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湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学文试题含解析


湖北省部分重点中学 2014-2015 学年度上学期高三起点考试

数 学 试 卷(文科)
【试卷综评】 全面考查了考试说明中要求的内容, 明确了中学数学的教学方向和考生的学习 方向,适度综合考查, 提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点, 对考生的数学能力提出了 较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={ 1, 4 },N={ 2, 3 },则集合{5,6}等于( A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D.(?UM)∩(?UN) 【知识点】补 集 及 其 运 算 ; 并 集 及 其 运 算 . )

【答案解析】D解析 :解 :由 题 意 全 集 U={ 观察 1,2,3,4,5,6},M= {1,4},N= {2,3}, 知 , 集 合 {5, 6} = CU M ∴ CU M

(

N ) ,又 CU ( M ? N)

( C M ) ( C N)
U U

(

6} . 故 选 D . ) ( C N) = {5,
U

【思路点拨】利 用 直 接 法 求 解 . 观 察 发 现 , 集 合 {5, 6} 恰 是 M ? N 的 补 集 , 再 由

CU ( M ? N )

( C M ) ( C N) 选 出 答 案 .
U U

2. i 为虚数单位, z ? A. 2-i

5i , 则 z 的共轭复数为 1 ? 2i
B. 2+i C. -2-i

(

) D. -2+i

【【知识点】复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 ; 共 轭 复 数 . 【答案解析】C解析 :解: 因 为 z =

5( 1+ 2 i) i 5i = = - 2 + i ,故 z 的共轭复数为 1 - 2i ( 1+ 2 i) ( 1 - 2 i)

- 2 - i ,故选C.
【思路点拨】先把原式化简,再利用共轭复数的概念即可求得结果. 3.若某程序框图如图所示,则输出的n的值是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
p=1,n=1 开始

【知识点】程序框图,等差数列的前n项和公式. 【答案解析】C解析 :解:框图首先给循环变量n赋值1,给累加变量p赋值1, 执行n=1+1=2,p=1+(2×2-1)=1+3=4; 判断4>20不成立, 执行n=2+1=3,p=1+3+(2×3-1)=1+3+5=9; 判断9>20不成立, 执行n=3+1=4,p=1+3+5+(2×4-1)=1+3+5+7=16; … 由上可知,程序运行的是求首项为1,公差为2的等差数列的前n项和, 由p=

n=n+1 p=p+2n?1 p>20 ? 是 输出 n 结束 (第 3 题图) 否

(1 + 2n - 1) n = n
2

2

> 20 ,且n∈N*,得n=5.
1

故选C. 【思路点拨】框图首先给循环变量n赋值1,给累加变量p赋值1,然后执行运算n=n+1, p=p+2n-1,然后判断p>20是否成立,不成立循环执行n=n+1,p=p+2n-1,成立时算 法结束,输出n的值.且由框图可知,程序执行的是求等差数列的前n项和问题.当前n项和 大于20时,输出n的值. 4.已知命题 p : ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x0 ? R,cos x0 ? 1 C. ?p : ?x ? R,cos x ? 1 【知识点】命 题 的 否 定 . 【答案解析】D解析 :解:根 据 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 可 知 : " x 危R, cos x 的 否 定 为 $ x0 ? R,cos x0 B. D. ( )

?p : ?x ? R,cos x ? 1

?p : ?x0 ? R,cos x0 ? 1

1

1,故选D.

【思路点拨】直 接 把 语 句 进 行 否 定 即 可 .

? y ?1 ? 0 ? 5. 若 x , y 满足 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 , 若目标函数 z ? x ? y 的最小值为-2, 则实数 m 的值为 ( ? x? y ?m ?
A. 0 B. 2 C. 8 D. -1 【知识点】简 单 线 性 规 划 . 【答案解析】C 解析 :解:画 出 x , y 满 足 的 可 行 域 如 下 图 :



可 得 直 线 y = 2 x - 1 与 直 线 x + y = m的 交 点 使 目 标 函 数 z ? x ? y取 得 最 小 值 ,

故í

ì ? y = 2x - 1 , ? ? x+y =m

m +1 2m - 1 ,y= , 3 3 m +1 2m - 1 = -2? m =8 代入 x - y = - 2 得 3 3
解得 x =
2

故选 C. 【思路点拨】 由 目 标 函 数 z ? x ? y的 最 小 值 为 -2 , 我们可以画出满足条件的可行域, 根 据 目 标 函 数 的 解 析 式 形 式 ,分 析 取 得 最 优 解 的 点 的 坐 标 ,然 后 根 据 分 析 列 出 一 个含参数 m 的方程组,消参后即可得到 m 的取值. 【典型总结】如 果 约 束 条 件 中 含 有 参 数 ,我 们 可 以 先 画 出 不 含 参 数 的 几 个 不 等 式 对 应 的 平 面 区 域 ,分 析 取 得 最 优 解 是 哪 两 条 直 线 的 交 点 ,然 后 得 到 一 个 含 有 参 数 的方程(组) , 代 入 另 一 条 直 线 方 程 , 消 去 x, y后 , 即 可 求 出 参 数 的 值 . 6. 直线 l:y 与圆 Ox 相交于 A , B 两点, 则 "k ?1 : ? y? 1 ? k x ? 1 "是“ ?OAB 的面积为
2 2

1 2

的 ( ) A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【知识点】充分、必要条件的判断.

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案解析】A 解析 :解:若 k = 1 ,则直线与圆交于 0,1 , 1,0 两点,所以

( )( )

S

ABO

1 1 1 = 创 1 1 = ,充分性成立;若△ABO 的面积为 ,易知 k = 1 ,必要性不成立,故 2 2 2

选 A. 【思路点拨】看 两 命 题 是 否 能 够 互 相 推 出 , 然 后 根 据 必 要 条 件 、 充 分 条 件 和 充 要 条件的定义进行判断. 7. 若函数 f(x)的零点与 g x =4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)可以是 ( ) B.f (x)=(x-1)2 D.f (x)=ln(x-0.5)

( )

A.f (x)=4x-1 C.f (x)=ex-1

【知识点】判 断 函 数 零 点 所 在 的 区 间 ; 求 函 数 零 点 的 方 法 . 【 答案解析 】 A 解析 : 解 : ∵ g x =4 +2x-2 在

( )

x

R

上 连 续 , 且

骣 骣 1 1 1 g琪 g琪 0 , =2+1-2>0 . 琪 = 2+ - 2 < 琪 4 2 桫 桫 2
设 g x =4 +2x-2 的 零 点 为 x0 , 则 又 f x =4x- 1零 点 为 x =

( )

x

1 1 1 1 1 1 < x0 < , 0 < x0 - < , ∴ x0 - < . 4 2 4 4 4 4

()

1 ; f ( x) = ( x- 1)2 零 点 为 x = 1 ; 4

f ( x) =ex- 1 零 点 为 x =0 ; f ( x) =ln( x-0.5) 零 点 为 x = 1 . 5,
故 选 A. 【思路点拨】先 判 断 g x 的 零 点 所 在 的 区 间 ,再 求 出 各 个 选 项 中 函 数 的 零 点 , 看 哪 一 个 能 满 足 与 g x =4 +2 x - 2的 零 点 之 差 的 绝 对 值 不 超 过 0.25 .

( )

( )

x

,1 , 2 , 8. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A?2,0,0? , B?2,2,0? , C?0,2,0? , D 1

?

?

3

若 S 1 , S 2 , S 3 分别表示三棱锥 D 在 xO y , yO z , zOx 坐标平面上的正投影图形 ? A B C 的面积,则 ( A. C. ) B. D.

S S S 1? 2? 3 S1 ? S3 且 S3 ? S2

S2 ? S3 且 S3 ? S1 S1 ? S2 且 S1 ? S3

【知识点】空 间 直 角 坐 标 系 . 【答案解析】B 解析:解:设 A?2,0,0? , B?2,2,0? , C?0,2,0? , D 1 ,1 , 2 ,则 各 个 面 上 的 射 影 分 别 为 A' , B' , C' , D' , 在 xOy 坐 标 平 面 上 的 正 投 影 A' ( 2 , 0 , 0 ) , B' ( 2 , 2 , 0 ) , C' ( 0 , 2 , 0 ) , D' ( 1 , 1 , 0 ) , S 1 =

?

?

1 ×2×2 = 2 . 2 1 ×2× 2 = 2 2 1 ×2× 2 = 2 , 2

在 yOz 坐 标 平 面 上 的 正 投 影 A' ( 0 , 0 , 0 ) , B' ( 0 , 2 , 0 ) , C' ( 0 , 2 , 0 ) , D' ( 0 , 1 ,

2 ) , S2=

在 zOx 坐 标 平 面 上 的 正 投 影 A' ( 2 , 0 , 0 ) , B' ( 2 , 0 , 0 ) , C' ( 0 , 0 , 0 ) , D' ( 1 , 0 ,

2 ) , S3=

则 S 3 =S 2 且 S 3 ≠ S 1 , 故 选 : B . 【思路点拨】分 别 求 出 三 棱 锥 在 各 个 面 上 的 投 影 坐 标 即 可 得 到 结 论 .

x2 y2 x2 y2 9.已知 a ? b ,椭圆 C 1 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线 C 2 的方程为 2 ? 2 ? 1 , C 1 与 C a b a b
的离心率之积为 A.

2

3 2

,则 C 2 的渐近线方程为 ( B. x ? 2 y ? 0

) C. x? 2 y? 0 D. 2 x?y? 0

2 x?y?0

【知识点】椭圆、双曲线的几何性质.

骣 b 【答案解析】 B解析 : 解: 由已知椭圆、 双曲线的几何性质得, 1 - 琪 琪 a 桫
所以,

2

骣 b ? 1 琪 琪 a 桫

2

=

3 , 2

b 1 = ,双曲线的渐近线方程为 x ? a 2

2 y 0 选B.

【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程. 10.已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 2 ,且 f ( x) 的导函数 f ( x) 在 R 上恒 有 f ( x) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? x ? 1 的解集为 ( A. (??, ?1) C. (?1,1)
4

?

?

)

B. (1, ??) D. (??, ?1)

(1, ??)

【知识点】利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ; 函 数 单 调 性 的 性 质 ; 导 数 的 加 法 与 减 法 法则. 【答案解析】B解析 :解:令 g ? x ? ? f ( x) ? x ?1 , ∵ f ( x ) ? 1 ? x ? R? , ∴ g? ? x ? ? f ?( x) ?1 ? 0 , ∴ g ? x? ? f( x 为减函数, ) ? x?1 又 f (1) ? 2 , ∴ g ?1? ? f (1)? 1 ? 1 ? , 0 ∴ 不 等 式 f ( x) ? x ? 1 的 解 集 ? g ? x ? ? f ( x) ? x ?1 ? 0 ? g ?1? 的 解 集 , 即 g ? x ? ? g ?1? , 又 g ? x? ? f( x 为减函数, ) ? x?1 ∴ x ? 1 , 即 x ? ?1, ?? ? . 故 选 B. 【思路点拨】构 造 函 数 g ? x? ? f( x , 求 导 , 从 而 可 得 g ? x? 的 单 调 性 , 结 合 ) ? x?1

?

f (1) ? 2 , 可 求 得 g ? x? ? g?1? , 然 后 求 出 不 等 式 的 解 集 即 可 .
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分)

? 1 ? x ? 2 ? 5 11. 不等式 x 的解集为
【知识点】绝对值的意义,绝对值不等式的解法, 【答案解析】 - ? , 3

.

(

] [ 2, + ) 解析 :解: x - 1 + x + 2 表示数轴上的x对应点到1和-2

对 应 点 的 距 离 之 和 , 而 数 轴 上 满 足 x - 1 + x + 2 = 5的 点 的 坐 标 为 -3 和 2 , 故 不 等 式

x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 ( - ? , 3]

[ 2, + ) ,故答案为 ( - ?

, 3]

[ 2, + ) .
1 1 1 3 2 2 正视图 左视图

【思路点拨】 利用绝对值的意义, x - 1 + x + 2 表示数轴上的x对应点到1和-2对应点的距离 之和,而数轴上满足 x - 1 + x + 2 = 5 的点的坐标为-3和2,从而得出结论. 12. 某几何体的三视图如右图所示,根据所给尺寸(单位:cm) ,

cm 。 则该几何体的体积为 【知识点】三视图. 【答案解析】 15 解析 :解:根据右图的几何体的三视图我们可以 画出原几何体的立体图形如下图:上部分是一个放倒的三棱柱,下部分 是一个长方体 .

3

3

俯视图

5

所以该几何体的体积为 3 ? 2 ? 2 ?

1 ? 2 ?1? 3 ? 15 cm3 ,故答案为15 . 2

【思路点拨】根据三视图还原原几何体,再由体积公式计算即可. 13.某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校抽取 6 所学校对学生进行视力调查.若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, 则抽取的 2 所学校均为小学的概率为_________ 【知识点】古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式 ; 分 层 抽 样 方 法 .

1 6 1 = ,故 从 小 学 、 解析 :解:每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 等 于 5 21 +14 + 7 7 1 中 学 、 大 学 中 分 别 抽 取 的 学 校 数 目 为 21 × =3 , 7 1 1 2 14 × =2 , 7 × =1 . ( 2 ) 所 有 的 抽 法 共 有 C6 =15 种 , 其 中 抽 取 的 2 所 学 校 均 7 7 3 1 2 = . 故答 为 小 学 的 方 法 有 C3 = 3种 , 故 抽 取 的 2 所 学 校 均 为 小 学 的 概 率 等 于 15 5 1 案为 . 5
【答案解析】 【思路点拨】先 求 出 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 , 再 用 各 个 层 的 个 体 数 乘 以 此 概 率 , 即 得 应 从 小 学 、中 学 、大 学 中 分 别 抽 取 的 学 校 数 目 .根 据 所 有 的 抽 法 共 有 15 种 , 其中抽取的 2 所学校均为小学的方法有 3 种, 由此求得抽取的 2 所学校均为小学 的概率. 14. 已知 sin ? ? cos ? ? ? 1 ,则 sin 2? ? ________

5

【知识点】平方关系;二倍角正弦公式.

24 1 解析 :解:把 sin ? ? cos ? ? ? 1 两边平方可得 1 ? 2sin ? cos ? ? , 5 25 25 24 24 即 sin 2? ? ,故答案为 . 25 25
【答案解析】
6

【思路点拨】把原等式两边平方可得结果. 15. 设 x, y ? R ,a ? ( x , 1) ,b ? (1 , y) ,c ? (2 , ?4) , 且 a ? c ,b ∥ c , 则 (a-2 b c) ? =____ 【知识点】向量的运算;向量的坐标表示. 【答案解析】?20 解析 :解:因为 a ? ( x , 1), b ? (1 , y) , c ? (2 , ?4) ,又因为 a ? c , 所以 2 x ? 4 ? 0 ,即 x ? 2 ,故 a ? (2 ,1 ) ;又因为 b / / c ,所以 1? ? ?4? ? 2 y ? 0 ,即 y ? ?2 ,
(a - 2b) ?c ? ? 故 b ? (1, ?2) ,则 ?? 2,1? ? 2(1, ?2) ? ? ? ? 2, ?4 ? ? ?20 ,故答案为 ?20 .

r

r

r

r

r

r

r r r

r

r

r

r

r

【思路点拨】先利用 a ? c , b ∥ c 解出 x, y 的值,再进行坐标运算即可.
2 2 x y 1 16. 过点 M(1 若M 1 ( a? b? 0 )相交于 A , B , ,1) 作斜率为 ? 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? a b 2 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为 .

r

r

r

【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 .

ì ? 2 ? 【答案解析】 解析 :解:设 A( x1, y1) , B ( x2 , y2 ) , 则 í 2 ? ? ?
∵ 过 点 M(1 ,1) 作 斜 率 为 ?

x12 y12 + =1 a 2 b2 , x2 2 y2 2 + =1 a 2 b2

2 2 1 x y 的直 线与椭 圆 C : 2? 2 ? 1 ( a? b? 0 )相 交 于 A , B 2 a b

两 点 , M 是 线 段 AB 的 中 点 , ∴ 两 式 相 减 可 得

2 1 2 + (- ) ? 2 2 a 2 b

0,

∴ a = 2b, ∴ c = a2 - b2 = b , ∴ e =

c 2 . = a 2
1 ,即 可 求 出 椭 圆 2

【思路点拨】利 用 点 差 法 ,结 合 M 是 线 段 AB 的 中 点 ,斜 率 为 ?

C 的离心率.
17.如果对定义在 R 上的函数 f ( x ) ,对任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

x1 f( x ( x ? 1 )? x 2 f 2)

1

x ( f 2x ? )

2

f ( x) 为“ H 函数”. x (,则称函数 f 1) x

? ?ln x x ? 0 给出下列函数①y ? ex ? x ;② y ? x2 ;③ y ? 3x ? sin x ;④ f ( x) ? ? . 0 x ? 0 ? ?
以上函数是“ H 函数”的所有序号为 【知识点】函 数 单 调 性 的 性 质 . .

【答案解析】① ③ 解析 :解:∵ 对任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有

x1 f( x ( x ? 1 )? x 2 f 2)

1

x ( f 2x ? )

2

x (恒 f 1成 ) x 立,
7

∴ 不 等 式 等 价 为 x1 - x2 轾 臌f

(

) ( x) - f( x)
1 2

>0 恒 成 立 ,

即函数 f x 是定义在 R 上的增函数. ① 函 数 y ? ex ? x在 定 义 域 上 为 增 函 数 , 满 足 条 件 . ② 函 数 y ? x2 在 定 义 域 上 不 单 调 . 不 满 足 条 件 . ③ y ? 3x ? sin x , y ′ =3-cosx > 0 , 函 数 单 调 递 增 , 满 足 条 件 .

()

? ?ln x x ? 0 ④ f ( x) ? ? . 当 x> 0 时 , 函 数 单 调 递 增 , 当 x< 0 时 , 函 数 单 调 递 减 , 0 x ? 0 ? ?
不满足条件.综上满足“H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③. 【思路点拨】先 判 断 出 满 足 条 件 的 函 数 为 单 调 递 增 函 数 , 判 断 函 数 的 单 调 性 即 可 得到结论. 三、解答题:本大题共5小题,满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 在 ΔABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (Ⅰ ) 求角 C 的大小; (Ⅱ ) 若 c=2,求使 ΔABC 面积最大时,a, b 的值. 【知识点】正弦定理;余弦定理;三角形面积公式. 【答案解析】(1) C = 解析 :解: (1)

2a ? b cos(A ? C ) ? c cosC

2p 3 (2) 3 3

,由题意及正弦定理 c o s ( A ? C ) ?? c o s (B )c ? ? o s B

?

2 s i n A ? s i n B? c o s B ? ? s i n C c o s C


2 s i n A c o s ? C ? ( s i n B ? c o s C c o s ? B ? s i n C ) ? s ? i n ? ( B C ) s i n A A ? ( 0 , ? ) ? s i n A ? 0从而

cosC ??

2? …………………6 分 3 2 2 2 ? ab ? ? 2 a bC c o s (2)由余弦定理 c 1 2 2 2 2 2 2 ? a ? b ? a b ,? ?? 4a ? b ? 2 a b ? ( ?) 即 4 4 ? a ? b ? a b ? 2 a b ? a b ? 3 a b 2 4 1 3 ?4? 3 a b , a b? S b s i n C ? a b (当且仅当 a ? b 时成立) A B C? a 3 2 4 3 2 3 ΔABC 面积最大为 ,此时 a ? b = ? 当 a ? b 时 3 3


1 2

C ? ( 0 , ? ) ?C?

8

故当 a ? b =

2 3 3 时,ΔABC 的面积最大为 . 3 3

【思路点拨】(1)利用诱导公式和正弦定理以及两角和的正弦公式可求得结果; (2)根据 余弦定理可判断出当 a = b ,ΔABC 面积最大,再求出最大值即可. 19. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28,且

a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.
(Ⅰ ) 求 数 列 {an } 的 通 项 公 式 ; (Ⅱ ) 若 bn ? an log1 an , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求 使
2

Sn ? n ? 2n?1 ? 62成立的正整数 n 的最小值.
【知识点】数 列 与 不 等 式 的 综 合 ; 等 比 数 列 的 通 项 公 式 ; 数 列 的 求 和 . 【答案解析】(Ⅰ) 解析 :解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q. 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 ,代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 , 可得 a3 ? 8 ,? a2 ? a4 ? 20 ,? ?
2 ? ?a1q ? 8, 3 ? ?a1q ? a1q ? 20,

an ? 2n. (Ⅱ) 6

1 ? ?q ? 2, ?q ? , 解之得 ? 或? 2 又数列 ?an ? 单调递增, ?a1 ? 2 ? ? a1 ? 32. ? q ? 2 , a1 ? 2 ,

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n.
2

???????6 分

(Ⅱ) ? bn ? 2n log 1 2n ? ?n ? 2n ,? Sn ? ?(1? 2 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2n ) ,

2Sn ? ?[1? 2 ? 2 ? 23 ?
2

? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 ] ,
? 2n ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 2 ? n ? 2n?1.

两式相减,得 Sn ? 2 ? 22 ? 23 ?

?Sn ? n ? 2n?1 ? 62 即 2n ?1 ? 2 ? 62 ,即 2n?1 ? 64 ? 26 ? n ? 1 ? 6 ? n ? 1 ? 6 从而 n ? 5 故正整数 n 的最小值为 6.
? 使?Sn ? n ? 2n?1 ? 62 成立的正整数 n 的最小值为 6. ???????12 分
【思路点拨】( I )由 题 意 ,得 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,由 此 能 求 出 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 . ( Ⅱ ) 结 合 已 知 可 得 数 列 {b n } 的 前 项 和 S n =2 的正整数 n 的最小值. 20. (本小题满分 13 分)如图, ?ABC 中,?B ? 90 , AB ? 2, BC ? 1, D、 E 两点分别是线段
AB、AC 的中点,现将 ?ABC 沿 DE 折成直二面角 A ? DE ? B 。
n+1

-2-n ? 2

n+1

, 使 Sn ? n ? 2

n?1

? 62成 立

(Ⅰ ) 求证: 面ADC ? 面ABE ; A

(Ⅱ )求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值. A
9

D

E D

E

知识点】线面垂直的判定定理;二面角的求法. 【答案解析】(1)见解析(2)

3

3 解析 :解: (Ⅰ ) 由 ?? 两点分别是线段 A 的中点, B 、 A C B9 0 ,D 、 E 得D , E / / B C ? D E ? A D , D E ? B D
。 2 ? A D ? 面 B C D , 又 B E ? 面 B C D , ? A D ? B E 为二面角 AD ? ? A D B ? EB ? 平面角, ?ADB ?

?

A 2 1 B D B C 又B D ? , D EB ? ,C ? 1 , 即 ?? ,? B D E ? D B C 2 2 D E B D ? ? E B D ? ? D C B , ? B E ? D C O E ?? B E面 A D C , D 又 B E ? 面 A B E , ? 面 A B E ? 面 A D C ……………7 分 H (Ⅱ ) 连结 BE 交 CD 于 H,连结 AH B 过点 D 作 D 于 O。 O ? A H A D ?? B E , B E D H ? B E ? 面 A D H D O ? 面 A D H , ? B E ? D O , 又 D O ? A H , ? D O ? 面 A B E D A O为 AD 与平面 ABE 所成角。 所以 ? 2 1 B D ? D E 6 中, B R t? B D E D ? , D E ? ?? D H ? , 2 2 B E 6 D H 6 3 中, t R t? A D H a n ? D A O ? ? ?2 ? . D A 6 3 3 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值为 。 ……………13 分 3 【思路点拨】 (1) 先找到二面角 AD 再结合线面垂直的判定定理即可; (2) ? EB ? 平面角, D A O为 AD 与平面 ABE 所成角,然后在三角形中解出其正切值即可. 通过已知条件确定 ? 21. (本小题满分 14 分) 已知 O 为坐标原点, P( x, y) 为函数 y ? 1 ? ln x 图像上一点,记直线 OP 的斜率 k ? f ( x) .

C

1 2 t (Ⅱ ) 当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 t 的取值范围. x ?1
【答案解析】(Ⅰ ) 解 析 : 解

(Ⅰ ) 若函数 f ( x ) 在区间 (m, m ? ) ( m ? 0) 上存在极值,求实数 m 的取值范围;

【知识点】函 数 在 某 点 取 得 极 值 的 条 件 ; 导 数 在 最 大 值 、 最 小 值 问 题 中 的 应 用 .

1 ? m ? 1 ; (Ⅱ ) (??, 2] . 2
: (Ⅰ) 由 题 意

k ? f ( x) ?
10

1 ? ln x , ( x ? 0) x

, 所 以

1 ? ln x ? ln x f ? ( x) ? ( ) ? ? 2 , ( x ? 0) x x
当 0 ? x ? 1 时, f ? ( x) ? 0; 当 x ? 1 时, f ? ( x) ? 0;

? f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减.
故 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值.

1 函数f ( x) 在区间 (m, m ? ) (m ? 0) 上存在极值 2

?0 ? m ? 1 1 1 ? ?? 得 ? m ? 1 , 即实数 m 的取值范围是 ? m ? 1 . …………7 分 1 2 2 m ? ?1 ? ? 2
(Ⅱ) 由题意 f ( x ) ?

t ( x ? 1)(1 ? ln x) 得t ? , x ?1 x ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x , ( x ? 1) , 则 g ? ( x) ? , ( x ? 1) , 令 g ( x) ? x x2 1 x ?1 ? 令 h( x) ? x ? ln x,( x ? 1) ,则 h ( x ) ? 1 ? ? x x

x ? 1 ? h? ( x )? 0 故 h( x) 在 [1, ??) 上单调递增,

? h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 从而 g ? ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, ? g ( x) ? g (1) ? 2 ? 0
? 实数 t 的取值范围是 (??, 2] .
…………. …………14 分

【思路点拨】( Ⅰ )由 斜 率 公 式 求 出 k ? f ? x ? ,求 出 导 数 f ?( x) ,根 据 导 数 符 号 可 判 断 f ? x ? 的 极 值 情 况 , 要 使 函 数 f ? x ? 在 区 间 (m , m ? 有极值点在该区间内,从而得不等式组,解出即可; ( Ⅱ ) 由 f ( x) ?

1 ) (m? 0上 ) 存在极值,须 2

t ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1) (1 ? ln x ) ,( x ? 1) 得t? , 令 g(x ) ? ,则问 x ?1 x x

题 转 化 为 求 函 数 g( x) 的 最 小 值 问 题 , 利 用 导 数 研 究 函 数 g( x) 的 单 调 性 , 由 单调性即可求得其最小值. 22. (本小题满分 14 分)已知点 A (0, ?2 ) ,椭圆 E :
2 2 x y ? ? 1 ( a? b? 0 )的离心率为 2 2 a b

3 2

, F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅰ ) 求 E 的方程;
11

(Ⅱ )设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P , Q 两点,当 ?OPQ的面积最大时,求 l 的方程. 【知识点】直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系 ; 椭 圆 的 标 准 方 程 . 【答案解析】(Ⅰ )

x2 7 ? y 2 ? 1(Ⅱ )y?? x?2 4 2

解析 :解: (Ⅰ) 显然 F 是椭圆的右焦点,设 F (c,0) 由题意 K AF ?

2 2 3 ? c 3

?c ? 3

又离心率

c 3 ? a 2

? a ? 2 ,?b ? a2 ? c2 ? 1

故椭圆 E 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

…………. …………5 分

(Ⅱ) 由题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k ,方程为 y ? kx ? 2

? x2 ? ? y 2 ? 1 ,化简得: 联立直线与椭圆方程: ? 4 (1 ? 4k 2 ) x2 ?16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
3 4 16k 12 , x1 x2 ? 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ? ? 16(4 k 2 ? 3) ? 0, ? k 2 ?

? PQ = 1 ? k 2 x1 ? x2 = 1 ? k 2

4 4k 2 ? 3 1+4k 2
2 k 2 ?1

坐标原点 O 到直线 l 的距离为 d ?

1 1 4 4k 2 ? 3 ? S?OPQ ? l d ? 1? k 2 2 2 1+4k 2
令 t?

2 k 2 ?1

?

4 4k 2 ? 3 1+4k 2

4k 2 ? 3 (t ? 0) ,则 S?OPQ ?

4t 4 ? t ?4 t ? 4 t
2

t?

4 4 ? 4 (当且仅当 t ? 即 t ? 2 时等号成立)? S?OPQ ? 1 t t

故当 t ? 2 即

4k 2 ? 3 ? 2 , k ? ?

7 时 ?OPQ的面积最大 2

12

从而直线 l 的方程为 y ? ?

7 x?2 2

.…………. …………14 分

【思路点拨】( Ⅰ )设 F( c ,0 ),利 用 直 线 的 斜 率 公 式 可 得

2 2 3 ,可 得 c .又 = c 3

c 3 , b 2 =a 2 -c 2 , 即 可 解 得 a , b ; ? a 2
(Ⅱ)设 P ,由 题 意 可 设 直 线 l 的 方 程 为 : y?k ( xy ,1 ) , Q ( xy ,2 ) x? 2.与 椭 圆 的 方 程 1 2 联 立 可 得 根 与 系 数 的 关 系 ,再 利 用 弦 长 公 式 、点 到 直 线 的 距 离 公 式 、三 角 形 的 面 积 计 算 公 式 即 可 得 出 ?OPQ的面积. 通 过 换 元 再 利 用 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 得 出.

13


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