3.(2010·上海高考 从集合 ={a,b,c,d}的子集中选出 . 上海高考)从集合 的子集中选出4 上海高考 从集合U= , , , 的子集中选出 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: 都要选出; (1)?,U都要选出; ? 都要选出 (2)对选出的任意两个子集 和B,必有 ?B或A?B.那么, 对选出的任意两个子集A和 ,必有A? 或 ? 那么 那么, 对选出的任意两个子集 共有________种不同的选法. 种不同的选法. 共有 种不同的选法

解析:将选法分成两类. 解析:将选法分成两类. 第一类:其中一个是单元素集合, 第一类:其中一个是单元素集合,则另一集合为两个或三 个元素且含有单元素集合中的元素, 个元素且含有单元素集合中的元素,有C×6=24种. × = 种 第二类:其中一个是两个元素集合,则另一个是含有这两 第二类:其中一个是两个元素集合, 个元素的三元素集合, 个元素的三元素集合,有C×2=12种. × = 种 综上共有24+ = 种 综上共有 +12=36种. 答案: 答案:36

4.(2010·浙江高考)有4位同学在同一天的上、下午参加 (2010·浙江高考) 浙江高考 位同学在同一天的上、 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握 身高与体重” 立定跳远” 肺活量” 力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午 台阶”五个项目的测试,每位同学上、 各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目, 各测试一个项目,且不重复.若上午不测“握力”项目, 下午不测“台阶”项目,其余项目上、 下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一 人.则不同的安排方式共有________种(用数字作答). 则不同的安排方式共有________种 用数字作答) ________

解析:上午测试安排有 4种方法,下午测试分为: 解析:上午测试安排有A4种方法,下午测试分为: (1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”,其余 若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力” 若上午测试 三位同学有2种方法测试; 三位同学有 种方法测试; 种方法测试 (2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”,则 若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力” 若上午测试
1 种方法选择,其余三位同学选1人测试 握力” 人测试“ 有C 1 种方法选择,其余三位同学选 人测试“握力”有C 3 3

种方法,其余两位只有一种方法,则共有C1 3 种方法,其余两位只有一种方法,则共有 3·C1=9种, 种 因此测试方法共有A4 + = 种 因此测试方法共有 4·(2+9)=264种.

答案: 答案:264

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