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高中生必备实用三角函数公式总表


三角公式总表
nπR ⒈L 弧长= ? R= 180 S 扇=

1 2

LR=

1 2

R2 ? =

n? ? R 2 360

⒉正弦定理:

b c a = = sin A sin B sin C
2

= 2R(R 为三角形外接圆半径)
2 2 2

⒊余弦定理:a

=b

2

+c

2

-2bc

cos A

b

=a

+c

-2ac

cos B

c

2

=a

2

+b

2

-2ab

cos C

cos A ?
⒋S⊿=

b2 ? c 2 ? a 2 2bc
1 2
bc sin

1 1 a ? ha = 2 2

ab sin C =

A=

1 2

ac sin B =

abc 4R

=2R

2

sin A sin B sin C

=

a 2 sin B sin C b 2 sin A sin C c 2 sin Asin B = = =pr= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) 2 sin B 2 sin C 2 sin A
1 p ? ( a ? b ? c ) , r 为三角形内切圆半径) 2
y sin ? = = sin ? ? sec ? x cos ? ? ? y ? cos ? ? tg? r x ? sin ? ? ctg ? r
② ctg?

(其中

⒌同角关系: ⑴商的关系:① tg? =

?

x cos? ? ? cos? ? csc ? y sin ?
? r 1 ? ? tg? ? csc ? x cos ?

③ sin ?

④ sec ?

⑤ cos ?

⑥ csc ?

?

r 1 ? ? ctg? ? sec ? y sin ?

⑵倒数关系: sin ? ⑶平方关系: sin ⑷ a sin ?
2

? csc? ? cos? ? sec ? ? tg? ? ctg? ? 1

? ? cos2 ? ? sec2 ? ? tg 2? ? csc2 ? ? ctg 2? ? 1
(其中辅助角 ? 与点 (a,b) 在同一象限, 且 tg?

? b cos? ? a 2 ? b2 sin(? ? ? )

?

b a



⒍函数 y=

A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: ( ? ? 0, A ? 0 )
2? ?
, 频率 f=

振幅 A,周期 T=

1 T

, 相位 ?

? x ? ? ,初相 ?
1

⒎五点作图法:令 ?x ⒏诱导公试 sin -? - sin ? + sin ? - sin ? - sin ? + sin ?

? ? 依次为 0
cos + cos? - cos? - cos? + cos? + cos?

?
2

,? ,

3? ,2? 2
ctg

求出 x 与 y,

依点

?x, y ? 作图

tg - tg? -

- ctg ? -

三角函数值等于 ? 的同名三角函数值,前 面加上一个把 ? 看作锐角时,原 三角函数 值的符号;即:函数名不变,符号看象限

? -?
? +?
2 ? -? 2k ? + ?

tg? tg?

ctg ? ctg ?

+ -

+ -

tg? tg?

ctg ? ctg ?

+

+

sin

?
?
2

??
??

+ cos? + cos? - cos? - cos?

con + sin ? - sin ? - sin ? + sin ?

tg + -

ctg + -

ctg ?

tg?

三角函数值等于 ? 的异名三角函数值,前 面加上一个把 ? 看作锐角时,原 三角函数 值的符号;即:函数名改变,符号看象限

2 3? ?? 2 3? ?? 2
⒐和差角公式 ① sin(?

ctg ? ctg ?

tg? tg?

+ -

+ -

ctg ?

tg?

? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

② cos(?

? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

③ tg (?

? ?) ?

tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

④ tg?

? tg? ? tg(? ? ? )(1 ? tg? ? tg? )

⑤ tg (?

? ? ??) ?

tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg? ? tg?
tgA? tgB ? tgC
ii). tg

其中当 A+B+C=π 时,有:

i). tgA ? tgB ? tgC ?

A B A C B C tg ? tg tg ? tg tg ? 1 2 2 2 2 2 2

⒑二倍角公式:(含万能公式) ① sin 2?

? 2 sin ? cos? ?

2tg? 1 ? tg 2?
2

② cos 2?

? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? ? tg 2? 1 ? cos 2? ④ sin ? ? ? 2 1 ? tg ? 2
2

1 ? tg 2? 1 ? tg 2?
2

2tg? ③ tg 2? ? 1 ? tg 2?
⒒三倍角公式: ① sin 3 ? ② cos3 ?

⑤ cos

??

1 ? cos 2? 2

? 3 sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin(60? ? ? ) sin(60? ? ? ) ? ?3 cos? ? 4 cos3 ? ? 4 cos? cos(60? ? ? ) cos(60? ? ? )
3tg? ? tg 3? ? tg? ? tg (60 ? ? ) ? tg (60 ? ? ) 1 ? 3tg 2?

③ tg 3?

?

⒓半角公式: (符号的选择由

? 2

所在的象限确定)

① sin

?
2
2

??
?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin

2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos

?
2

??

1 ? cos? 2

④ cos

?
2

⑤ 1 ? cos ?

? 2 sin 2

?
2

⑥ 1 ? cos ?

? 2 cos 2

?
2



1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin 2 2 2 2

?

?

?

?

⑧ tg

?
2

??

1 ? cos? sin ? 1 ? cos? ? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin ?

⒔积化和差公式:

sin ? cos ? ?

1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2
? sin ? ? 2 sin

⒕和差化积公式: ① sin ?

???

2 2 ??? ??? cos ③ cos ? ? cos ? ? 2 cos 2 2

cos

???

② sin ? ④ cos ?

? sin ? ? 2 cos

???
2

sin

???
???
2 2

? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

3


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