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高中数学第一章集合1.2第1课时子集、真子集课件苏教必修1_图文

阶 段 一

阶 段 三

1.2

子集、全集、补集 子集、真子集
学 业 分 层 测 评

第1课时
阶 段 二

1. 理解集合间包含与相等的含义、 能识别给定集合间是否有包含关系. (重点) 2.能通过分析元素的特点判断集合间的关系.(难点) 3.能根据集合间的关系确定一些参数的取值.(难点、易错点)

[基础· 初探] 教材整理 1 子集的概念及其性质 阅读教材 P8 开始至例 1,完成下列问题. 1.子集 如果集合 A 的 任意一个 元素都是集合 B 的元素(若 a 定义 ∈A,则 a∈B),那么集合 A 称为集合 B 的子集 符号 A ? B(或 B ? A) 表示 读法 集合 A 包含于 集合 B(或集合 B 包含 集合 A)
图示

2.子集的性质 (1)A?A,即任何一个集合是它本身的子集. (2)??A,即空集是任何集合的子集. (3)若 A?B,B?C,则 A?C,即子集具备传递性. 3.集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B.

1.判断(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1){2,3}?{x|x2-5x+6=0}.( (2)??{0}.( (3)??{?}.( ) ) )

【解析】 (1)x2-5x+6=0 的根为 x=2,3, 故(1)正确. 因?是任何集合的子集, 故(2)(3)正确.

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√

2.{1,a}?{1,2,3},则 a=________.
【解析】 因为{1,a}?{1,2,3},所以 a 必定是集合{1,2,3}中的一个元素,故 a=2 或 3.

【答案】 2 或 3

教材整理 2

真子集的概念及性质

阅读教材 P8 例 1 后一段至 P9 第一行,完成下列问题. 1.真子集的概念 如果 A?B ,并且 A≠B ,那么集合 A 称为集合 B 的真子集,记为 A B 或 B A ,读作“ A真包含于B 2.性质 (1)?是任一非空集合的真子集. (2)若 A B,B C,则 A C. ”或“

B真包含A

”.

集合 A={x|x2-1=0},B={-1,0,1},则 A 与 B 的关系是________.
【解析】 显然 A B. ∵x2-1=0,∴x=± 1,∴A={1,-1}.

【答案】

A B

[小组合作型]
集合关系的判断

指出下列各对集合之间的关系: (1)A={-1,1},B={x∈N|x2=1}; (2)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (3)P={x|x=2n,n∈Z},Q={x|x=2(n-1),n∈Z}; (4)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是三角形}; (5)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}.

【精彩点拨】 的概念进行判断.

分析集合中元素及元素的特征,用子集、真子集及集合相等

【自主解答】

(1)用列举法表示集合 B={1},故 B A.

(2)集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是实数对,故 A 与 B 之间无包 含关系. (3)∵Q 中 n∈Z,∴n-1∈Z,Q 与 P 都表示偶数集, ∴P=Q.

(4)等边三角形是三边相等的三角形,故 A B. (5)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B,如图所示,由图可发现 A B.

判断两个集合 A,B 的关系,应由集合中元素入手,依据集合间关系的定义得 出结论.由 A B 可推出 A?B,但由 A?B 推不出 A B.

[再练一题] 1.下列各组的集合中,两个集合之间具有包含关系的是________,其中 A 为 S 真子集的是________.(填序号) (1)S={-2,-1,1,2},A={-1,1}; (2)S=R,A={x|x≤0,x∈R}; (3)S={x|x 为江苏人},A={x|x 为中国人}.
【解析】 (1)中 A?S,且 A S;(2)中 A?S 且 A S;(3)中 S?A 且 S A.

【答案】 (1)(2)(3) (1)(2)

XXX 有关子集个数的计数问题

(1)写出集合 M={1,2,3}的子集,并说明其中真子集的个数为多少. (2)若集合{1,2}?M {1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合 M.

【精彩点拨】 对于确定子集或(个数)的题目,可以将子集逐一列举出来再计 数.

【自主解答】

(1)按子集中包含元素的个数来写: 含元素个数 0 1 2 3 子集 ? {1}{2}{3} {1,2}{1,3}{2,3} {1,2,3} 子集个数 1 3 3 1

其中真子集有 7 个.

(2)M 中必有 1,2 两个元素,但 3,4 可以没有,也可以只有一个,但不能两个都 在 M 中. M 的可能情况为{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.

1.求解有限集合的子集问题,关键有三点 (1)确定所求集合; (2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出; (3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 2.一般地,若集合 A 中有 n 个元素,则其子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个, 非空真子集有 2n-2 个.

[再练一题] 2.集合 M 满足{4,5}?M?{1,2,3,4,5},则这样的 M 共有________个.

【解析】 易知 M 中必含有 4,5 两个元素,但 1,2,3 可有可无,故 M 的个数与 {1,2,3}的子集的个数相同,共 8 个.

【答案】 8 个

[探究共研型]
集合之间的包含关系
探究 1 A?B 的意义是什么?若 M={x|x≤2},N={x|x≤1},则 N?M 成立 吗? 【提示】 A?B 表示集合 A 中所有的元素都在集合 B 中. 借助数轴表示出 M, N 两集合,易见 N?M.

探究 2 若集合 M={x|x≤1},N={x|x<1},则 M?N 成立吗? 【提示】 不成立,因为 1∈M 但 1?N,故 M?N 错误. 探究 3 集合 M={x|2a<x<a+1}可能是空集吗?此时 a 应满足什么条件? 【提示】 M 可以是空集,此时只需要 2a≥a+1,即 a≥1.

已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A,求 实数 m 的取值范围.
【精彩点拨】 讨论集合 B→列关于 m 的不等式(组)

→求 m 的取值范围

【自主解答】

∵B?A,

(1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2. ?-3≤2m-1, ? (2)当 B≠?时,有?m+1≤4, ?2m-1<m+1, ? 解得-1≤m<2, 综上得 m≥-1.

1.对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时, 常采用数形结合的思想,借助数轴解答. 2.两个易错点 (1)当 B?A 时,应分 B=?和 B≠?两种情况讨论; (2)列不等关系式时,应注意等号是否成立.

[再练一题] 3.已知集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B?A,求实数 m 的取值集合.
【解】 (1)若 B=?,则 m+1>2m-1,即 m<2,此时,总有 B?A,故 m<2. (2)若 B≠?,则 m+1≤2m-1, 即 m≥2. 由
? ?-2≤m+1, B?A,得? ? ?2m-1≤5,

解得-3≤m≤3,

故得 2≤m≤3.

综合(1)(2)可知 m 的取值集合是{m|m≤3}.

1. 设

? ?y ? x, y∈R, A={(x, y)|y=x}, B=??x,y??x=1 ? ? ?
? ?y ? ∵B=??x,y??x=1 ? ? ?

? ? ?, 则 ? ?

A, B 的关系是________.

【解析】
【答案】

? ? ?={(x,y)|y=x,且 ? ?

x≠0},故 B A.

B A

2.集合 A={-1,0,1}的子集中,含有元素 0 的子集共有________个
【解析】 根据子集定义,集合 A 的子集为?,{-1},{0},{1},{-1,0},{- 1,1},{0,1},{-1,0,1},显然含有元素 0 的子集共有 4 个.

【答案】 4

3.已知集合 A={0,1,2},B={1,m}.若 B?A,则实数 m 的值是________. 【解析】 因为 B?A,那么 m∈{0,2},所以 m 的值是 0 或 2. 【答案】 0 或 2

4.满足条件{1,2,3} M {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是________.

【解析】 集合 M 可以是{1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,6}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6}, {1,2,3,5,6}.

【答案】 6

5.已知集合 A={1,3,-x3},B={x+2,1},是否存在实数 x,使得 B 是 A 的 子集?若存在,求出集合 A,B;若不存在,请说明理由. 【解】 因为 B 是 A 的子集,
所以 B 中元素必是 A 中的元素, 若 x+2=3,则 x=1,符合题意. 若 x+2=-x3,则 x3+x+2=0, 所以(x+1)(x2-x+2)=0. 因为 x2-x+2≠0,所以 x+1=0,所以 x=-1, 此时 x+2=1,集合 B 中的元素不满足互异性. 综上所述, 存在实数 x=1, 使得 B 是 A 的子集, 此时 A={1,3, -1}, B={1,3}.