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余弦定理教学设计

1.1.2 余弦定理教学设计
一、教学目标 认知目标:利用创设的问题情境,引导学生发现余弦定理的内容,并推证余弦定理,会运用 余弦定理解决简单的三角形问题; 能力目标:引导学生通过观察、比较,由特殊到一般,归纳出余弦定理,培养学生的创新意 识和观察与逻辑思维能力,体会用向量作为数形结合的工具,将几何问题转化为 代数问题的基本思想; 情感目标:通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价,及时鼓励学生的发现和发言,调 动学生的主动性和积极性,给学生成功的体验,同时培养学生学习数学兴趣和热 爱科学、勇于创新的精神。 二、教学重难点 重点:探究和证明余弦定理的过程;掌握余弦定理的内容;对余弦定理进行初步应用。 难点:利用向量法证明余弦定理的思路;对余弦定理的熟练应用。 探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点,也是本节课的难点。学生已经具备了勾股 0 2 2 2 0 定理的知识,即当∠C=90 时,有 c =a +b 。作为一般的情况,当∠C≠90 时,三角形的三边满 足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形,尝试应用勾 股定理去探究这个三角形的边角关系;用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的,原 因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、 启发,鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明,这样 既能开拓学生的视野,加强学生对余弦定理的理解,又能培养学生形成良好的思维习惯,激 发学生学习兴趣,这是本节课教学的重点,也是难点。 三、学情分析和教学内容分析 本节内容是人教 B 版普通高中课程标准实验教科书必修 5 第一章第一节余弦定理的第一 课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理,是解决有关三角形问题与实际应用 问题(如测量等)的重要定理,它将三角形的边和角有机的结合起来,实现了“边”和“角” 的互化,从而使“三角”与“几何”有机的结合起来,为求与三角形有关的问题提供了理论 依据,同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通 过设问的方式,指出了“已知三角形的两边和夹角,无法用正弦定理去解三角形” ,进而通过 直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系,然后通过构造直角三角 形去完成对余弦定理的推证过程,教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定 理,最后通过 3 个例题巩固学生对余弦定理的应用。 在学习本节课之前,学生已经学习了正弦定理的内容,初步掌握了正弦定理的证明及应 用,并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上,教师可以创设一个“已 知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子,学生发现不能用上一节所学的知识来解决这 一问题,从而引发学生的学习兴趣,引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时,考虑到它 比正弦定理形式上更加复杂,教师可以有目的的提供一些供研究的素材,并作必要的启发和 引导,让学生进行思考,通过类比、联想、质疑、探究等步骤,辅以小组合作学习,建立猜 想,获得命题,再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时,学生可能会遇到 证明思路上的困难,教师可以适当的点拨。 四、教学过程 环节一 【创设情境】 1、复习引入

-1-

让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。 2、情景引入 如图 1,某隧道施工队为了开凿一条山地隧 道, 需要测算隧道通过这座山的长度。 工程技术 人员先在地面上选一适当的位置 A,量出 A 到山 脚 B、C 的距离,再利用经纬仪测出 A 对山脚 BC (即线段 BC)的张角,最后通过计算求出山脚 的长度 BC。 学生不难将这个实际问题转化到数学问题: B 已知三角形的两边和一个夹角,去求三角形的 另外一边。这个问题是不能使用正弦定理来求 解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个 问题。

C

A 图1

环节二 【导入新课】 2 2 2 问题:在△ABC 中,当∠C=90°时,有 c =a +b .若 a,b 边的长短不变,变换∠C 的大小时, 2 2 2 c 与 a +b 有什么大小关系呢?请同学们思考。 教师鼓励学生积极思考,大胆发言,启发学生解决问题,学生回答,借助于多媒体动画演 示结果。 2 2 2 如图 2,若∠C<90°时,由于 AC 与 BC 的长度不变,所以 AB 的长度变短,即 c <a +b . B’ B B

B’

A
图2

A C
图3

C

如图 3,若∠C>90°时,由于 AC 与 BC 的长度不变,所以 AB 的长度变长,即 c >a +b . 2 2 2 经过议论学生已得到当∠C≠90°时,c ≠a +b 。 环节三 【新课探究】 2 2 2 2 2 2 探究 1、在上一个问题中,我们已经知道,当∠C≠90°时,c ≠a +b 。那么 c 与 a +b 到底有 什么等量关系呢?请同学们继续探究。 教师引导学生分组合作学习, 可让几个小组的学生研究当∠C 为锐角时的结论, 另外的小 组研究当∠C 为钝角时的结论。最后交流探索,展示成果。 如图 4,当∠C 为锐角时,作 BD⊥AC 于 D,BD 把△ABC 分成两个直角三角形:

2

2

2

-2-

B

A
图4

D

C

在 Rt△ABD 中,AB =AD +BD ; 在 Rt△BDC 中,BD=BC·sinC=asinC,DC=BC·cosC=acosC. 2 2 2 所以,AB =AD +BD 化为 2 2 2 c =(b-acosC) +(asinC) , 2 2 2 2 2 2 c =b -2abcosC+a cos C+a sin C, 2 2 2 c =a +b -2abcosC. 2 2 2 可以看出∠C 为锐角时,△ABC 的三边 a,b,c 具有 c =a +b -2abcosC 的关系。 如图 5,当∠C 为钝角时,作 BD⊥AC,交 AC 的延长线于 D。 B

2

2

2

A

C
图5

D

△ACB 是两个直角三角形之差。 2 2 2 在 Rt△ABD 中,AB =AD +BD . 在 Rt△BCD 中,∠BCD=π -C. BD=BC·sin(π -C),CD=BC· cos(π -C). 2 2 2 所以 AB =AD +BD 化为 2 2 2 c =(AC+CD) +BD 2 2 =[b+acos(π -C)] +[asin(π -C)] 2 2 2 2 2 =b +2abcos(π -C)+a cos (π -C)+a sin (π -C) 2 2 =b +2abcos(π -C)+a . 2 2 2 因为 cos(π -C)=-cosC,所以也可以得到 c =b +a -2abcosC。

教师点拨:以上两种情况,我们可以考察向量 AC 在向量 BC 方向上的正射影的数量:当 ∠C 分别是锐角和钝角的时候,得到两个数量符号相反;当∠C 是直角的时候,其向量 AC 在 直角边上的正射影的数量为零。因此,无论是∠C 是锐角、直角还是钝角,都有

AD ? b sin C, DC ? b cosC, BD ? a ? b cosC ,
在 Rt△ADB 中,运用勾股定理,得 c =a +b -2abcosC,我们轮换∠A,∠B,∠C 的位置可以得 到 2 2 2 a =b +c -2bccosA. 2 2 2 b =c +a -2accosB.
2 2 2

-3-

于是,我们得到三角形中边角关系的又一重要定理: (多媒体投影余弦定理的内容) 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍,即

c2=a2+b2-2abcosC a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2accosB

从以上的公式中解出 cos A, cos B, cosC ,则可以得到余弦定理的另外一种形式:

b2 ? c2 ? a 2 cos A ? 2bc 2 c ? a 2 ? b2 cos B ? 2ca 2 a ? b2 ? c2 cosC ? 2ab
从以上分析过程,我们对∠C 不是直角的情况有了清楚认识。我们不仅要认识到,∠C 为 2 2 2 锐角和钝角时都有 c =a +b -2abcosC,还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角 形的。这种由未知向已知转化的思想在数学中经常用到。 探究 2、你还能用向量的方法证明余弦定理吗?参看教材例 1 左上方的思路提示。 教师点拨学生的思路,可以让学生分组讨论、探究,最后教师用多媒体展示证明的思路及过 程。 如图 6,在△ABC 中,设 AB ? c , CA ? b , BC ? a ,

?

?

?

? BC ? AC ? AB, ? BC ? AC ? AB
2 2 2 2 2

?

?

2 2

? BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC BC ? AC ? AB ? 2 AB ? AC cos A 即:a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
教师点评:对于探究 1,我们分∠C 是锐角和钝角的情况对余弦定理的形式给出了证明,过程 比较复杂;对于探究 2,我们应用向量的数量积可以很简单的证明余弦定理,这就可以看出向 量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用,在今后的学习中,我们应该加强对所学知识 的应用。 探究 3、余弦定理在解三角形中的应用
2

图6

-4-

教师启发学生:根据余弦定理的两种形式,可以看出它能够解决解三角形的哪些类型? (学生并不难发现,余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型:⑴已知三角形的两边及其 夹角,求第三边;⑵已知三角形的三边,求三个内角。 ) 下面,请同学们根据余弦定理的这两种应用,来解决以下三个例题。 (用多媒体展示例题) O 例 1、在△ABC 中,已知 a=5,b=4,∠C=120 ,求 c. 例 2、 在△ABC 中, 已知 a=3,b=2,c= 19 ,求此三角形三个内角的大小及其面积 (精确到 0.1) . 例 3、△ABC 的定点为 A(6,5),B(-2,8),和 C(4,1),求∠A(精确到 0.1). 双边活动:师生可以共同完成例题,进一步的加深学生对余弦定理的应用。 环节四 【练习与巩固】 O 1、在△ABC 中,a=1,b=1,∠C=120 ,则 c=
2 2


2

2、在△ABC 中,若三边 a,b,c 满足 a ? b ? c ? bc ,则 A=



3、在△ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5 ,这个三角形是 (填锐角、直 角、钝角三角形) 。 4、在△ABC 中,BC=3,AC=2,AB 上的中线长为 2,求 AB。 双边活动:学生限时训练,让学生回答结果,对于出错题目加以讲解,可以用多媒体展示第 4 题的解题过程。 环节五 【课堂反思总结】 通过以上的研究过程,同学们主要学到了那些知识和方法?你对此有何体会?(先由学生回 答总结,教师适时的补充完善) 1、余弦定理的发现从直角入手,分别讨论了锐角和钝角的情况,体现了由特殊到一般的认识 过程,运用了分类讨论的数学思想; 2、用向量证明了余弦定理,体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用; 3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系,勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解 决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。 (从实际问题出发,通过猜想、实验、归纳等思维方法,最后得到了推导出正弦定理。我们 研究问题的突出特点是从特殊到一般,我们不仅收获着结论,而且整个探索过程我们也掌握 了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法,注重学生的主体地位,调动学生积极性, 使数学教学成为数学活动的教学。 ) 环节六 【布置课后作业】 1、若三角形 ABC 的三条边长分别为 a ? 2 , b ? 3 , c ? 4 , 则 2bc cos A ? 2ca cos B ? 2ab cos C ? 。 2、在△ABC 中,若 a=7,b=8, cos C ?

13 ,则最大内角的余弦值为 _ 14



3、已知△ABC 中,acosB=bcos A,请判断三角形的形状(用两种不同的方法) 。 4、教材练习 B1,3。 五、教学反思 1、余弦定理是解三角形的重要依据,要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第 一节,余弦定理的引出、证明和简单应用;第二节复习定理内容,加强定理的应用。

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2、当已知两边及一边对角需要求第三边时,可利用方程的思想,引出含第三边为未知 量的方程,间接利用余弦定理解决问题,此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课 讲给学生,学生不易理解,可以放在第二课时处理。 3、本节课的重点首先是定理的证明,其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学 往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法,忽视了定理、概念的形成过程,只是一味的教给 学生定理概念的结论或公式, 让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式, 大搞题海战术, 加重了学生的负担,效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程,不能明白 知识的来龙去脉,怎么会灵活的应用呢?事实上已经证明,这种生搬硬套、死记硬背式的教 学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导:强调过程,重视 学生探索新知识的经历和获得的新知的体会,不能再让教学脱离学生的内心感受,把“发现、 探究知识”的权利还给学生。 4、本节课的教学过程重视学生探究知识的过程,突出了以教师为主导,学生为主体的 教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材,引导学生自己去研究问题,探究问题的 结论。在这个过程中,教师应该做到“收放有度” ,即:不能收的太紧,剥夺了学生独立思考、 合作学习的意识,更不能采取“放羊式”的教学,对于学生在探究问题中出现的困惑置之不 理。 5、合理的应用多媒体教学,起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效 果,不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、 口到”变为机械的“眼到” ,学生看了一节课的“电影” ,没有充足的时间去思考、练习、巩 固,课后会很快将所学的知识忘得一干二净。 6、在实际的教学中,发现学生对于所学的知识(例如向量)不能很好的应用,学生的数 学思想(如分类讨论、数形结合)也不能灵活的应用,这在以后的教学中还应该加强。从授 课的实际效果来看,能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应该加强师生的 课堂双边活动,处理好教与学的关系,充分调动学生的课堂参与意识,鼓励学生积极大胆的 发言,学生主动暴露自己的问题,教师及时的加以纠正,使教学更具针对

-6-

1.1.2 余弦定理(导学案)
〖学习目标〗 1.会用向量的数量积证明余弦定理的方法。 , 2.熟记并掌握余弦定理 3.能运用余弦定理及其推论解三角形 〖学习重点〗 余弦定理的理解及应用 〖学习难点〗 由数量积证明余弦定理及应用 〖学习过程〗 一、课前准备 【知识清单】(预习教材 P5-8,找出疑惑之处) 1.余弦定理:

a 2 ? ____________________________ b 2 ? ____________________________ c 2 ? ____________________________
2.余弦定理的推论:
cos A ? cos B ?
cos C ?

3.用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题 已知三边,求 已知 【牛刀小试】 1.已知 b ? 3, c ? 1, A ? 600 ,求 a ; 2.已知 a ? 4, b ? 5, c ? 6 ,求 cos A 和它们的 ,求第三边和其他两个角。

二、新课导学 1.【复习导入】
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1.三角形的正弦定理内容:

2.已知 A= 60? ,C= 45? , b ? 16 ,你能解这个解三角形? 【探究】在问题中探究余弦定理 若把 2 的条件 C= 45? ,改成 c ? 8 ,如何解三角形?(即已知三角 形的两边及其夹角解三角形 ) 问题:联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 分析:用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c;由于涉及边 长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 设 CB ? a , CA ? b , AB ? c ,那么 c ? a ? b ,则 C (小组合作完成) B
??? ? ?? ? ? ??? ?

?

?

?

余弦定理: 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B

思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个 量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:

理解定理 余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出 了一般三角形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? 【探究 2】
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若 ? ABC 中,C= 90 0 ,则 cos C ? 0 ,这时 c2 ? a 2 ? b2 ,由此可知余弦定理是勾股定 理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。当 ?C 为锐角时, a 2 ? b2 ? c 2 吗;当 ?C 为钝角时,三边的平方关系是怎样的。上面几个命题的逆命题成立吗?

三、典例精析 【例 1】在 ? ABC 中,已知 a ? 2 3 , c ? 6 ? 2 , B ? 450 ,求 b 及 A

【例 2】在三角形 ABC 中,已知 a=3,b=2,c= 19 ,求此三角形的最大角的大小及其 面积

【例 3】在△ABC 中,已知 sinA=2sinBcosC,试判断△ABC 的形状

四、当堂检测 1.已知 ?ABC 的三边分别为 2,3,4,则此三角形是( A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.等腰直角三角形 )

2.已知a ? 7,b ? 4 3,c ? 13,则最小内角的大小为_________. 五、提出疑惑(易混点) (在数学的领域中,提出问题的艺术比解答问题的艺术更

为重要)
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同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点(易混点) 疑惑内容(易混内容)

〖学习小结〗

〖课后提升〗 【必做题】 1.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ?A ?

2.在 ?ABC 中,已知 a2 ? b2 ? ab ? c2 ,求 C 的大小.

- 10 -


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