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人教版高中数学选修4-4极坐标系课件ppt课件_图文

从这向北 2000米。 请问:去?? 中学怎么走? 请分析上面这句话,他告诉了问路人什么? 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ! 出发点 方向 距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位 置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想, 就是极坐标的基本思想。 一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点O,叫做极点。 引一条射线OX,叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度 单位及它的正方向(通常取 逆时针方向)。 O X 这样就建立了一个极坐标系。 二、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M,用 ? 表示线段OM的长度,用 ? 表示从 OX到OM 的角度,? 叫做点M的 极径, ?叫做点M的极角,有序数 对(?,?)就叫做M的极坐标。 O M ? ? X 特别强调:?表示线段OM的长度,即点M到极点O的距离;? 表示从OX到OM的角度,即以OX(极轴)为始边,OM 为终 边的角。 题组一:说出下图中各点的极坐标 ? 2 5? 6 C E D O B A X ? 4 ? 4? 3 F G 5? 3 特别规定: 当M在极点时,它的极坐标?=0, ?可以取任意值。 想一想? ①平面上一点的极坐标是否唯一? ②若不唯一,那有多少种表示方法? ③坐标不唯一是由谁引起的? ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式? 三、点的极坐标的表达式的研究 ? ? ? 如图:OM的长度为4, 请说出点M的极坐标的其他表达式。 4 O ? M ? X 思:这些极坐标之间有何异同? 极径相同,不同的是极角 思考:这些极角有何关系? 这些极角的始边相同,终边也相同。也就是说它们是 终边相同的角。 本题点M的极坐标统一表达式: π? ? 2kπ+ ? 4, ? 4? ? 题组二:在极坐标系里描出下列各点 A(3, 0) 4? D(5, ) 3 5? G (6, ) 3 B(6, 2? ) 5? E (3, ) 6 C (3, ? 2 ) F (4, ? ) ? 2 5? 6 ? 4 ? E F O C A B X 4? 3 D G 5? 3 四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 P [1]给定(?,?),就可以在极坐标平 面内确定唯一的一点M。 [2]给定平面上一点M,但却有无数 个极坐标与之对应。 M O (ρ,θ)… X 原因在于:极角有无数个。 如果限定ρ>0,0≤θ<2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应 了. 小结 [1]建立一个极坐标系需要哪些要素 极点;极轴;长度单位;角度单位和它的正方向。 [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数,极角有无数个。 [3]一点的极坐标有否统一的表达式? 有。(ρ,2kπ+θ) 极坐标和直角坐标的互化 平面内的一个点的直角坐标是(1, ) 3 这个点如何用极坐标表示? 在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位 y M (1, 3) θ O x 点M的直角坐标为 设点M的极坐标为(ρ,θ) (1, 3) M ( 2, ∏ / 3) ?? 1 ? ( 3 )?2 2 2 3 tan? ? ? 1 3 极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ) y ? ? x ? y , tan? ? ( x ? 0) x 2 2 2 x=ρcosθ, y=ρsinθ 互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半 轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同. 例1. 将点M的极坐标 2? (5, ) 3 化成直角坐标. 2? 5 ?? 解: x ? 5 cos 3 2 2? 5 3 y ? 5 sin ? 3 2 所以, 点M的直角坐标为 5 5 3 (? , ) 2 2 已知下列点的极坐标,求它们的直 角坐标。 A ( 3, ? 6 ) B ( 2, ? 2 ) C (1,? ? 2 ) 3 ? D ( , ) 2 4 3? E ( 2, ) 4 例2. 将点M的直角坐标 (? 3, ?1) 化成极坐标. 解: ?? (? 3 ) ? (? 1 )?2 2 2 ?1 3 tan? ? ? 3 ? 3 因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为 7? ? ? 6 7? ( 2, ) 6 练习: 已知点的直角坐标, 求它们 的极坐标. A ( 3,? 3 ) B (1, 3) C (5,0) E ( ?3,?3) D (0,?2) 例3 已知两点(2, 求两点间的距离. 解:∠AOB = π ),(3, π 6 o 3 B ) π 2 A 用余弦定理求 AB的长即可. x

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