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不等式选讲知识点归纳及近年高考真题

不等式选讲知识点归纳及近年高考真题

考点一:含绝对值不等式的解法

例 1.(2011 年高考辽宁卷理科 24)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|.

(I)证明:-3≤f(x)≤3;(II)求不等式 f(x)≥x2-8x+15 的解集.

??3, x ? 2,

解:(I) f (x) ?| x ? 2 | ? | x ? 5 |? ??2x ? 7, 2 ? x ? 5, 当 2 ? x ? 5时, ?3 ? 2x ? 7 ? 3. 所以 ?3 ? f (x) ? 3.

??3,

x ? 5.

(II)由(I)可知,当 x ? 2时, f (x) ? x2 ? 8x ? 15 的解集为空集;

当 2 ? x ? 5时, f (x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 5} ;

当 x ? 5时, f (x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为{x | 5 ? x ? 6}.

综上,不等式 f (x) ? x2 ? 8x ? 15的解集为{x | 5 ? 3 ? x ? 6}.

变式练习:1. (2011 年高考山东卷理科 4)不等式| x ? 5 | ? | x ? 3 |?10 的解集为

(A)[-5.7]

(B)[-4,6] (C) (??, ?5]?[7, ??) (D) (??, ?4]?[6, ??) 【答案】D

2.若存在实数 x 使| x ? a | ? | x ?1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是



【答案】 ? 2 ? a ? 4 【解析】| x ? a | ? | x ?1|? 3 表示在数轴上,a 到 1 的距离小于等于 3,即 a ?1 ? 3,

则?2?a ?4

? ? 1.已知集合 A ?

x?R| x?3 ? x?4 ?9

,

B

?

? ?

x

?

?

R

|

x

?

4t

?

1, t

t

?

(0,

??)

? ? ?

,则集合

A?

B

=________.

【答案】?x ? R | ?2 ? x ? 5?

3. (2011 年高考广东卷理科 9)不等式 x ?1 ? x ? 3 ? 0的解集是______.

【解析】{x | x ? 1}。由题得| x ? 1 |?| x ? 3 | ? (x ? 1)2 ? (x ? 3)2 ? x ? 1 所以不等式的解集为{x | x ? 1}。

4.若关于 x 的不等式 a ? x ?1 ? x ? 2 存在实数解,则实数 a 的取值范围是 【答案】 (??, ?3] [3, ??)

【解析】:因为 x ?1 ? x ? 2 ?| x ?1? x ? 2 |? 3 所以 a ? x ?1 ? x ? 2 存在实数解,有 a ? 3 a ? ?3 或 a ? 3

5.(2011 年高考江苏卷 21)解不等式: x? | 2x ?1|? 3

原不等式等价于: x ? 3 ? 2x ?1 ? 3 ? x,??2 ? x ? 4 ,解集为 (?2, 4)

3

3

6. (2011 年高考全国新课标卷理科 24)设函数 f (x) ? x ? a ? 3x,a ? 0

? ? (1)当 a ?1时,求不等式 f (x) ? 3x ? 2 的解集;(2)如果不等式 f (x) ? 0的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值。

解:(Ⅰ)当 a ?1时,不等式 f (x) ? 3x ? 2 ,可化为, x ?1 ? 2
? ? ? x ? ?1, x ? 3 ,所以不等式 f (x) ? 3x ? 2 的解集为 x x ? ?1,或x ? 3
(Ⅱ)因为 f (x) ? 0,所以, x ? a ? 3x ? 0,可化为,

?x ??x

? ?

a a?

3x

?

0或???ax

? ?

a x?

3x

?

0



??x ???x

? ?

a a 4

或?????xx

? ?

a ?

a 2

因为,

a

?

0

所以,该不等式的解集是

? ?x ?

x

?

?

a?

2

? ?

,再由题设条件得

?

a 2

?

?1,? a

?

2

7.(2010 年高考福建卷理科 21)已知函数



(Ⅰ)若不等式

的解集为

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若

,求实数 的值; 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围。

【解析】(Ⅰ)由



,解得



又已知不等式

的解集为

(Ⅱ)当

时,

,设

,所以

,解得



,于是

=

,所以

当 时,

;当

时,

;当 时,



考点二:不等式的证明与柯西不等式

例:已知实数 x,y 满足:| x ? y |? 1 ,| 2x ? y |? 1 ,求证:| y |? 5 .

3

6

18

【答案】证明:∵ 3 | y | =| 3y | = | 2? x ? y? ? ?2x ? y? |? 2 x ? y ? 2x ? y ,

由题设| x ? y |? 1 ,| 2x ? y |? 1 ,∴ 3| y |< 1 ? 1 = 5 。∴| y |? 5 。

3

6

3 66

18

变式练习:1 辽宁 24. 已知 f ?x? = ax+1 ?a ?R? ,不等式 f ? x? ? 3的解集为?x -2 ? x ? 1?

(1)求 a 的值

(2)若

f

? x?-2 f

?x? ?? 2 ??

? k 恒成立,求 k 的取值范围

? ? 【解析】(1)由 ax+1 ? 3得 -4 ? ax ? 2 ,又 f ? x? ? 3的解集为 x -2 ? x ? 1 ,所以当 a ? 0 时,不合题意

当 a>0 时, - 4 ? x ? 2 ,得 a=2

a

a

?

?1,x ? -1

(2)记 h ? x? =f

?x ?-2 f

? ??

x 2

? ??

,则

h

?

x

?

=

???-4x-3,-1<x<?

1 2

,所以

h?x?

? 1,因此 k

?1

???-1,x

?

-

1 2

2.设不等式 2x -1<1的解集为 M.(I)求集合 M;(II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

解:(I)由| 2x ?1|? 1得 ?1 ? 2x ?1 ? 1,解得0 ? x ? 1.所以 M ? {x | 0 ? x ? 1}.

(II)由(I)和 a,b ? M可知0<a<1,0<b<1,所以 (ab ?1) ? (a ? b) ? (a ?1)(b ?1) ? 0. 故 ab ?1 ? a ? b.

练习:3. 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1 | .(1)求证: ? 3 ? f ( x) ? 3 ;(2)解不等式 f ( x) ? x 2 ? 2x .

?3

解:(1) f ( x) ? ??? 2x ? 1

? ?

?3

( x ? ?1) (?1 ? x ? 2) ,又当 ? 1 ? x ? 2 时, ? 3 ? ?2x ? 1 ? 3 ,∴ ? 3 ? f ( x) ? 3
( x ? 2)

(2)当 x ? ?1 时, x2 ? 2x ? 3 ? ?1 ? x ? 2 ? x ? —1;

当 ? 1 ? x ? 2 时, x2 ? 2x ? ?2x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ? 1 ;当 x ? 2 时, x 2 ? 2x ? ?3 ? x ? ? ;

综合上述,不等式的解集为: ?? 1,1?

4.设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R

(Ⅰ)解不等式 f(x)≤5;

(Ⅱ)若 g(x) ? 1 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围. f (x) ? m

5.设函数 f (x) ?| 2x ? m | ?4x. (I)当 m=2 时, 解不等式: f (x) ≤1; (Ⅱ)若不等式 f (x )? 2的解集为{xlx≤—2},求 m 的值。


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